Chứng minh y= fx là hàm tăng trên miền xác định của nó.. Xác định tất cả các điểm nằm trên đường thẳng d cách mặt phẳng α một đoạn bằng 14.. Lập phương trình hình chiếu d’ của d trên α.
Trang 1THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010
PHẦN BẮT BUỘC
CÂU I:
Cho hàn số y= f(x) = 3 2( 1)
3
m
x − m+ x ( m là tham số )
a Khảo sát hàm số khi m= 1
b Tìm tất cả giá trị m sao cho hàm số có cực đại ,cực tiểu và tung độ điểm cực đại y , tung độ điểm cực CD
tiểuy thỏa: CT 2 2 3
9
CD CT
y −y = m+
CÂU II:
a.Tìm tất cả giá trị x∈[0,3∏] thỏa cot cot 1
sin
gx gx
x
b.Tính tích phân
1
01 2x
dx
I = +
∫
CÂU III:
Cho f(x) =log (3 x+1) log ( 5 x+1)
g(x)= 2 2
log ( x ax 5 1) log (x ax 6)
a Chứng minh y= f(x) là hàm tăng trên miền xác định của nó
b Tìm tất cả các giá trị a để g(x) > 1 với mọi giá trị x
CÂU IV:
a.Có bao nhiêu số khác nhau gồm 10 chữ số trong đó có đúng 4 chữ số 2 và 6 chữ số 1?
b.Có bao nhiêu vectơ ar =( , , )x y z khác nhau sao cho x , y , z là các số nguyên không âm thoả x+y+z=10?
PHẦN TỰ CHỌN(Thí sinh chọn một trong hai câu sau)
CÂU Va:
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( )α có phương trình : x+2y-3z-5=0 và đường thẳng (d) có phương trình: 3 0
x y
y z
+ − =
+ − =
a Xác định tất cả các điểm nằm trên đường thẳng (d) cách mặt phẳng( )α một đoạn bằng 14
b Lập phương trình hình chiếu (d’) của (d) trên( )α
CÂU Vb:
Trong không gian , cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a.Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, chọn hai điểm M ,N sao cho nhị diện (M,BC,N) vuông.Đặt AM= x , AN= y
a Xác định tất cả giá trị x ,y theo a để đoạn MN ngắn nhất
b Tính thể tích của hình chóp BCMN theo a, x, y
DAP AN Câu I :
Cho y f x = ( ) = m 3 x3− 2( m + 1) x
Trang 2a) Khảo sát hàm số khi m= 1:
= 1 3− 4
3
• TXĐ: D = R
• y ' = x2− 4
2
" 2
x
=
=
= ⇔ = ⇒ = ⇒
" 0 0 0
y x y Điểm uốn O(0, 0)
• BBT:
+
1 6 3
x
y ’
y
+ +
+
1 6 3
• Đồ thị:
Cho = − ⇒ = − 4 16
3
= ⇒ = 4 16 3
b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho:
9
Ta có:y = m 3 x3− 2( m + 1) x
y mx ' = 2− 2( m + 1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt
Trang 3⇔ < − ∨ >
2( 1) 0
m m
Khi đó (1) có 2 nghiệm x x x1, (2 1< x2)
⇒ yCĐ = f x ( )1 và yCT = f x ( )2 Để tìmyCĐ vàyCT ta chia f(x) cho f’(x) thì được:
÷
− +
f x f x
1
2
1 2
4 ( 1) 3
4 ( 1) 3
( ) ( )
CĐ CT
y f x
y f x (Vì f'(x ) 0, '( ) 0)1 = f x2 =
Theo giả thiết: ( − )2= 2 (4 + 4)3
9
⇔ +
1 2
1 2 2
m
m = 1 ( Vì m+1 0 )
P
m
So với điều kiện m< -1 m > 0 ∨ nhận giá trị m = 1
ĐS: m = 1
Câu II:
a) Tìm x [0,3 để ∈ π] cotgx = cotgx - 1
sinx Điều kiện : cotgx≥0 và x [0,3∈ π]
Khi đó: Phương trình ⇔cot = cos −1
sin
x gx
x
⇔cot singx x = −1 cosx (*)
• Nếu sinx > 0 thì phương trình (*) trở thành :
cotgx.sinx = 1 - cosx
π
⇔ = ± + π ∈¢
1 cos
2
3
x
So với điều kiện nhận = ∨ =π 7π
• Nếu sinx < 0 thì phương trình (*) trở thành:
cotgx.( - sinx) = 1 – cosx
⇔ -cosx = 1 – cosx (vô nghiệm)
Trang 4Tóm lại: = ∨ =π 7π
b) Tính =
+
∫101 2dx x
I
Ta có: = + −
+
∫101 2 21 2x x x dx
I
∫10 ∫10 2 1 ∫10 2
dx
Xem =
+
∫101 22x x
Đặt t = + ⇒ = 1 2x dt 2x.ln2dx
Đổi cận: x= ⇒ =0 t 2
x= ⇒ =1 t 3
⇒ = 1 ∫32 = 1 ln 32 =ln3−1
t
Vậy: = −2 ln3
ln2
I
Câu III:
( ) log ( 1) log ( 1)
a) Chứng minh y = f(x) là hàm tăng
Miền xác định của hàm y= f(x) là: D=[0,+∞)
Cách 1:
Ta có y1=log (3 x +1) vày2 =log (5 x+1) là hai hàm tăng và có giá trị không âm trên D nên :
= 1 2
( )
f x y y là hàm tăng trên D.
Cách 2:
Ta có: f x( ) log ln(= 3e x +1).log ln(5e x+1)
= 1 ln( +1).ln( +1)
⇒ y = f(x) là hàm tăng trên D.
b) Tìm a để g x( ) 1,> ∀ ∈x ¡
Đặt u x= 2+ax+ ≥5 0 thì g(x) trở thành:
( ) log ( 1).log ( 1)
Khi đó g(x) > 1 trở thành:
> ⇔ >
( ) 1 ( ) (4)
f u f u f (vì f(4) = 1)
⇔ >u 4 ( vì y = f(u) tăng trên D)
Vậy g x( ) 1,> ∀ ∈x ¡
Trang 5⇔ + + > ∀ ∈
⇔ + + > ∀ ∈
⇔ ∆ <
⇔ − <
⇔ < − ∨ >
¡
¡
2 2
2
5 4,
1 0, 0
4 0
a
Câu IV:
a) Có bao nhiêu số gồm 10 chữ số trong đó có đúng bốn chữ số 2 và sáu chữ số 1
Giả sử bốn chữ số 2 là khác nhau và sáu chữ số 1 là khác nhau thì số các số gồm 10 chữ số ở trên là:10! Nhưng khi ta hoán vị bốn chữ số 2 hay sáu chữ số 1 cho nhau, ta chỉ được một số thực sự
Do vậy các số cần tìm là:
=
10! 210 6!4! (số) b) Có bao nhiêu ra=( , , )x y z khác nhau sao cho x , y , z là số nguyên không âm thoả x + y + z =10 Cách 1 :
Vì x + y + z = 10 và x y z, , ∈¥ nên không có trường hợp x = y = z.
Do vậy còn 2 trường hợp sau :
- Trường hợp 1 : 2 trong 3 số x ,y, z bằng nhau và khác số còn lại.
⇒ có 6 trường hợp, mỗi trường hợp có 3 vectơ khác nhau.
⇒ có 18 vectơ khác nhau.
- Trường hợp 2 : x, y, z khác nhau đôi một ⇒ có 8 trường hợp, mỗi trường hợp có 3!= 6 vectơ khác nhau ⇒ có 18 vectơ khác nhau.
Tóm lại: Số các vectơ thoả yêu cầu bài toán là:18 + 48 = 66 (vectơ)
Cách 2:
Ta có: z = 10 – (x + y) Do đó ta chỉ cần x, y thoả x y+ ≤10 và x y, ∈¥
Nếu x = a thì y≤10− ⇒a có 11 – a cách chọn y
Do vậy: Ta cho a chạy từ 0 đến 10 thì được số vectơ thoả yêu cầu bài toán là:
(11 – 0) + (11 – 1) + (11 - 2) +…+ (11 - 10)
=11 (1 2 10)2− + + +
=112−10.11=66
2 (vectơ)
Câu Va:
a) Tìm trên đường thẳng + − =2+ − =3 02 0
x y
y z cách mặt phẳng ( ) :α x+2y− − =3 5 0z một đoạn bằng 14
• Lấy M (3 - t, t, 2 - 2t) ∈d
• d M( , )α = 14 ⇔ − + −3 t 2 3(2 2 ) 5 14t − t − =
7 8 14
⇔ − = ⇔ = ∨ = − Vậy điểm cần tìm là − − ÷
1 22 26, ,
27 6 26, ,
M
b) Lập phương trình hình chiếu (d’) của (d) trên ( ) α
• Gọi là mặt phẳng chứa (d) và β ⊥( ).α
Trang 6⇒ qua A(3, 0, 2) ∈d và có VTP uuurnβ =uuur uuura nd, α = − ( 1,5,3)
⇒ Phương trình β − − +: (x 3) 5(y− +0) 3(z− =2) 0
⇔ − +x 5y+ − =3 3 0z
• Hình chiếu (d’) của (d) trên ( ) là giao tuyến củaα ( ),( ) α β
⇒ Phương trình (d’) là − + + − = +26− − =3 5 03 3 0
x y z
x y z
Câu Vb:
a) Xác định x, y theo a để MN ngắn nhất
• Gọi I là trung điểm BC
⊥
⊥( ) ( )
BC AI
BC AIN
BC d
⇒ Số đo nhị diện (M, BC, N) ·=MIN = °90
∆MIN vuông tại I có IA là đường cao ⇒ M, N ở hai bên A và
=
4
a
x y
• Ta cóMN x y= + ≥2 xy ⇒ MN ngắn nhất làa 3 khi = = 3
2
a
x y
B
C
N
I A
M
y x
d b) Thể tích hình chóp BCMN:
Ta có:
ABC
Vậy: VBCMN = a 122 3 ( x y + )
