Tìm a để Ca có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác góc thứ nhất của hệ truc tọa độ.. Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ đợc đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.. Tì
Trang 1Chuyên đề: các bài toán liên quan đến hàm số ax
2 , ,
bx c y
a x b
=
I/ tính đơn điệu
B i 1 à : Tìm các giá trị của m để h/s y x2 mx 1
x 1
+ −
=
− đồng biến trên từng khoảng xác định.
B i 2 à : Tìm các giá trị của m để hàm số y mx2 6x 2
x 2
+ −
=
+ nghịch biến trên (1,+∞)
B i 3 à :Tìm các giá trị của m để hàm số:
1/
2
y
2x 1
− − +
=
+ nghịch biến trên từng khoảng xác định;
2/
2
y
x 1
− +
=
− đồng biến trên (3,+∞) ; 3/ y mx2 (m 1)x 3
x
− + −
= đồng biến trên [4;+∞) ;
4/ (m 1 x) 2 2mx m 1
y
m x
=
− (C m) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
Ii/ Cực trị.
Bài 1 Tỡm cỏc giỏ trị của m để h/s
y
x 1
=
+ cú cực trị.
Bài 2 Tỡm cỏc giỏ trị của m để h/s
2
y
x m
=
+ cú cực đại, cực tiểu Khi đó tìm m
để hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy
Bài 3 Cho h/s y x2 mx m
x 1
− +
=
− CMR với mọi m, h/s luôn có CĐ, CT và khoảng cách giữa
hai điểm CĐ, CT là không đổi
Bài 4 CMR: nếu h/s y u(x)
v(x)
= có ( )
( )
0
0
y' x 0 v' x 0
≠
thì ( ) ( ) ( )0 ( ) ( )0
0
u x u ' x
y x
v x v' x
Bài 5 Cho h/s y x2 2x m 2 (C )m
x m 1
− + +
=
1/ Tìm m để h/s có cực trị
2/ Viết PT đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của (Cm)
Bài 6 Tìm các giá trị của m để h/s y x2 3x m
x 4
− + +
=
− có CĐ, CT thoả mãn yCD −yCT =4.
Trang 2Bài 7 Tìm các giá trị của m để các hàm số sau có cực trị:
1/ x2 (m 2 x m)
y
x 1
+ + −
=
+
2/ mx2 (m 1 x 1)
y
mx 2
+ + +
=
+
3/ 2m x2 2 (2 m2) (mx 1)
y
mx 1
=
+
Bài 8 Cho hàm số 2 2 ( )m
x m
− + −
=
−
1/ Tìm các giá trị của m để hàm sau có CĐ, CT;
2/ Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm CĐ, CT của (Cm)
Bài 9 Tìm các giá trị của m để h/s y 2x2 3x m
x m
− +
=
− có CĐ, CT và | yCĐ - yCT | > 8.
Bài 10 Tìm các giá trị của m để h/s (m 1 x) 2 x 2
y
m 1 x 2
− + +
=
+ + có CĐ, CT và (yCĐ -
yCT )(m+1) + 8 = 0
Bài 11 Tìm các giá trị của m để h/s y x2 2mx 2
x 1
=
+ có CĐ, CT và khoảng cách từ hai
điểm đó đến đờng thẳng x + y +2 =0 là bằng nhau
Bài 12 Tìm các giá trị của m để h/s y x2 x m
x 1
+ +
=
+ có CĐ, CT và hai điểm CĐ, CT nằm
về hai phía trục Oy
Bài 13 Tìm các giá trị của m để h/s y mx2 3mx 2m 1
x 1
=
− có CĐ, CT và hai điểm CĐ,
CT nằm về hai phía trục Ox
III Tiếp tuyến.
B i 1 à Cho h/s y x2 3x 4
2x 2
− +
=
− (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C)
Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B 1/ CMR: M là trung điểm AB;
2/ CMR: Tích khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là không đổi;
3/ CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi
Trang 3B i 2 à Cho h/s y x2 3x a
x 1
+ +
=
+ (Ca) Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân
giác góc thứ nhất của hệ truc tọa độ Khi đó CMR h/s cũng có CĐ, CT
B i 3 à Cho hàm số y x2 2x 1 (1)
x 1
+ +
=
− Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ đợc
đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
B i 4 à Cho h/s y x2 2x 2
x 1
+ +
=
+ (C )
Gọi I là tâm đối xứng của (C) và M là một điểm tùy ý trên (C)
Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng tiệm cận tại A và B CMR: M là trung điểm AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí M trên (C)
Bài 5 Cho (C): y x 1 1
x 1
= + +
− Tìm điểm M trên (C) có xM > 1 sao cho tiếp tuyến tại M
tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ nhất
Bài 6 Viết PTTT của (C): y x2 x 1
x 1
− −
=
+ biết tiếp tuyến song song với đờng y = -x.
Bài 7 Viết PTTT của (C): y 2x2 3x 1
4x 3
− −
=
+ biết tiếp tuyến vuông góc với đờng
1
3
−
= +
Bài 8 Cho đồ thị (C) y x2 5x 3
x 2
− −
=
+ CMR trên (C) luôn tồn tại vô số các cặp điểm để tiếp
tuyến tại đó song song với nhau đồng thời tập hợp các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm
đồng quy tại một điểm cố định
Bài 9 Viết PTTT của (C) y x2 2x 2
x 1
+ +
=
+ biết tiếp tuyến qua A( 1; 0).
Bài 10 Viết PTTT của (C) y x2 x 1
x 1
− + +
=
+ biết tiếp tuyến qua A( 0;5/4).
Bài 11.Viết PTTT kẻ từ O(0;0) đến (C) y x2 3x 6
x 1
− +
=
− Tìm tọa độ các tiếp điểm.
Bài 12 Cho (C) y x2 3x 2
x
− +
= Tìm trên đờng thẳng x = 1 những điểm kẻ đợc hai TT vuông góc với nhau đến (C)
Trang 4IV/ tiệm cận.
Bài 1 Cho (Ca) ax2 (2a 1 x a 3)
x 2
+ − + +
luôn đI qua một điểm cố định
Bài 2 Cho (Cm) y 2x2 mx 2
x 1
+ −
=
− Tìm m để TCX của (Cm) tạo với hai trục một tam giác
có diện tích bằng 4
Bài 3 Cho (C) y 2x2 3x 2
x 1
+ +
=
−
1/ Lấy M tùy ý trên (C) CMR tích các khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là hằng số 2/ Tìm N trên (C) để tổng các khoảng cách từ N đến hai đờng tiệm cận là nhỏ nhất
v/ Một số bài toán khác.
y x 3
x 1
= − + +
− và đờng thẳng (d): y = 2x + m.
1/ CMR (d) luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt;
2/ Gọi x1, x2 là hoành độ của A, B Tìm m để (x1- x2)2 nhỏ nhất
Bài 2 Viết PT đờng thẳng (d) qua M(2; 2/5) sao cho (d) cắt (C):
2
x 3 y
x 1
+
= + tại hai điểm
A, B phân biệt và M là trung điểm A, B
Bài 3 Tìm m để (dm): y = mx + 2 – m cắt (C)
2
x 4x 1 y
x 2
=
+ tại hai điểm phân biệt
thuộc cùng một nhánh của (C)
Bài 4 Tìm trên (C):
2 3x 2x 7 y
x 5
=
− các điểm đối xứng nhau qua I(1;3).
Bài 5.Tìm hai điểm A, B trên (C):
2 x y
x 1
=
− đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x–1.
VI/ Bài tập tổng hợp
Bài 1 Cho hàm số: x2 3x m
y
x 2
− +
=
−
Trang 51/ Xác định m để hàm số có cực trị Tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu.
2/ Khảo sát và vẽ với m=3
3/ Viết PT tiếp tuyến của đồ thị đi qua A(1;0)
Bài 2 Cho hàm số: x2 2mx m 2
y
x m
=
1/ Với giá trị nào của m hàm số đồng biến với mọi x>1
2/ Khảo sát với m=1
3/ Tùy thuộc vào a biện luận số nghiệm phơng trình
2
a
| x | 1
− + =
−
Bài 3 Cho hàm số: x2 mx 2m 4
y
x 2
=
+ 1/ Tìm điểm cố định đồ thị hàm số đi qua với mọi m
2/ Xác định m để hàm số có CĐ, CT Tìm quỹ tích CĐ
3/ Khảo sát và vẽ đồ thị với m=-1
Bài 4 Cho hàm số:
2
y
x 1
− −
=
+ 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2/ Tìm m để đờng thẳng (dm) y=mx-1 cắt đồ thị tại điểm phân biệt nằm về cùng một nhánh của đồ thị
3/ Gọi M, N là hai giao điểm của đồ thị hàm số với (dm) Tìm tập hợp trung điểm I của MN
Bài 5 Cho hàm số: x2 2x m 2
y
x m 1
− + +
=
+ − 1/ Khảo sát với m=-1
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ A(6;4)
3/ Tìm m để hàm số có CĐ, CT Viết phơng trnh đờng thẳng qua CĐ, CT
y x 3 m
x m
= + − +
+ 1/ CMR hàm số có cực trị với mọi m
2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) với m=2
3/ Tìm a để y a x 1= ( + +) 1 cắt (C2) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu
Bài 7 Cho hàm số:
2
y
x 1
+ −
=
−
Trang 61/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đò thị hàm số sao cho các tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên CMR tiếp điểm là trung điểm của đoạn chắn bởi 2 tiệm cận với tiếp tuyến
3/ Viết phơng trình tiếp tuyến qua A(3; -2)
Bài 8 Cho hàm số:
2
y
x 1
+ +
=
+ 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2/ Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà khoảng cách đến trục hoàng bằng 2 lần khoảng cách đến trục tung
Bài 9 Cho hàm số:
2
x y
x 1
=
− (C) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2/ Tìm những điểm trên Oxy mà từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
Bài 10 Cho hàm số: mx2 x m
y
mx 1
+ +
=
+ 1/ Tìm m để hàm số đồng biến /(0;+∞)
2/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1 (C)
3/ Tìm số tiếp tuyến có thể của (C) đi qua mỗi điểm thuộc (C)
Bài 11 Cho hàm số: x2 mx m
y
mx m
− + +
=
− + 1/ Tìm điểm cố định đồ thị đị qua với mọi m
2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1
3/ Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) qua 5
A 0
4
ữ
;