_ Đây là một trong những phần quan trọng nhất của Đại Số THCS, là một trong những tiền đề chính yếu để các em học sinh có thể học lên các lớp cao hơn từ những nền tảng cơ bản vững chắc [r]
Trang 1BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
* PHẦN 1 - GIỚI THIỆU VÀ KHÁI NIỆM:
_ Đây là một trong những phần quan trọng nhất của Đại Số THCS, là một trong những tiền đề chính yếu để các em học sinh có thể học lên các lớp cao hơn từ những nền tảng cơ bản vững chắc đã xây dựng từ nhỏ
_ PT bậc 2 một ẩn là dạng phương trình có dạng : ax + bx + c = 0 ( trong đó x là biến số; a,b,c là hằng số ) _ Ở lớp 8, chúng ta đã từng gặp dạng phương trình này nhưng lại giải quyết nó dưới dạng Phân tích đa thức thành nhân tử và giờ đây ở lớp 9, chúng ta sẽ làm quen với nó dưới dạng Công thức
_ Trong chuyên đề này sẽ chia làm 5 phần , trong đó gồm:
+ Phần 1: Khái niệm
+ Phần 2: Nhắc lại cách " Phân tích đa thức thành nhân tử " của lớp 8
+ Phần 3: Công thức giải phương trình bậc 2 một ẩn
+ Phần 4: Các ví dụ minh họa - những lưu ý khi giải PT
+ Phần 5: Bài tập rèn luyện.
* PHẦN 2 - PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ( Lớp 8 )
Để nhắc lại toàn bộ " Phân tích đa thức thành nhân tử " ( PTĐTTNT), ta cần hiểu đơn giản từ các phép toán
"cộng" , "trừ" ta đưa về dạng "tích"
+ Cách 1 : Thừa chung Với cách này thì ở các đa thức phải có chung ước số hoặc biến số
VD1: xy + yx = VD2: 4x + 8y - 12z =
+ Cách 2: P/p Nhóm Nghĩa là dùng cách này khi số lượng các số là chẵn.(ta mới thể bắt cặp được)
VD3: ax + by - bx - ay = VD4: x + x - 1 - x =
→ Chú ý: Khi ngoặc lại thì phải đổi dấu nếu đằng trước là dấu trừ
+ Cách 3: P/p Hằng đẳng thức thường là dùng hằng đẳng thức số 1 - 2 - 3 - 6 -7
VD5: x + 2x + x = VD6: x - 1 = VD7: x - 8 =
+ Cách 4: P/P Tách Với cách này thì số lượng của đa thức là lẻ - sắp xếp bâc của đa thức theo giá trị giảm dần - tách đa thức giữa thành 2 đơn thức - rồi dùng phương pháp nhóm
VD8: x + x - 6 =
* PHẦN 3: - CÔNG THỨC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 MỘT ẨN
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng : ax + bx + c = 0
_ Công thức thực nghiệm như sau :
Gọi ∆ = b - 4ac ( ∆ : delta là kí hiệu; a,b,c là các số thực cho trước ) Ta có các trường hợp sau :
+ ∆ < 0 PT vô nghiệm
+ ∆ = 0 PT có một nghiệm kép x = x =
+ ∆ > 0 PT có hai nghiệm phân biệt x = và x =
_ Đặc biệt nếu hệ số b là một số chẵn thì ta có b = 2b', ta có công thức thực nghiệm tính gọn và nhanh hơn:
Gọi ∆' = (b') - ac Ta có các trường hợp sau:
+ ∆ < 0 PT vô nghiệm
+ ∆ = 0 PT có một nghiệm kép x = x =
+ ∆ > 0 PT có hai nghiệm phân biệt x = và x =
* PHẦN 4 - CÁC VÍ DỤ MINH HỌA - LƯU Ý KHI GIẢI PT
Ví dụ 1: Giải phương trình sau : 3x + 5x - 2 = 0 (1)
Cách 1: theo lớp 8 - phân tích đa thức thành nhân tử - đưa về phương trình tích
(1) thành 3x + 6x - x - 2 = 0 (3x + 6x) - (x + 2) = 0 3x(x + 2) - (x + 2) = 0
(x + 2)(3x - 1) = 0
x + 2 = 0 hay 3x - 1 = 0
Trang 2 x = -2 hay x =
Vậy nghiệm của phương trình là S = {-2; }
Cách 2: theo lớp 9 - công thức thực nghiệm về giải pt bậc 2.
3x + 5x - 2 = 0 (1) có a = 3 , b = 5 và c = - 2
_ Xét ∆ = b - 4ac = 5 - 4.3.(-2) = 49 > 0 và = 7
_ Vì ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là :
x = = = và x = = = - 2
Vậy nghiệm của phương trình là S = {-2; }
Lưu ý: Như vậy từ việc phát triển tư duy phương pháp tách hạng tử trung bình trong PTĐTTNT chúng ta nâng thành công thức học Việc áp dụng công thức sẽ giúp giải những bài toán như vậy dễ dàng và gọn hơn rất nhiều.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau : x + 3x - 4 = 0 (2)
Cách 1: theo lớp 9 - công thức thực nghiệm về giải pt bậc 2.
x + 3x - 4 = 0 (1) có a = 1 , b = 3 và c = - 4
_ Xét ∆ = b - 4ac = 3 - 4.1.(-4) = 25 > 0 và = 5
_ Vì ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là :
x = = = 1 và x = = = - 4
Vậy nghiệm của phương trình là S = {- 4 ; 1 }
Cách 2: theo công thức nhanh về PT bậc 2
Nếu a + b + c = 0 có x = 1 và x =
Xét PT (2) có a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt x = 1 và x = = - 4
Lưu ý: Như vậy nếu phát hiện được mối quan hệ của a,b,c thì việc giải PT sẽ nhanh hơn!
* Những lưu ý khi giải pt bậc 2
_ Nếu gặp Hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường ( không cần giải theo công thức ) VD : x - 2x + 1 = 0 ( x - 1) = 0 x = 1
_ Phải sắp xếp đúng thứ tự các hạng tử để lập thành PT ax + bx + c = 0 rồi mới áp dụng công thức :
VD: x(x - 5) = 24 x - 5x = 24 x - 5x - 24 = 0 áp dụng CT giải tiếp
_ Không phải lúc nào x cũng là biến số mà có thể là biến t, biến b, biến a tùy vào cách ta chọn biến :
VD: b - 10b + 16 = 0 áp dụng CT giải tiếp
_ PT bậc 2 chứa căn ở các hệ số a, b,c thì ở ta buộc phải rút căn bậc hai (xem lại bài tập về Căn bậc hai ):
VD: x - (2 + )x + 2 = 0 ( a = 1, b = - ( 2 + ) , c = 2 )
Xét ∆ = (2 + ) - 4.1.(2) = 7 + 4 - 8 = 7 - 4 = ( tới đây rút sao nè ^^ ?)
* PHẦN 5 - BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Chỉ ra hệ số a,b,c trong các phương trình sau:
6x + 9x + 1= 0 8x - 12x + 3 = 0 2x - 3x - 2 = 0 2x - (4 - ) - 2 = 0
5x + 3x - 2 = 0 x - x = 0 x + x = 0 - x + 3x - 4 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) 4x - x - 3 = 0 b) x - x - 6 = 0 c) x - 5x + 10 = 0 d) 8x - 12x + 3 = 0
e) x + 5x - 6 = 0 f) 5x + 6x + 7 = 0 g) 2x - 3x + 1 = 0 h) 5x - 43x + 90 = 0
i) - x + 24x - 108 = 0 j) x - 7x + 49 = 0 k) x - x + = 0 l) 8x + 3x + 5 = 0
m) x - 6x - 7 = 0 n) 64a +128a -17 = 0 o) x - 4x + 1 = 0 P) 5x - 7x + 2 = 0
q) t + 1 = 10t r) - x + 3x - 4 = 0 s) 6x + 9x + 1= 0 t) 2x - (4 - ) - 2 = 0
u) x - 6x + 9 = 0 v) x + 6x + 7 = 0 w) 2x - 2x + 12 = 0 x) 3x - 9x + 6 = 0
y) x - x + 1 = 0 z) 3x - 5 + 8x = 0 a') x + x - 2 = 0 b') 4x + 4x + 1 = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau::
a) - 6x + 1 + 7x = 0 b) 2x - 5x - 7 = 0 c) 3x - 7x + 2 = 0 d) x - 8x + 15 = 0
e) 3x - 10x + 3 = 0 f) 3x - 2x - 8 = 0 g) 3x - 5x - 28 = 0 h) x - 4x + 2 = 0
Trang 3i) x - 4x - 4 = 0 j) x - 8x - 9 = 0 k) 18x + 25x - 3 = 0 l) 3x + 4x - 4 = 0
m) x + x - 10 = 0 n) 3x - 5x = 0 o) 3x - 4 = 0 p) x - 5x - 36 = 0
q) 4x - 20 = 0 r) x + x = 0 s) 3x - x - 24 = 0 t) 2x - 3x - 2 = 0
u) x - 4x + 12 = 0 v) x - 4x + 3 = 0 w) x - x = 0 x) x - x - 2 = 0
y) x - = 0 z) ( + 1)x - (3 + 2)x + 2 + = 0 a') 4x - 9 = 0
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) x - x - 1 = 0 b) x + 27x = 0 c) 5x + 3x - 2 = 0 d) - 4x + 4x - 1 = 0
e) x - 6x + 6 = 0 f) 3x - 9 = 0 g) 2x - 2x + 1 = 0 h) x + 7x - 8 = 0
i) 4x - 5x = 0 j) 5x - x + 2 = 0 k) 25x - 1 = 0 l) x + 3x - 10 = 0
m) x - 25x + 144 =0 n)12x - 13x + 3 = 0 o) x + 3x + 2 = 0 n) x + 2(1 - )x - 2 = 0
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a) 9( 3x + 2) - 4( 7 - 2x) = 0 b) x + 2x + 4 = 3(x +) c) 5x - 3x + 1 = 2x + 11
d) 3x - 2x - 3 = 0 e) 4x - 2 ( - 1)x - = 0 f) 2x + 2x - 3 = 0
g) 1,2x - x - 0,2x = 0 h) 2x + x + 1 = (x +1) i) 3x - 2x + 2 = 0
j) 8x - 2( + )x + = 0 k) 4x - 2x = 1 - l) 3x - 4x - 4 = 0
Bài 6: Giải các phương trình có ẩn ở mẫu sau:
a)
1
x −5+
1
x −1=
1
x b)
x +1
x −
x −1 x+1=2 c)
6 4
xx d)
1
x
e)
2 2
x x x x
x −3
x +1 −
x −2
x −1=
x2−7 x
x2− 1 g)
14
x2−9+
4 − x 3+ x=
7
x+3 −
1
3 − x
h)
40 24 19
x x i)
x+1¿2
¿
¿
1
x (x +2) −
1
¿
- Chúc các em thành công !