các bài toán lượng giác

xác định m để phương trình đã cho có đúng một họ nghiệm?. Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm.c. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm.. Chứng minh rằng với mọi

Bài 1) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = 5 – cos4x + cos2x – sin2x + sin4x

Bài 2) Biết x là góc nhọn và tanx – cotx = m

Tính giá trị của biểu thức A = tanx + cotx theo m

Bài 3) Biết sinx + cosx = 1.2 hãy tính giá trị của biểu thức

A = sin4x + cos4x

Bài 4) chứng minh rằng nếu cos2a ≠ 0 thì tan2a + 1/cos2a = (1 – 2sin2a)/(1 – sin2a)

Bài 5) cho phương trình (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2x

a Giải phương trình khi m = 1

b Tìm m để m có đúng hai nghiệm trong khoảng (0; ∏)

Bài 6) cho phương trình 3sin4x – 2(m + 2)sin2xcos2x + (1 – m2)cos4x = 0

a giải phương trình đã cho với m = 0

b với giá trị nào của m, phương trình đã cho có nhiều họ nghiệm thuộc khoảng (-∏/2; ∏/2) nhất

Bài 7) Cho phương trình (m + 2)sinx + cos2x – 1 – m = 0

a) Giải phương trình trên khi m = 1

*b) Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm? có đúng một họ nghiệm? có nhiều hơn một họ nghiệm?

Bài 8) Cho phương trình

a Giải phương trình trên khi m = 3

b xác định m để phương trình đã cho có đúng một họ nghiệm?

c xác định m để phương trình để m có đúng một nghiệm thuộc khoảng (0; ∏)?

Bài 9) Cho phương trình (m + 1)sinx + cos2x – m = 0

a Giải phương trình trên khi m = 2

b Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm

Bài 10) Cho phương trình cos2x + (m - 2)sinx – (m + 1) = 0

a Giải phương trình khi m = 1

b Xác định m để phương trình có nghiệm?

Bài 11) Cho phương trình m(1 + tan2x)sinx – tan2x + 1 = 0

a Giải phương trình với m = 1

Chỉ ra những khoảng nghiệm nào thoả mãn điều kiện tanx < 0?

b Xác định m để phương trình có nghiệm

Bài 12) Cho phương trình sin4x + cos4x = m

a Giải phương trình khi m = 1

b Tìm m để phương trình trên vô nghiệm? có nghiệm?

Bài 13) Giải phương trình sin4U + cos4U = 5/8, với U = 2x/3

Bài 14) Giải phương trình cos2x + tan2x + 2cosx + 1 = 0

Bài 15) Giải phương trình cos4x = 2sin22x

Bài 16) Cho phương trình cos2x – sinxcosx – 2sin2x – m = 0

a Giải phương trình khi m = 1

b Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

Bài 17) Giải phương trình (1 – cos2x)/2sinx = sin2x/(1 + cos2x)

Bài 18) Giải phương trình sin3x + cos3x = 1 – (1/2)sin2x

Bài 19) Giải phương trình sin3x + sinxcosx + cos3x = 1

Bài 20) Cho phương trình sinx + cosx = m + sin2x

a Giải phương trình khi m = 1

b Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm

Bài 21) Cho phương trình mtan2x = (1 + cosx)/(1 - sinx)

a Giải phương trình khi m = 1

b Xác định m để phương trình đã cho có đúng một họ nghiệm?

Bài 22) Giải phương trình sin2x = 2cosx + 2√3 cos2x

Bài 23) Chứng minh rằng √3 sin5x + cos5x – 2 ≤ 0

Bài 24) Cho phương trình sinx – mcosx = 1

a Giải phương trình trên khi m = √3

b tìm m để phương trình vô nghiệm

Bài 25) Chứng minh rằng |sinx + cosx + sinxcosx| ≤√2 + 1/2

Bài 26) Cho phương trình 1/sinx + 1/cosx = m

a Giải phương trình với m = 0

b Chứng minh rằng với mọi m, phương trình trên luôn luôn có nghiệm

Bài 27) Cho phương trình sinx + cosx = m sin2x.

a Giải phương trình khi m = 1

b Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình luôn luôn có nghiệm

Bài 28) Giải phương trình tanx - 2√2 sinx = 1

Bài 29) Chứng minh nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì

Cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2) = Cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2)

Bài 30) Chứng minh rằng cos(2∏/7) + cos(4∏/7) + cos(6∏/7) = - 1/2

Bài 31) Tìm giá trị của tham số a sao cho bất phương trình (3a - 1)sinx – 2a < 0 nghiệm đúng với

mọi x thuộc [0; ∏/2]

Bài 32) Giải phương trình 2tan3x – 3tan2x = tan22x tan3x

Bài 33) Giải và biện luận theo m phương trình

(m - 1)sin2x – 2(m + 1)cosx + 2m – 1 = 0

Bài 34) Giải phương trình 2cos2x – sin2x = 2(sinx + cosx)

Bài 35) Giải phương trình

cos4x + 3sin4x – 2sin2x = 0

Bài 7) Cho phương trình (m + 2)sinx + cos2x – 1 – m = 0 (1)

*b) Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm? có đúng một họ nghiệm? có nhiều hơn một họ nghiệm?

Giải

Ta có: (1)  (m + 2)sinx + 1 – 2sin2x -1 – m = 0

 – 2sin2x + (m + 2)sinx – m = 0 Đặt t = sinx, đk |t| ≤ 1, phương trình trở thành -2t2 – (m + 2) – m = 0

Phương trình có tổng các hệ số bằng 0 (a + b + c = (-2) + (m + 2) + (-m) = 0) nên phương trình có nghiệm t1 = 1, t2 = c/a = -m/(-2) = m/2

+ Vì sinx = t1 = 1

Ta có sinx = 1

 sinx = sin(∏/2)

 x = ∏/2 + 2k∏, k∈ Z nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m + Để phương trình có đúng một họ nghiệm thì t1 = t2 hoặc t2 không thỏa mãn điều kiện (loại t2)

Vậy t2 = t1 = 1  m/2 = 1  m = 2 (1);

|t2| >1  |m/2| > 1  m/2 < -1 hoặc m/2 > 1  m < -2 hoặc m > 2 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có:

Bài 13) Giải phương trình sin4U + cos4U = 5/8 (1), với U = 2x/3

Giải

Ta có: sin4U + cos4U =sin4U + 2sin2Ucos2U + cos4U - 2sin2Ucos2U

=(sin2U + cos2U)2 - 2sin2Ucos2U = 1 - 2sin2Ucos2U (vì sin2α + cos2α = 1)

Vậy (1)  1 - 2sin2Ucos2U = 5/8

 - 2sin2Ucos2U = 5/8 – 1

 - 2sin2Ucos2U = - 3/8

 - (1/2)sin22U = -3/8

 sin22U = 3/4

 sin2U = √3 /2 hoặc sin2U = -√3 /2

* sin2U = √3 /2  sin2U = sin(∏/3)

 2U = ∏/3 + k2∏hoặc 2U = ∏ - ∏/3 + k2∏

 U = ∏/6 + k∏hoặc U = ∏/3 + k∏

+ Với U = ∏/6 + k∏  2x/3 = ∏/6 + k∏  x = ∏/4 + k3∏/2

+ Với U = ∏/3 + k∏  2x/3 = ∏/3 + k∏ x = ∏/2 + k3∏/2

* sin2U = - √3 /2  sin2U = sin(- ∏/3)

 2U = - ∏/3 + k2∏hoặc 2U = ∏ + ∏/3 + k2∏

 U = - ∏/6 + k∏hoặc U = 4∏/3 + k∏

+ Với U = - ∏/6 + k∏  2x/3 = - ∏/6 + k∏  x = - ∏/4 + k3∏/2

+ Với U = 4∏/3 + k∏  2x/3 = 4∏/3 + k∏ x = 2∏ + k3∏/2

m < -2 hoặc m ≥ 2

Bài 19) Giải phương trình sin3x + sinxcosx + cos3x = 1 (3)

Giải

(3)  sin3x + cos3x = 1 – sinxcosx

 (sinx + cosx)(sin2x – sinxcosx + cos2x) = 1 – sinxcosx (hằng đẳng thức: a3 + b3 = (a+b)(a2 -ab+b2))

 (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) = 1 – sinxcosx (vì sin2x + cos2x = 1)

 (sinx + cosx)(1 - sinxcosx) – (1 – sinxcosx ) = 0

 (1 – sinxcosx)(sinx + cosx - 1) = 0

 1 – sinxcosx = 0 hoặc sinx + cosx – 1 = 0

* 1 – sinxcosx = 0  sinxcosx = 1  (1/2)sin2x = 1  sin2x = 2 (vì sin2x = 2sinxcosx)

Phương trình này vô nghiệm vì -1 ≤ sin2x ≤ 1

* sinx + cosx - 1 = 0 sinx + cosx = 1  sin(x + ∏/4) = √2 /2  sin(x + ∏/4) = sin(∏/4)

 x + ∏/4 = ∏/4 + k2∏ hoặc x + ∏/4 = ∏ - ∏/4 + k2∏

 x = k2∏ hoặc x = ∏/2 + k2∏

Vậy phương trình (3) có nghiệm là: x = k2∏ hoặc x = ∏/2 + k2∏ , k ∈ Z

Bài 23) Chứng minh rằng √3 sin5x + cos5x – 2 ≤ 0

Giải:

Ta có: √3 sin5x + cos5x – 2 ≤ 0

 √3 sin5x + cos5x ≤ 2

 (√3/2)sin5x + (1/2)cos5x ≤ 2/2

 cos(∏/6)sin5x + sin(∏/6)cos5x ≤ 1

 sin(5x + ∏/6) ≤ 1 (áp dụng công thức cộng sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho ban đầu đúng

Bài 24) Cho phương trình sinx – mcosx = 1

a Giải phương trình trên khi m = √3

b tìm m để phương trình vô nghiệm

Giải

Ta có: sinx – mcosx = √(1 + m2)[(1/√(1 + m2))sinx – (m/√(1 + m2))cosx] = √(1 + m2)(sinαsinx - cosαcosx) = √(1 + m2)cos(x + α)

Với sinα = 1/√(1 + m2); cosα = m/√(1 + m2);

a Với m = √3 ta có: 1/√(1 + m2) = 1/2 nên sinα = 1/2  sinα = sin(∏/6)  α = ∏/6

Phương trình trở thành:

2cos(x + ∏/6) = 1

 cos(x + ∏/6) = 1/2 = cos(∏/3)

 x + ∏/6 = ∏/3 + k2∏ hoặc x + ∏/6 = - ∏/3 + k2∏

 x = ∏/6 + k2∏ hoặc x = - ∏/2 + k2∏

b phương trình trở thành

√(1 + m2)cos(x + α) = 1  cos(x + α) = 1/√(1 + m2)

Phương trình vô nghiệm khi 1/√(1 + m2) >1  √(1 + m2) < 1  1 + m2 <1  m2 < 0

(không xảy ra) Vậy không có giá trị nào của m làm cho phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 30) Chứng minh rằng cos(2∏/7) + cos(4∏/7) + cos(6∏/7) = - 1/2

Giải:

Ứng dụng công thức biến đổi tích thành tổng là để tính các biểu thức mà các cung của các giá trị lượng giác liên tục như:

2∏/7; 4∏/7; 6∏/7

∏/9; 2∏/9; 3∏/9; 5∏/9

Nhân 2 vế của đẳng thức trên với 2sin(∏/7) ta có

2sin(∏/7) cos(2∏/7) + 2sin(∏/7) cos(4∏/7) + 2sin(∏/7) cos(6∏/7) = - (1/2) 2sin(∏/7)

2sin(∏/7) cos(2∏/7) + 2sin(∏/7) cos(4∏/7) + 2sin(∏/7) cos(6∏/7) = - sin(∏/7) (1)

Ta có: + 2sin(∏/7) cos(2∏/7) = 2 (1/2)(sin(∏/7+2∏/7) + sin(∏/7- 2∏/7))

= sin(3∏/7) + sin(-∏/7) = sin(3∏/7) - sin(∏/7) (vì sin(-x) = -sinx)

Tương tự + 2sin(∏/7) cos(4∏/7) = sin(5∏/7) - sin(3∏/7)

+ 2sin(∏/7) cos(6∏/7) = sin(7∏/7) - sin(5∏/7) Vậy (1)  sin(3∏/7) - sin(∏/7) + sin(5∏/7) - sin(3∏/7) + sin(7∏/7) - sin(5∏/7) = - sin(∏/7)

 - sin(∏/7) + sin(7∏/7) = -sin(∏/7)

 - sin(∏/7) + sin∏ = -sin(∏/7)

 - sin(∏/7) = -sin(∏/7) (vì sin∏ = 0)

Đẳng thức cuối cùng đúng nên đẳng thức đã cho ban đầu cũng đúng