[r]
Trang 1Chuyên đề LƯỢNG GIÁC (LTĐH)
A) Các công thức lượng giác :
1) Hệ thức cơ bản :
(1) sin x cos x 1 (2) tan x (3) cot x
(4) tan x.cot x 1 (5) 1 tan x (6) 1 cot x
2) Cung liên kết :
Cung đối : sin x sin x cos x cosx
tan x tan x cot x cot x
Cung bù : sin x sin x cos x cosx
tan x tan x cot x cot x
Cung hơn kém : sin x sin x cos x cosx
tan x tan x cot x cot x
Cung hơn kém
: sin 2 x cosx cos 2 x sin x
3) Công thức cộng :
sin a b sin acos b cosasin b
cos a b cosacos b sin asin b
tan a tan b tan a b
1 tan atan b
4) Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc :
Công thức nhân đôi : sin 2a 2sin acosa
2
cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2sin a
2 tan a tan2a
1 tan a
Công thức nhân ba : sin3a 3sina 4sin a 3
3 cos3a 4cos a 3cosa
Công thức hạ bậc :
5) Công thức tính sinx, cosx, tanx theo
x tan
2 :
Trang 2Đặt
x
t tan ,x k2
2
, ta có :
2
6) Công thức biến đổi tích thành tổng :
1 cosacosb cos a b cos a b
2 1 sin asin b cos a b cos a b
2 1 sin acos b sin a b sin a b
2
7) Công thức biến đổi tổng thành tích :
sin a sin b 2sin cos sin a sin b 2 cos sin
sin a cosa 2 sin a sin a cosa 2 sin a
B) Phương trình lượng giác :
1) Phương trình lượng giác cơ bản :
Đặc biệt :
2
2) Phương trình lượng giác cổ điển (bậc nhất đối với sinx và cosx) :
Dạng : asin x b cosx c (a,b 0)
Ta có :
Trang 3Còn 2 cách khác, 1 cách là chia cả 2 vế cho a, 1 cách là đặt
x
t tan
2
Quan trọng : Điều kiện để pt lượng giác cổ điển có nghiệm là : a2b2 c2
3) Phương trình lượng giác đẳng cấp : là phương trình lượng giác có bậc các số hạng bằng nhau hoặc
bậc cách nhau 2 đơn vị
Ví dụ : PT có dạng : asin x bsin x cosx ccos x d2 2 là pt lượng giác đẳng cấp
Cách giải : Chia 2 TH
Thay vào pt nếu :
2
2
sin x 1: Nhận nghiệm x k
2 sin x 1: Loại nghiệm x k
2
TH2 : cosx 0 Chia cả 2 vế pt cho cos2x, ta được 1 pt bậc 2 theo tanx
Còn 1 cách khác : Nếu pt có dạng asin x bsin x cosx ccos x d2 2 , ta còn có thể dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa pt về dạng cổ điển
4) Phương trình lượng giác đối xứng đối với sinx và cosx : là phương trình có chứa sinx cosx và
sinxcosx :
Cách giải pt a sin x cosx bsin x cosx c : Đặt t sin x cosx 2 sin x 4 thì t 2
Khi đó :
2
t 1 2sin x cosx sin x cosx
2
Thế vào được 1 pt bậc 2 theo t, giải pt bậc 2 theo
t, (chỉ nhận nghiệm thỏa đk), rồi giải tiếp pt cơ bản
Cách giải pt a sin x cosx bsin x cosx c : Đặt t sin x cosx 2 sin x 4 thì t 2
Khi đó :
2
t 1 2sin x cosx sin x cosx
2
Các chú ý khác :
Khi phương trình đề bài có tanx + cotx và tan2x + cot2x, ta giải bằng cách đặt t tan x cot x với điều kiện t 2
Khi phương trình có
2
2
sin x và sin x
, ta giải bằng cách đặt
1
t sin x
sin x
với đk t 2
Khi phương trình có
2
2
cosx và cos x
, ta giải bằng cách đặt
1
t cosx
cosx
với đk t 2
Bài tập giải phương trình lượng giác 1)
3 sin cos 2
2 2
2) 2sin x2 3 sin 2x 3
3) sin8x cos6x 3 sin6x cos8x 4)
3 3 cos2x cosx 2sin x
Trang 42sin x 3 3 sin x cosx 3 1 cos x 1
6)
4sin 3 3 sin x 2 cos 4
7) 3sin x 5cos x 2cos2x 4sin 2x 02 2
8) 4 sin x cos x 3 3 cosx 3sin x
9) sin 2x 12 sin x cosx 12 0
10)sin x cos x 13 3
11) tan x cot x 2 sin x cosx
12) 2 cos x cos2x sin x 03
13)2 cosx 1 2sin x cosx sin 2x sin x
14)
2
cot x 1 sin x sin 2x
15)1 sin x cosx 1 cos x sin x 1 sin2x 2 2
16) 2sin 2x sin 7x 1 sin x2
17)
2
sin cos 3 cosx 2
18)
2 cos x sin x sin x cosx
0
2 2sin x
19)
x cot x sin x 1 tan x tan 4
2
20) cos 3x cos2x cos x 02 2
21)
1 1 2 2 cos x
22)
2 3 cosx 2sin 2 x
2 cosx 1
23)3cos4x 8cos x 2 cos x 3 0 6 2
24) tan x cot x 2 tan x cot x2 2 6 25)
2
2
26) Xác định m để phương trình : 2 sin x cos x cos4x 2sin2x m 0 4 4 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0,2
27) Tìm a để phương trình sau có nghiệm : 2sin x cosx 1 a
sin x 2 cosx 3