*C¸c tµi liÖu tham kh¶o: TuyÓn tËp to¸n chän läc THCS Tuyển tập đề thi toán THCS Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán Các bài toán hay đại số 8, hình học 8 Tuyển các bộ đề chuyên, chọn, HSG.. phß[r]
Trang 1phòng GD-đt bố trạch Đề thi học sinh giỏi
Đề giới thiệu Môn toán lớp 9 - Năm học: 2009 - 2010
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngời ra đề: Mai Văn Phú
Đề ra:
Bài 1 ( 1,0 điểm ): Cho bốn số nguyên dơng a, b, c và d thỏa mản a2 + b2 = c2 + d2
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số
Bài 2 (1,0 điểm ): Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì số:
A = n3.(n2− 7)2− 36 n chia hết cho 420
Bài 3 (2,0 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a + b + c + d biết rằng :
a, b, c, d thỏa mản : 13 −2 ac −2 bd −3 b2−3 c2
2+ad +a2
+d2 =2
Bài 4 (2,0 điểm ): Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên dơng và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi
Bài 5 (4 điểm ): Cho M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB Vẽ về một phía của
AB các hình vuông AMCD, BMEF
a/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BC
b/ Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng
c/ Chứng minh rằng đờng thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi
M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định
*Các tài liệu tham khảo:
Tuyển tập toán chọn lọc THCS
Tuyển tập đề thi toán THCS
Chuyên đề bồi dỡng HSG Toán Các bài toán hay đại số 8, hình học 8 Tuyển các bộ đề chuyên, chọn, HSG
Đề giới thiệu Môn toán lớp 9 - Năm học: 2009 - 2010
Bài/
Tổng
điểm
Chi tiết
số báo danh
Trang 2(1 điểm):
Với mọi số nguyên n thì n2 - n = n(n - 1) là số chẵn
Do đó a2 + b2 + c2 + d2 - (a + b + c + d) là số chẵn
Vì a2 + b2 = c2 + d2 suy ra a2 + b2 + c2 + d2 = 2 (a2 + b2) là số chẵn
Vậy a + b + c + d là số chẵn
Vì a, b, c, d Z+ nên a + b + c + d là hợp số
0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 2
(1 điểm):
Biến đổi A về dạng: A= (n - 3).(n - 2).(n - 1).n.(n + 1).(n + 2).(n + 3)
Ta biết rằng tích của n số nguyên liên tiếp luôn tìm đợc một số chia hết
cho n Vì thế A luôn chia hết cho 5, cho 6, cho 7
Các số này đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho (5.6.7) =
420
0,50 0,25 0,25
Bài 3
(2 điểm):
13 −2 ac −2 bd −3 b2−3 c2
2+ad +a2
+d2 =2 Vì a+ d
2¿
2
+ 3
4d
2
+ 2
2+ad+a2
+d2
= ¿
> 0 với mọi a và d
Từ 13 −2 ac −2 bd −3 b2−3 c2
2+ad +a2+d2 =2 , ta có:
(a+b +c +d )2+(a −b )2+(b −c )2+(c − d )2=9 Vì (a −b )2 0; (b − c)2 0 ; (c − d )2 0
Do đó: (a+b +c +d)2≤ 9 nên |a+b+c +d|≤ 3
Vậy max(a + b + c + d) = 3 khi a = b = c = d = 3
4 min(a + b + c + d) = -3 khi a = b = c = d = - 3
4
0,25
0,75 0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 4
(2điểm)
Gọi x, y, z lần lợt là số đo các cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác
Theo bài ra ta có hệ phơng trình
¿
x2
+y2
=z2 (1)
xy=3( x + y +z) (2)
¿ {
¿
Rút z từ (2) ta có: 3z = xy - 3x - 3y, Khi đó: 9z2 = (xy - 3x - 3y)2
và từ (1) ta có: 9z2 = 9x2 + 9y2
Suy ra: (xy - 3x - 3y)2 = 9x2 + 9y2
Biến đổi phơng trình này, cuối cùng đợc:
(x - 6)(y - 6) = 18
Do x, y nguyên dơng nên
(x - 6) -5; (y - 6) -5 Xét các trờng hợp xảy ra ta có các cạnh của tam giác vuông thoả mãn đề bài là (7; 24; 25), (18; 15; 17) và (9; 12;
15)
0,25 0,75
0,5
0,5
Trang 3Bài 5 (4
điểm):
D C
H
F
OO
A I’ M B
a/( 1điểm) Xét tam giác CAB có: CM AB,
BE AC (vì BE MF, MF//AC)
suy ra AE BC
b/(1điểm) Gọi O là giao điểm của AC và DM Vì ∠ AHC = 90 ❑0
(Câua), nên OH= AC
2 ⇒ GócMHD = 90 ❑0 (1)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: H, D, F thẳng hàng
c/ (1,5 điểm) Gọi I là giao điểm của DF và AC Tam giác DMF có
DO= MO,
OI// MF nên I là trung điểm của DF
Kẻ I I’ AB thì I’ là trung điểm của AB và
I I’ = AD+BF
AM+MB
AB 2
Do đó I là điểm cố định: I nằm trên đờng trung trực của AB và cách
AB một khoảng bằng AB
2 .
Vẻ hình,
đúng rỏ: 0,5
0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5
L
u ý : - Nếu học sinh giải theo cách khác và đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
- Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm bài hình.
- Học sinh làm sai đề so với đề thì không chấm điểm bài đó.
I
O
E O’