Tim m doi voi phuong trinh,bat phuong trinh va he bang pp don dieu va gtnn , gt

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A.

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA HÀM SỐ A) Phương Pháp:

Với phương trình có dạng : f (x) =g(m)

Chúng ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của f (x) và g (m) Do đó

số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 hàm số

Bước 2: Xét hàm số y = f (x)

• Tìm tập xác định D

• Tính đạo hàm y' , rồi giải phương trình y' = 0

• Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3: Kết luận:

• Phương trình có nghiệm ⇔ min f(x) ≤g(m) ≤ max f(x)

• Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ dựa vào bảng biến thiên xem

)

(m

g cắt f (x) tại k điểm Suy ra giá trị cần tìm

• Phương trình vô nghiệm ⇔ hai hàm số không cắt nhau

Với bất phương trình có dạng : f(x) ≤g(m)

Chúng ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Xét hàm số y = f (x)

• Tìm tập xác định D

• Tính đạo hàm y' , rồi giải phương trình y' = 0

• Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 2: Kết luận:

• Bất phương trình có nghiệm D∈ ⇔ miny≤g(m)

• Bất phương trình nghiệm đúng ∀x∈D ⇔ maxy≤g(m)

Chú ý : Nếu f(x) ≥g(m) thì:

• Bất phương trình có nghiệm D∈ ⇔ miny≥g(m)

• Bất phương trình nghiệm đúng ∀x∈D ⇔ maxy≥g(m)

Loại 1: Bài toán tìm m đối với phương trình

Bài 1.Tìm m để phương trình sau có nghiệm : a)

m x

x x

x2 + + 1 − 2 − + 1 =

b)x x+ x+ 12 =m( 5 −x+ 4 −x)

c) x+ 9 −x = −x2 + 9x+m

d) 4 x2 + 1 − x =m

1 2 1

2

1 2 '

2

−

− + +

+

=

x x

x x

x

x y

1 )

1 2 ( 1 )

1 2 ( 0 ' = ⇔ x− x2 +x+ = x+ x2 −x+

= + +

) 1 2 ( ) 1 (

) 1 2 (

0 ) 1 2 )(

1 2 (

2 2 2

2

x x x

x x x

x x

⇔ vô nghiệm

Mà y' ( 0 ) = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên R

• Giới hạn :

1 1 1

2 lim

) 1 1

( lim lim

2 2

2

+

− + + +

= +

−

− + +

=

+∞

→ +∞

→ +∞

x x

x x

x y

x x

x

1 1 1

2 lim

x x

4 0

0 4

0 5

0 12

≥

x x

x x

x

x x

4 5

) (

biến ⇒y=h(x).g(x) là hàm đồng biến trên D

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi : f( 0 ) ≤m≤ f( 4 )

12 )

2 5 (

⇔ 2 9 9 2 2 9 Xét hàm số y=x2 − 9x+ 9 + 2 −x2 + 9x

• Miền xác định : D =[ ]0 , 9

• Đạo hàm :

x x

x x

y

9

) 9 2 ( 9 2 '

) 9 2 ( 0 '

−

⇔

=

x x x

y

⇔x= 29

• Bảng biến thiên :

Vậy phương trình có nghiệm khi : 9

4

9 ≤ ≤

d) 4 x2 + 1 − x =m

Điều kiện : x≥ 0

Xét hàm số : y = 4 x2 + 1 − x

• Miền xác định : D=[0 , +∞)

• Đạo hàm :

y' 24 (x2x 1)3 −21x

+

=

y' = 0 ⇔x x = 4 (x2 + 1 ) 3

) 1 ( +

=

⇔ x2 =x2 + 1 (vô nghiệm) Suy ra y ' x( ) không đổi dấu trên D, mà 0

2

1 8 2

1 ) 1 ( ' = 4 − <

y

Do đó y' (x) < 0 ∀x∈D ⇔hàm số đồng biến

• Giới hạn:

0 ) 1 )(

1 (

1 lim

) 1 (

lim lim

2

+ + +

+

=

− +

+∞

x

• Bảng biến thiên:

x 0

2 9 9

' y – 0 +

y 9 9

−49

x 0 +∞

' y – y 1

0

Vậy phương trình có nghiệm khi : 0 <m≤ 1

e) 4 x4 − 13x+m+x− 1 = 0

Biến đổi phương trinh : 4 x4 − 13x+m= 1 −x

   − = + − ≥ − ⇔ 4 4 ) 1 ( 13 0 1 x m x x x

   = + − − ≤ ⇔ m x x x x 13 ) 1 ( 1 4 4 Xét hàm số y= ( 1 −x) 4 −x4 + 13x • Miền xác định : D =(− ∞ , 1] • Đạo hàm : y' = − 4 ( 1 −x) 3 − 4x3 + 13 = − 12x2 + 12x+ 9 y' = 0 ⇔ − 12x2 + 12x+ 9 = 0      − = = ⇔ ) ( 2 1 ) ( 2 3 n x l x • Giới hạn : = [ − − + ]= +∞

−∞ → −∞ → y x x x x xlim lim ( 1 ) 4 4 13 • Bảng biến thiên:

Vậy để phương trình có nghiệm khi : m≥ −23 x − ∞

2 1 − 1 ' y — 0 +

y +∞

12

−23

(loại)Khi x> 2 : Chia 2 vế cho 4 x2 − 4 ta được :

2

2 2

−

x

x x

Tìm điều kiện cho t

2

2 )

1

2

2 4

1 2

2 )

( '

4

3 2

x x x

x x f

Suy ra hàm số f (x) nghịch biến∀x > 2

1 )

( lim ) ( > ⇔ >

⇔

+∞

x f

1

) 1 ( 2

2 )

2 ( 4 4 4

x x

1

1 1

1 0

1

0 1

4 2 1

) 1 ( 2

2

2 4

4 4

4

t

t t

t t

t t

t

Mặc khác t > 0 ⇒t> 1

1 2

2 2

2

t f m g t

t t m t

1 2

2 )

• Miền xác định : D =(1 , +∞)

• Đạo hàm : ( + ) > ⇒

+ +

1 2

2 2 2 ) (

t

t t t

Vậy để phương trình có nghiệm : g(m) > 1 ⇔m> 1

g) tan 2x+ cot 2x+m(tanx+ cotx) + 3 = 0

Đặt t= tanx+ cotx⇒t2 = tan 2x+ cot 2x+ 2

Tìm điều kiện cho t :

2 cot

tan 2 cot tan

t

t m mt

Xét hàm số

t

t t

f

t t

1 lim ) ( lim

Vậy để phương trình có nghiệm:

Bài 2.Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

0 2

Xét hàm số y = 4 2x+ 2x+ 2 4 6 −x+ 2 6 −x

• Miền xác định: D =[ ]0 , 6

• Đạo hàm

x x

x x

=

6

1 )

6 ( 2

1 2

1 ) 2 ( 2

1 '

0 6

1 2

1 ) 6 ( 2

1 )

2 ( 2

1 0

x x

y

0 6

1 2

1 ) 6 ( 2

1 6

1 2

1 2

1 6

1 2

1

4 4 4

x x x x

x x

4

1 2

2 4 + 4 12 + 12

Để (1) có hai nghiệm phân biệt: 2 ( 4 6 + 6 ) ≤m< 3 ( 4 4 + 4 )

b) x4 − 4x3 + 16x+m+4 x4 − 4x3 + 16x+m = 6

Đặt t= 4 x4 − 4x3 + 16x+m (t ≥ 0 )

Lúc đó : t2 +t= 6 ⇔t2 +t− 6 = 0



  − = = ⇔ t t 23(n(l)) Với t= 2 ⇔ x4 − 4x3 + 16x+m= 16 ⇔x4 − 4x3 + 16x= 16 −m (*) Xét hàm số : f(x) =x4 − 4x3 + 16x • Miền xác định: D= R • Đạo hàm : f' (x) = 4x3 − 8x2 + 16 f' (x) = 0 ⇔ 4x3 − 8x2 + 16 = 0 ⇔x x==−21 • Giới hạn = − + = +∞

+∞ → +∞ → ( ) lim ( 4 16 ) lim f x x4 x3 x x x = − + = +∞

−∞ → −∞ → ( ) lim ( 4 16 ) lim f x x4 x3 x x x • Bảng biến thiên: x − ∞ -1 2 +∞

' y — 0 + 0 +

y + ∞ +∞

16

-11

Vậy để có hai nghiệm khi : 16 −m> − 11 ⇔m< 273.Tìm m để phương trình mx2 + 1 = cosx có đúng 1 nghiệm thuộc )

2 4 2 sin 2 1 cos

x m

x

2 2

2 sin

t

t

2 sin

t t t t

f' ( ) = .cos 2−sin = cos .( −2 tan ) < 0 ∀ ∈( vì t∈D⇒ cost> 0 , tant<t )

Do đó hàm f (t) nghịch biến

• Giới hạn : lim ( ) lim sin 1

f

t t

• Bảng biến thiên:

t 0 π4)

Vậy để phương trình có đúng một nghiệm :

2 2

2 2

4 2

1 1 2 8 1 sin 8 1 ) ( 2

2

π π

π

π  < ⇔ <− < ⇔− < <−









<

⇔

<

t

t t

f

4.Tìm m để phương trình m x2 + 2 =x+m có ba nghiệm phân biệt

Bài làm:

Biến đổi phương trình: m( x2 + 2 − 1 ) =x

1 2 2 + − = ⇔ x x m (vì x2 + 2 ≥ 2) Xét hàm số 1 2 ) ( 2 + − = x x x f • Miền xác định : D =R • Đạo hàm : 2 22 2 ) 1 2 ( 2 2 2 ) ( ' − + + + − = x x x x f f' (x) = 0 ⇔ x2 + 2 = 2 ⇔x= ± 2 • Giới hạn 1

1 ) 1 2 ( lim 1 2 lim ) ( lim 22 2 =       + + + =     − + = +∞ → +∞ → +∞ → x x x x x x f x x x 1

1 ) 1 2 ( lim 1 2 lim ) ( lim 2 2 2 = −       + + + =     − + = −∞ → −∞ → −∞ → x x x x x x f x x x • Bảng biến thiên: x − ∞ − 2 2

∞ +

' y — 0 + 0 —

y −1 2

− 2

1

Vậy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt: − 2 <m< 2

Loại 2: Bài toán tìm m đối với bất phương trình

Bài 1: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

− +

=

=

) 5 1

( 5 ) 3 ( 2 )

(

) 5 1 ( 5 ) 3 ( 2 )

( )

2

2 1

x x

m x

x f

x x x

m x

x f x

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

{ ( 1 ), ( 5 ), ( 3 )} 1 min

1 ) (

0 5 6 10 1 2 1

1 ) 3 (

1 ) 5 (

1 ) 1 (

2 1

m f f f

Vậy với 1 <m< 5 bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x

b) Đặt t= 3x (t> 0 )

Lúc đó : 2 1 0 2 1 21 g(m) f(t)

t

t m t

mt t

t

m − + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥

1 )

(

t

t t

2 0 ) (

t

t t

t t

t t t

f

x x

• Bảng biến thiên:

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ⇔g(m) ≥ max f(t) ⇔m≥14 c) Biến đổi bất phương trình có dạng : m(x4 + 1 ) ≥ 4x ( ) ( )

1 4 4 g m f x x x m ⇔ ≥ + ≥ ⇔ Xét hàm số 1 4 ) ( 4 + = x x x f • Miền xác định D =R • Đạo hàm ( 4 )2 4 1 12 4 ) ( ' + − = x x x f 4 3 1 0 ) ( ' x = ⇔x= ± f • Giới hạn : lim ( )=0 ±∞ → f x x • Bảng biến thiên: x 0 2 +∞

' y + 0 —

y

4 1

∞ − 0

x − ∞ 4

3 1 − 4

3 1 ∞ +

' y — 0 + 0 —

y 0 4 27

− 4 27 0

Vậy để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

4 27 )

( max )

) 2

≤ +

⇔

t

t m t

t m

⇔g(m) ≤ f(t)Xét hàm số:

2

1 )

( '

3 1 0

) ( ' t = ⇔x= − ±

f

2

1 lim ) (

t t

f t t

• Bảng biến thiên :

Để bất phương trình có nghiệm:

4

1 3 )

( max ) (m ≤ f t ⇔m≤ +

0

b) 2 sin x + 3 cos x ≥m 3 sin x (*)

Chia 2 vế của (*) cho 3 sin 2xta có:

) 1 ( 9

1 3 3

2 3

m m

x x

x

x x

2 9

1 3 3

2 9

1 3 3

2 1 sin 0

2 2

− +

=

=

⇔

) 3 1 ( 9 ) 2 ( 2 )

(

) 3 1 ( 5 ) 3 ( 2 )

( ) (

2 2

2 1

x x

m x x f

x x x

m x x f x f

Vậy (*) có nghiệm ⇔ max f(x) > 0 ⇔ max{f2( 1 ); f2( 3 ); f2(m+ 2 )} > 0

0 5 6

0 6 2 0 ) 2 (

0 ) 3 (

0 ) 1 (

2 2

2

2

m m

m m m m

f f f

Bài 3: Tìm tất cả m để bất phương trình 3 13

2 3

x mx

x x

mx≤ + −

3 6 243 1

x

x x

• Miền xác định : D =[1 , +∞)

• Đạo hàm :

D x x

x x x

x x x

f' ( ) = 2 −2 +4 = 2 ( −5 1)+4 > 0 ∀ ∈

3 3 5

3 6

+∞

→ +∞

3

2 lim ) ( lim

x

x x x

f x x

• Bảng biến thiên :

Để bất phương trình nghiệm đúng với x≥ 1

) ( ) ( min f x ≥g m

⇔

3

2 2

log 2 2

2 2

nghiệm đúng với mọi x> 0

Bài làm:

Đặt t 2 x

2 log

1 )

f

• Miền xác định D=(1 , +∞)

• Đạo hàm : 2 3 ( 1)2

2 )

( '

f

2 0

) ( ' t = ⇔t=

1 2

2 lim

) ( lim

t

t t

2 lim

) ( lim

t

t t

f

t t

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x> 0

⇔ f(t) ≥g(m) ∀t > 0 ⇔ min f(t) ≥g(m) ⇔ 1 ≥m

x x

Nhận xét : đề bài yêu cầu thoả mãn x∈(− 2 , 0)

Do đó ta xét giao của hai tập hợp trên : x∈(− 2 , 0)

Xét hàm số : ( ) log ( 2 2 3 )

4 − − +

x f

• Miền xác định D=(− 2 , 0)

• Đạo hàm

) 3 2 (

2 ln 2

2 2 4

ln

) 3 2 ln(

) (

' 2

x x

x x

f

1 0

) ( ' x = ⇔x= −

' x

f + 0 — )

(x

f 1

3 log43 log4

Vậy để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x∈ (− 2 , 0 )

m m

4

3 )

( max

Loại 3: Bài toán tìm m đối với hệ phương trình

Bài 1: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:

= +

−

) 2 ( 2

) 1 ( 0

xy y

m y

y

4 4

0 2

2

2

y f m g y

y m m

y y

y y

− +

) ( lim

4 ) ( lim

0

0

y f

y f

y f

y y y

• Bảng biến thiên :

Vậy để hệ có nghiệm : m∈ ( −∞ , 2 ] ∪ ( 4 , +∞ )Bài 2: Xác định m để hệ phương trình có hai cặp nghiệm phân biệt

5 2

(

log

) 1 ( 4 log ) 1 ( log )

1

(

log

5 2 2

2

3 3

3

2 x x

m x

x

x x

log 1

1 log 3 3 > ⇔ < <

x x

• Đạo hàm:

) 3 , 1 ( )

5 2 (

2 ln

2 2 )

x x

f Hàm số đồng biến nên ta có f( 1 ) < f(x) < f( 3 ) ⇔ 2 <t< 3

Nhận xét số nghiệm của x thông qua t

• Ta có x2 − 2x+ 5 = 2t ⇔ (x− 1 ) 2 = 2t− 4Suy ra ứng với mỗi giá trị t∈ ( 2 , 3 ) thì ta luôn có một giá trị x∈ ( 1 , 3 )

t

m

t− = 5 ⇔ 2 − 5 =Xét hàm số f(t) =t2 − 5t ∀t∈ ( 2 , 3 )

• Đạo hàm :f' (t) = 2t− 5 = 0 ⇔t =25

• Bảng biến thiên :

x 2

2 5

3 '

y + 0 —

6

− −254

Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt 6

4

25 4

5

) 1 ( 3

m y

0

y x

3 5

) ( '

2

− +

+

=

t t

t t

t t

f

12 6

3 5

0 ) ( '

2

−

= +

⇔

=

t t

t t

t t

f

⇔t t2 − 6t+ 12 = ( 3 −t) t2 + 5 ⇔t4 − 6t3 + 12t2 =t4 − 6t3 + 14t2 − 30t+ 45 ⇔ 2t2 − 30t+ 45 = 0 vô nghiệm với x∈D

−

+

) 2 ( sin

sin

) 1 ( 0 5

2

2

y x

y

x

m x

) 0 ( cos 1 ) ( '

t t

t t t

f

Suy ra f' (t) ≥ 0 ∀t ≠ 0 ⇔hàm số đồng biến

Từ (*)⇔ x= y.Thay vào (1): 3x2 − 5x+m= 0 (**)

Để hệ có hai nghiệm với tung độ trái dấu ⇔phương trình (**)

có 2 nghiệm trái dấu⇔ P< 0 ⇔m< 0

) 1 ( ) )(

( 3 3 2

x

m xy x y

y x

Bài làm:

Thay (2) vào (1) ta có : 3x − 3y = (y−x)(xy+x2 +y2 )

⇔ 3x − 3y =y3 −x3 ⇔ 3x+x3 = 3y +y3 ⇔f(x) = f(y)Xét hàm số f(t) = 3t +t3

Để hệ có nghiệm: m≥ 0

C).Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tìm m để bất phương trình (m+ 2 )x−m ≥x+ 1 có nghiệm x∈[ ]0 , 2

Bài 2: Tìm m để 9 2x2−x − 2 (m− 1 ) 6 2x2−x + (m+ 1 ) 4 2x2−x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi

x thoả điều kiện x ≥12

Bài 3: Tìm m để phương trình x− 2 (x+ 1 ) +m= 0 có ba nghiệm phân biệt

3

1 2 2 2

+ +

2

1 2

2

5 4

2

x mx x

x x

Bài 8: Tìm m để hệ phương trình có ba cặp nghiệm phân biệt







= +

=

− + +

1

0 )

1 (

xy x

m y x

0 4 3

2 3

2

m m

x x x

x x

Bài 10: Tìm m để hệ vô nghiệm:

+

= +

x m y

y m x

y

x

3 3

3 3

Bài 11: Tìm m để phương trình có nghiệm:

−

≤ +

− + + +

+

) 2 ( 0

3 2 ) 2 (

) 1 ( 2007 2007

7 7

2

1 2 1 2

m x m x

x

x x

x