Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân.. Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thă
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009
Môn Toán - Lớp 9
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 11 tháng 02 năm 2009
Bài 1 : ( 4,0 điểm )
a) Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3+ y3
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Bài 2 : ( 4,0 điểm )
a) Giải hệ phương trình :
3xy = 2 x+ y 5yz = 6 y + z 4zx = 3 z + x
b) Giải phương trình : 25 - x - 10 - x = 3 2 2
Bài 3: ( 5,0 điểm)
a) Cho a và b là các số nguyên dương sao cho a +1 b +1a b là số nguyên; gọi
d là ước chung của a và b Chứng minh : d a + b
b) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức:
2008x2009 + 2009y2010 = 2011
Bài 4 : ( 2,0 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại O
Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân
Bài 5 : ( 5,0 điểm )
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A Trên đường tròn (O; R) vẽ dâyAB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) tại N (N khác A) Đường thẳng qua N và song song với AB cắt đường thẳng MB tại E
a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm M trên cung lớn AB;
b) Tìm vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
Hết
-Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN LỚP 9
Bài 1 : ( 4,0 điểm )
a) Cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 + y3.
Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
= x2 − xy + y2 (vì x + y = 1)
=
2 2 2 2 =
1
2(x
2 + y2) +( x y )2
2 2
M 1
2(x
2+y2) Ngoài ra do x + y =1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2)−(x − y)2 = 1
2(x2 + y2) 1 (x2 + y2) 1
2 dấu bằng xảy ra x = y =
1 2
M 1
2.
1
2 =
1
4 dấu bằng xảy ra x = y =
1
2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1
4, đạt được khi x = y =
1 2
0,75 điểm
0,75 điểm 0,5 điểm
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm Giả sử 1
a b c
Ta có hệ phương trình :
ab 2(a b c)
(1) (2)
Từ (1) c2 = (a + b)2 − 2ab
c2 = (a + b)2 − 4(a + b + c) (theo (2))
(a + b)2 − 4(a + b) = c2 + 4c
(a + b)2 − 4(a + b) + 4 = c2 + 4c + 4
(a + b − 2)2 = (c + 2)2 a + b − 2 = c + 2 (do a + b 2)
c = a + b − 4
Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)
ab −4a−4b + 8 = 0 b(a −4) −4(a−4) = 8 (a −4)(b−4) = 8
Phân tích 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có:
a 4 1
b 4 8
Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (5 ; 12 ; 13) và (6 ; 8 ; 10)
thỏa mãn yêu cầu của bài toán
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3Bài 2 : ( 4,0 điểm )
a) Giải hệ phương trình :
3xy = 2 x+ y 5yz = 6 y + z 4zx = 3 z + x
+ Hiển nhiên hệ có nghiệm là x = y = z = 0
+ Với xyz 0 thì (I) được viết lại:
(II)
Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:
2
x y z 6 (*) Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần
lượt có : x = 1, y = 2, z = 3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0;
0; 0) và (1; 2; 3)
0,5điểm
0,5điểm
0,5điểm
0,5điểm b) Giải phương trình : 25 - x - 10 - x = 3 2 2
ĐKXĐ: - 10 x 10
Đặt a = 25 x 2 ; b = 10 x 2 ( a, b 0 )
Ta được hệ pt : 2 2
3 15
a b
a b
Giải hệ pt ta được : a = 4 ; b = 1 Suy ra : x1 = 3 ; x2 = -3
0,25điểm 0,25điểm 0,5điểm 1,0 điểm
Bài 3: ( 5,0 điểm)
a) Cho a và b là các số nguyên dương sao cho a +1 b +1
a b là số nguyên; gọi
d là ước chung của a và b Chứng minh : d a + b
Ta có: a 1 b 1
a b
= ab b ab a 2ab a b 2 a b
ab ab ab ab
: là số nguyên
Suy ra : a b
ab
là số nguyên và a, b là số nguyên dương Nên a b
ab
1 a + b ab
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Trang 4Do d là ước của a nên a d a d > 0
Và d là ước của b nên b d b d > 0
Suy ra : ab d2 nên a + b d2
Vậy : d ab
0,5 điểm 0,5 điểm
b) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011.
- Nếu y chẵn thì với mọi x Z có 2008x2009 + 2009y2010 là số chẵn;
mà 2011 là số lẻ, (vô lý)
- Nếu y lẻ thì y1005 là số lẻ Đặt y1005 = 2k + 1 ( k Z )
2009y2010 = 2009(y1005)2 = 2009(2k + 1)2 = 2009(4k2 + 4k + 1) =
4[2009(k2 + k)] + 2009
Ta có 2009y2010 chia cho 4 dư 1 2008x2009 + 2009y2010 chia cho 4
dư 1; mà 2011 chia cho 4 dư 3, (vô lý)
Vậy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn hệ thức :
2008x2009 + 2009y2010 = 2011
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Bài 4 : ( 2,0 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại O
Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân
Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp
các tam giác AOB và AOC
Kẻ O1H AB tại H và O2K AC tại K
O1H = O2K (gt)
Điểm O là trực tâm của ABC
ˆ
ˆ
ABO ACO
(cùng phụBACˆ )
ˆ ˆ
BH CK
Nếu AB > AC thì AH > AK (AB = AH + HB và AC = AK + KC)
1 2
Mâu thuẫn
Nếu AB < AC, lập luận tương tự ta có AB > AC Mâu thuẫn
Vậy AB = AC Tam giác ABC cân tại A
Hình 0,25 đ 0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Bài 5 : ( 5,0 điểm )
A
O
O1 O2
Trang 5Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A Trên đường tròn (O; R) vẽ dâyAB = R Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) tại N (N khác A) Đường thẳng qua N và song song với AB cắt đường thẳng MB tại E
a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm M trên cung lớn AB
b) Tìm vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
a) Ta có NE MN OO` R r
NE R r.AB R r.
R
Độ dài đoạn NE không đổi
b) MNE
MNE
MAB
Diện tích tam giác MNE lớn nhất Diện tích tam giác AMB lớn
nhất
Gọi Mo là điểm chính giữa của cung lớn AB Tam giác AMoB cân
tại Mo
Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại Mo cắt BM tại K
o
AM B AMB AKB (góc ngoài của tam giác AMK), do đó M nằm
giữa hai điểm B và K
suy ra khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn khoảng cách từ K
đến AB
MoK // AB M O o ABtại H và khoảng cách từ K đến AB bằng
MoH
Vậy khi M là điểm chính giữa của cung lớn AB thì diện tích AMB
có giá trị lớn nhất
o
2
Diện tích MNE có giá trị lớn nhất bằng
2 2
(R r) (2 3)R 2 3
Hình 0,25 đ (0,75 điểm) (0,75 điểm) (0,25 điểm)
0,5 điểm 0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
O O’
M B
A N
E
K
M0 H
Trang 6Chú ý :
+ Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, nếu học sinh có cách giải khác, hợp lý và đúng chính xác vẫn cho điểm tối đa
+ Đối với bài toán hình, nếu không có hình vẽ thì không chấm
+ Đề nghị tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất quan điểm và chấm chung ít nhất
05 bài để rút kinh nghiệm, sao cho đảm bảo sự công bằng cho tất cả các bài thi
