[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH LONG AN MÔN THI: TOÁN
THỜI GIAN : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC
1
(4đ) 1/(2đ) A 17 2 3 3 52 4 2 3 3 52 14 15
Ta có: 17 2 3 3 52 17 4 2 3 6 2 52
2
…… …
2 2 2 17 3 1 5 1 2 ………
2 2 17 17 3 1 5 1 3 5 2 2 ………
Tương tự: 4 2 3 3 52 4 4 2 3 6 2 52 2 ………
2 2 2 2 3 1 5 1 ……….…
2 2 2 3 1 5 1 2 3 5 ………
Vậy A 17 3 52 2 3 52 14 15 2 A 13 3 52 14 15 138 2 15 14 15 2 2
A 52 13 15 14 15 52 15
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2/ (2đ) (1 a)(1 b)(1 c) B (1 a)(1 b)(1 c) (a, b, c > 0 và a + b + c = 1)
Ta có: a b c 1 1 a b c 0 1 b a c 0 1 c a b 0
* Từ a b c 1 a 1 b c 1 a 1 1 b c (1 b) (1 c) 2 (1 b)(1 c) (1)
* Tương tự: 1 b (1 a) (1 c) 2 (1 a)(1 c) (2)
1 c (1 a) (1 b) 2 (1 a)(1 b) (3)
* Từ (1),(2),(3) (1 a)(1 b)(1 c) 8 (1 a) (1 b) (1 c) 2 2 2
(1 a)(1 b)(1 c) 8(1 a)(1 b)(1 c)
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2(1 a)(1 b)(1 c)
8 (1 a)(1 b)(1 c)
=> Giá trị nhỏ nhất của B là 8
Dấu “ = ” xảy ra khi
1
3
0,25đ
2
(5đ) 1/ (2đ) Giải phương trình: x2 x 2015 2015
Điều kiện: x 2015; Đặt t = x 2015 0 => t2 – x = 2015 …
Ta có hệ phương trình :
2 2
2
2
(t x)(t x 1) 0
* Giải hệ pt: 2
x
2
x
2
* Giải hệ pt: 2
x
2
x
2
*Đối chiếu với điều kiện bài toán, vậy nghiệm của phương trình
đã cho là: 1
x
2
; 2
x
2
0,25 đ 0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
2/ (3đ)
Giải hệ phương trình:
2
2
2
Đặt:
x y a
xy b
2
2
………
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ
Trang 32 a 3
b 2
b 2
a = 3; b = 2 hoặc a = - 3; b = 2
* Ta có:
x y 3
xy 2
=> x = 1; y = 2 hoặc x = 2; y = 1
* Ta có:
xy 2
=> x = - 1; y = - 2 hoặc x = - 2; y = - 1
Vậy nghiệm của HPT là (1 ; 2) ; (2 ; 1) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)……
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
3(5đ) 1/ (3đ)
F
E
O
B A
M
a/ Chứng minh 3 điểm: E, I, F thẳng hàng
Tứ giác DEMI là tứ giác nội tiếp vì DEM DIM 900…………
Tứ giác CMIF là tứ giác nội tiếp vì MIC MFC 900………
MDE MIE (1)………
MIF MCF 1800 (2)………
MDE MCF ( Vì tứ giác ADMC nội tiếp) (3)………
Từ (1), (2) và (3) MIF MIE 1800………
3 điểm E, I, F thẳng hàng ………
b) Chứng minh: MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4
MA 4 + MC 4 = ( MA 2 + MC 2 ) 2 – 2MA 2 MC 2 = AC 4 – 2MF 2 AC 2 = 16R4 – 8R2.MF2………
Kẻ MK BD, chứng minh tương tự ta có:
MB4 + MD4 = 16R4 – 8R2.MK2………
MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 32R4 – 8R2 ( MF2 + MK2 )
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Trang 4= 32R4 – 8R2.R2 = 24R4………
2/ (2đ) Kẻ trung tuyến DN, CM của ACD, chúng cắt nhau tại E => E là trọng tâm CAD (gt) => CE 2 CM 3
Gọi G là giao điểm của AO và CD Mà: AO và CD là hai đường trung tuyến ABC cắt nhau tại G => G là trọng tâm ABC => CG 2 CD 3
Vậy: CE CG CM CD………
=> EG//DM => EG//AB
Do: DA = DB => ODAB => ODEG (1)
Ta có: BC//DE ( vì DN là đường trung bình của ABC)
Mà: AOBC => OGBC => OGDE (2)
Từ (1) và (2) => G là trực tâm của ODE
=> OEDG => OECD
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
4(3đ)
Ta có: SABC SAMB SBMC SAMC……… 0,25 đ
M A
z
y
x
H
L
K
B
A
M
Trang 5
1
2ah =
1
2ax +
1
2ay +
1
2az ………
h = x + y + z ………
h2 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) ………
Mà: x2 + y2 ≥ 2xy
y2 + z2 ≥ 2yz
x2 + z2 ≥ 2xz
2(x2 + y2 + z2 ) ≥ 2(xy + xz + yz) ………
h2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) ≤ x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2)……
h2 ≤ 3(x2 + y2 + z2)
x2 + y2 + z2 ≥
1
3h2 ………
0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
5(3đ) 1/
(1,5đ) Cho x > 0 thỏa :
2 2
1
x
Hãy tính
5 5
1 x x
2 2 2
1
x
= 3 3 – 3.3 = 18
Do:
x
x
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2/
(1,5đ) Ta thấy trong số P mỗi số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 xuất hiện 20 lần;
số 1 xuất hiện 21 lần ………
Tổng các chữ số của P là (2+3+4+5+6+7+8+9).20+1.21 = 901
Như vậy P không chia hết cho 3 và hiển nhiên không chia hết cho 2016
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Học sinh làm bài theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn chấm
……… Hết ………