Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán lượng giác

Mục đích của việc giảng dạy môn toán ở trung học là trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về môn toán, phương pháp giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán, giúp học sinh khai thác

Em xin trân trọng cảm ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Tươi

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của bản thân em dưới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán lượng giác” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác và kết

quả thu được trong đề tài này là hoàn toàn xác thực

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Tươi

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

1.1 Khái niệm bài toán và lời giải của bài toán 3

1.1.1 Khái niệm bài toán 3

1.1.2 Khái niệm lời giải của bài toán 3

1.2 Vai trò, ý nghĩa của việc giải bài toán 3

1.2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh 3

1.2.2 Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh 4

1.2.3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh 4 1.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh 5

1.3 Phân loại bài toán 6

1.3.1 Phân loại theo hình thức bài toán 6

1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán 6

1.3.3 Phân loại theo nội dung bài toán 6

1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán 6

1.4 Phương pháp chung để giải bài toán 7

1.5 Những kĩ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài toán 11

Chương 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC 15

2.1 Mục tiêu dạy học bài toán lượng giác 15

2.2 Những kiến thức cơ bản về lượng giác trong chương trình Toán trung học phổ thông 16

2.2.1 Giá trị lượng giác của góc lượng giác 16

2.2.2 Các tính chất của góc lượng giác 16

2.2.3 Các công thức lượng giác 17

2.2.4 Phương trình lượng giác 18

2.2.4.1 Phương trình lượng giác cơ bản 18

2.2.4.2 Một số phương trình lượng giác đơn giản 20

2.2.5 Hệ thức lượng trong tam giác 24

2.3 Các dạng bài toán lượng giác 24

2.3.1 Các bài toán biến đổi lượng giác: 24

2.3.1.1 Phương pháp giải 24

2.3.1.2 Hệ thống bài tập 25

2.3.2 Các bài toán bất đẳng thức lượng giác: 37

2.3.2.1 Phương pháp giải 37

2.3.2.2 Hệ thống bài tập 39

2.3.3 Các bài toán nhận dạng tam giác 49

2.3.3.1 Phương pháp giải: 49

2.3.3.2 Hệ thống bài tập 50

2.3.4 Phương trình lượng giác 59

2.3.4.1 Phương pháp giải: 59

2.3.4.2 Hệ thống bài tập: 60

2.3.5 Hệ phương trình lượng giác 74

2.3.5.1 Phương pháp giải 74

2.3.5.2 Hệ thống bài tập 75

KẾT LUẬN 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có nguồn gốc thực tiễn, có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Những tri thức, kỹ năng toán học cùng những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập nhiều môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác, là công cụ

để thực hiện những hoạt động của đời sống thực tế

Mục đích của việc giảng dạy môn toán ở trung học là trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về môn toán, phương pháp giải toán, rèn luyện kỹ năng giải toán, giúp học sinh khai thác các hoạt động tiềm

ẩn trong nội dung môn toán, phát triển tư duy logic và năng lực trí tuệ học sinh

Chương trình toán trung học phổ thông có rất nhiều dạng toánkhó trong đó có các bài toán lượng giác Các bài toán này rất phong phú, đa dạng, phạm vi rộng, xuyên suốt trong chương trình toán trung học phổ thông, trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, đặc biệt là kỳ thi tuyển sinh đại học, các bài toán này thường xuất hiện dưới các hình thức phong phú khác nhau Để giải được các bài toán lượng giác đòi hỏi người học sinh phải nắm chắc những kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt và liên hệ các kiến thức với nhau Trong sách giáo khoa và sách bài tập toán đã đề cập đến hệ thống bài tập thuộc loại này nhưng chưa nhiều Khi giải các bài toán lượng giác học sinh luôn gặp những khó khăn như chưa biết phân tích bài toán, vận dụng công thức chưa hợp lí, thậm chí vận dụng sai công thức…

Để nghiên cứu sâu hơn về các bài toán lượng giác từ đó giúp học

sinh có kỹ năng giải các bài toán này Em xin lựa chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán lượng giác”

2 Mục đích nghiên cứu

Rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông kỹ năng giải các bài toán lượng giác thông qua đó nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông; phát triển tư duy cho học sinh khi giải các bài toán này

3 Nhiệm vụnghiên cứu

 Nghiên cứu cơ sở lý luận, thực tiễn của việc giải toán

 Hệ thống các kiến thức cơ bản, các dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng

 Xây dựng hệ thống bài tập và rèn luyện kĩ năng giải các bài toán lượng giác

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các bài toán lượnggiác trong chương trình trung học phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu lý luận

 Quan sát điều tra

 Thực nghiệm giáo dục

6 Giả thuyết khoa học

Nếu học sinh được rèn luyện kĩ năng giải các bài toán lượng giác thì học sinh sẽ nắm vững kiến thức, kĩ năng trong việc giải các bài toán này, từđó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

7.Cấu trúc khóa luận

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận gồm hai chương

Chương 1 Cơ sở lí luận

Chương 2 Rèn luyện kỹ năng giảicác bài toán lượng giác

NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Khái niệm bài toán và lời giải của bài toán

1.1.1 Khái niệm bài toán

Theo GPOLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như: đề bài, bài tập,…

1.1.2 Khái niệm lời giải của bài toán

Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đặt ra.Như vậy, ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán

Một bài toán có thể: có một lời giải; không có lời giải hoặc nhiều lời giải

Giải một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải

1.2 Vai trò, ý nghĩa của việc giải bài toán

1.2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế, một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các kết luận toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại

để đề ra kiến thức mới Và cứ như vậy, các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để ra các kiến thức mới nữa Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán Như vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cảmột hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng cố qua lại nhiều lần

1.2.2 Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm của toán học cũng như môn toán là một khoa học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích nhất rõ rệt Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic, suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn,…

Chúng ta biết rằng, không thể có một phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích: phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá…Như vậy, qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển

1.2.3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất

cứ bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tình huống của quá trình dạy học môn toán

Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức, gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm; Bài toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví

dụ minh hoạ cho khái niệm; Bài toán được sử dụng để luyện tập và củng

cố vận dụng khái niệm

Trong giảng dạy định lí toán học: Bài toán có thể được sử dụng để

tổ chức gây tình huống dẫn dắt cho học sinh phát hiện ra nội dung định lí toán học; Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lí Đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lí chính là việc tổ chức hướng dẫn cho học sinh tập tìm ra lời giải của một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương nào

1.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều có mục đích rõ ràng Khi giải một bài toán ta luôn có hướng mục đích rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽgóp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại và nhiều khi người ta phải có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó Nói theo cách của G.POLYA là “ Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài

toán” Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người

1.3 Phân loại bài toán

Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi

1.3.1 Phân loại theo hình thức bài toán

Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa

ra một cách rõ ràng trong đề bài toán

Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn trong đề bài toán

1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angorit giải hay chưa để chia các bài toán thành 2 loại:

Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó

Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit nào

1.3.3 Phân loại theo nội dung bài toán

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau như sau:

Bài toán số học

Bài toán đại số

Bài toán hình học

1.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ

năng nào đó hay là bài toán nhằm phát triển tư duy Ta có hai loại bài toán như sau:

Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó

Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

1.4 Phương pháp chung để giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng những gợi ý chi tiết của Poly về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

• Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

• Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

• Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả

• Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan,…

• Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tựthích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

• Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

• Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ: Hướng dẫn học sinh giải bài toán:

Chứng minh∆ABCcó 3 góc thoả mãn:

sin 2Asin 2B4sin sinA Bthì tam giác đó vuông

Bước1: Tìm hiểu đề bài

Bàitoán cho ∆ABC có 3 góc thoả mãn:

sin 2Asin 2B4sin sinA B

Bài toán yêu cầu: Chứng minh tam giác ABC vuông

Bước 2: Tìm lời giải

+ Kiến thức liên quan:

• Tổng 3 góc trong tam giác bằng 180

Công thứcsin ,cosx x của góc bù, phụ nhau, công thức góc nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng…

+ Dự đoán:

Nếu ∆ABC có A90 ta có:

sin 2Asin 2B4sin sinA B

⇔sin180 sin 2B4sin90 sinB

⇔sin 2B4sinB ( vô lí )

Tương tự với trường hợp B90 ta có sin 2A4sinA (vô lí )

Ta có:

sin 2Asin 2B2sin(A B )cos(A B ) 2sin cos( C A B )

4sin sinA B2[cos(A B ) cos( A B )] 2cos( A B ) 2cos C

↓ sin cos(C A B ) cos( A B ) cos C

↓ cos(A B )[sinC 1] cosC

Bước 3: Trình bày lời giải

Ta có: sin2Asin 2B4sin sinA B

⇔2sin(A B )cos(A B ) 2[cos( A B ) cos( A B )]

⇔sin cos(C A B ) cos( A B ) cos C

⇔cos(A B )[sinC 1] cosC

Vậy ∆ABC vuông tại C

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Bài toán sử dụng cách phát biểu khác:

+ Tìm điều kiện của ∆ABC để 3 góc thoả mãn:

sin 2Asin 2B4sin sinA B

+ ∆ABC thoả mãn:sin2Asin 2B4sin sinA B.Hỏi ∆ABC là tam giác gì?

1.5 Những kĩ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài toán

Môn toánđòi hỏi người học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạtđộng trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hóa Do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạtđộng trí tuệ này Vàđóchính là những kĩ năng cần thiết cho việc rèn luyện kĩ năng giải toán, cụ thể là:

- Phân tích là tách (trong tư tưởng) một số hệ thống thành một vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ

- Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống Phân tích và tổng hợp là hai hoạtđộng trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của quá trình thống nhất Chúng là hai hoạtđộng trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy.Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp -Trừu tượng hoá là tách những đặcđiểm bản chất khỏi những đặcđiểm không bản chất Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bản chấtởđây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mụcđích hoạt động

- Theo Polya: “Khái quát hóa là chuyển từviệc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu”

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát”

Khái quát hóa là phép suy luận có lý nên các kết luận rút ra từ khái quát hóa thường mang tính chất ước đoán, giả thuyết Ta có hai con đường khái quát hóa đó là khái quát hóa dựa trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ, đó là con đường của đông đảo học sinh; bên cạnh

đó còn có con đường khái quát hóa dựa trên sự phân tích có thể chỉ một trong hàng loạt các hiện tượng giống nhau

Trong toán học, khái quát hóa liên hệ mật thiết với các thao tác tư duy khác: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, Khái quát hóa có thể sử dụng trong việc hình thành khái niệm, chứng minh định lí, phát hiện và đề xuất các kiến thức mới

- Một phép suy luận ngược lại của phép khái quát hóa có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu toán học ở trường phổ thông và có quan hệ mật thiết tới khái quát hóa là đặc biệt hóa Theo Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng sang nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn trong tập hợp đã cho” Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí, bài toán khái quát, sang những trường hợp riêng lẻ Khi nghiên cứu, xem xét các vấn

đề toán học bằng phép đặc biệt hóa, người ta thường chú ý tới các trường hợp riêng suy biến có lợi trong các lập luận toán học

Những kĩ năng trên được thể hiện qua ví dụ sau:

Ví dụ: Tìm công thức tính sin3x theo những hàm số lượng giác của đối

số x

Hướng dẫn:

Đầu tiên hoạt động phân tích làm biến đổi sin3x thành sin(2xx)

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức với công thức sin(a b ) sin cosa bsin cosb a Việc khớp trường hợp riêng sin(2xx) vào biểu thức tổng quát sin(a b ) là một sự khái quát hóa; việc này thể hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bật các đặc điểm bản chất

“hàm số Sin”, “đối số có dạng tổng hai số” và tách chúng những đặc điểm không bản chất như: “một số hạng của tổng gấp đôi số hạng kia” Tiếp theo khái quát hóa là đặc biệt hóa công thức:

sin(a b ) sin cosa bsin cosb a

cho trường hợp a 2 ,x bx để đi đến công thức

sin(2x x) sin 2 cosx xcos2 sinx x Hoạt động phân tích lại diễn ra khi tách sin 2x và cos2x trong công

thức biến đổi thành sin 2x2sin cosx x, cos2xcos2xsin2x Từ đó dẫn đến biến đổi vế phải thành 3sin cosx 2xsin3x

Cuối cùng việc liên kết biểu thức xuất phát sin3x với kết quả biến

Chương 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC

2.1 Mục tiêu dạy học bài toán lượng giác

• Về kiến thức:

+ Học sinh nắm vững các kiến thức: Giá trị lượng giác của góc lượng giác, các tính chất của góc lượng giác, các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức nhân đôi, nhân ba, công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

+ Học sinh nắm được các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác: Định líSin, định líCosin trong tam giác và các hệ quả

+ Học sinh nắm vững khái niệm phương trình lượng giácnhư: Phương trình lượng giác cơ bản, một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.Từ đó học sinh hiểu và biết cách tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

• Về kĩ năng:

Học sinh có kĩ năng vận dụng các kiến thức cơ bản về lượng giác đã được học trong chương trình toán trung học phổ thông để giải các bài toán lượng giác như: Các bài toán biến đổi lượng giác, nhận dạng tam giác, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình và hệ phương trình lượng giác

•Về tư duy:

+ Học sinh phát triển được tư duy thuật giải thông qua việc giải các bài toán lượng giác, được rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo khi giải các dạng bài tập khác nhau

+ Rèn luyện cho học sinh tính quy củ, tính kế hoạch, cẩn thận, thói

2.2 Những kiến thức cơ bản về lượng giác trong chương trình Toán trung học phổ thông

2.2.1 Giá trị lượng giác của góc lượng giác

sin 0 1

2

22

3

2

22

∗ Cung đối nhau

cos( x) cos( )x sin(  x) sinx

tan(  x) tan( )x cot( )x  cot( )x

∗ Cung bù nhau

sin( x) sinxcos(   x) cos( )x

tan(   x) tan( )x cot(   x) cot( )x

∗ Cung hơn kém nhau π

sin(x) sinx cos(x) cosx

tan(x)tanxcot(x) cot x

∗ Cung hơn kém nhau

cos(a b ) cos cosa bsin sina b cos(a b ) cos cosa bsin sina b

sin(a b ) sin cosa bcos sina b sin(a b ) sin cosa bcos sina b

tan tantan( )

∗ Công thức nhân đôi

sin 2a2sin cosa a

cos2acos asin a2cos a  1 1 2sin a

2

2 tantan 2

1 tan

a a

sin3a3sina4sin a 3

cos3a4cos a3cosa

1 cos cos [cos( ) cos( )]

2

1 sin sin [cos( ) cos( )]

2

1 sin cos [sin ( ) sin( )]

2

∗ Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

1

t a

1

t a

1

t a

Nếu m 1: Phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m 1: Phương trình (1) luôn có nghiệm

Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sin m thì:

Nếu m 1: Phương trình (2) vô nghiệm

Nếu m 1: Phương trình (2) luôn có nghiệm

Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cos   mthì:

Điều kiện xác định của phương trình (3) là cosx0

Với điều kiện trên thì phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi m Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa là tan m thì:

tan m ⇔ x  k (k ) (3’) trong đó  arctan m

Từ (3’) ta thấy: Nếu α, β là 2 số thực mà tan , tan   xác định thì:

tan   tan ⇔    k (k )

+ Phương trình cot xm (4)

Điều kiện xác định của phương trình (4) là sinx0

Với điều kiện trên thì phương trình (4) luôn có nghiệm với mọi m

Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa là cot m thì:

cot xm ⇔ x  k (k ) (4’) trong đó  arccot m

Từ (4’) ta thấy: Nếu α, β là 2 số thực mà cot ,cot   xác định thì:

cot   cot ⇔    k (k )

2.2.4.2 Một số phương trình lượng giác đơn giản

+ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

a, Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là

phương trình có dạng at b 0 (1) (a b , là các hằng số, a0) và t là một trong số các hàm số lượng giác)

b, Cách giải:

Chuyển vế rồi chia 2 vế của phương trình (1) cho a, ta đưa phương trình (1) về phương trình lượng giác cơ bản

+ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

a, Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là

+ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

a, Định nghĩa: Phương trình asinx b cosx c (3) Trong đó a b c , , 

và 2 2

0

a  b được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

b, Cách giải:

Ta có thể lựa chọn một trong các cách giải sau:

Cách 1: Thực hiện 2 bước sau

Bước1: Kiểm tra

Nếu a2 b2 c2thì phương trình vô nghiệm

Nếu a2 b2 c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiệnbước 2

Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (3) cho a2 b2 , ta được:

Cách 2: Thực hiện theo 3 bước sau

Cách 3: Chia 2 vế của phương trình (3) cho a0(hoặc b0), rồi đặt

Giả sử chia cả 2 vế của phương trình (3) cho a0, ta được:

sinx tan cosx c

Đây là phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải

+ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

a, Định nghĩa: Phương trình asin2x b sin cosx x c cos2x d (4) Trong đó a b c d , , ,  được gọi là phương trình bậc hai đối với

Nếu sinx0thì ta chia 2 vế của phương trình cho 2

sin xđể đưa về phương trình bậc 2 đối vớicot x

Nếu sin 2x0thì ta chia 2 vế của phương trình cho sin cosx x để

đưa về phương trình bậc 2 đối vớicot xhoặctan x

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi 2 1 cos 2

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos2x

+ Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

a, Định nghĩa: Phương trình a(sinxcos )x bsin cosx x c 0 (5) trong đó a b c , ,  được gọi là phương trình đối xứng đối với sin x và

cos x

b, Cách giải:

Cách 1: Đặt t sinxcosx, t  2 Từ đó ⤇

21sin cos

2

t

x x Phương trình (5) trở thành 2

Chú ý: 2 cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình:

a x x b x x c 

2.2.5 Hệ thức lượng trong tam giác

∗Định lí Cosin trong tam giác:

Trong tam giác ABC với BC a , CAb, ABc, ta có

ab

 



∗Định lí Sin trong tam giác:

Với mọi tam giác ABC ta có:

2.3 Các dạng bài toán lượng giác

2.3.1 Các bài toán biến đổi lượng giác:

2.3.1.1 Phương pháp giải

• Vấn đề 1: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Muốn chứng minh một đẳng thức lượng giác, ta dùng công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác ở một vế thành biểu thức lượng giác ở vế kia hoặc ta có thể biến đổi đồng thờihai vế của biểu thức

Để ý rằng một biểu thức lượng giác có thể được biến đổi thành nhiều dạng khác nhau Chẳng hạn ta có:

sin 2x  1 cos 2x

(1 cos2 ).(1 cos2 )x x

   (Hệ thức lượng giác cơ bản)

2 1 sin 2 (1 cos4 )

• Vấn đề 3: Tính giá trị của một biểu thức lƣợng giác

Muốn tính giá trị của một biểu thức lƣợng giác, ta tìm cách rút gọn biểu thức này.Ngoài việc sử dụng công thức lƣợng giác, ta nên xét xem biểu thức đã cho có gì đặc biệt, từ đó có thể chọn cách giải thích hợp

1 tan

a

a a

a a

Khai thác bài toán:

∗Ngoài cách giải trên ta còn có thể giải theo các cách khác nhƣ sau: Cách 1: Ngoài cách biến đổi vế trái thành vế phải ta còn có thể sử dụng công thức nhân ba để biếnđổi vế phải thành vế trái

a a



 = tan3a Cách 2: Ta có thể biến đổi đồng thời hai vế

∗ Sai lầm mà học sinh có thể mắc phải:

+ Khi làm theo cách 1 học sinh áp dụng sai công thức lƣợng giác chẳng hạn nhƣ

tan 2 tantan(2 )

∗ Khó khăn mà học sinh có thể gặp phải:

+ Học sinh không nhớ công thức đểáp dụng, không biếtnên sử dụng công thức nào để biến đổi

+ Khi làm theo cách 2, sau khi biến đổi vế phải thành

sin (3cos sin )

cos (cos 3sin )

Cách giải: Tương tựnhư bài 1

∗Từbài toán trên ta có bài toán khái quát:

1, Chứng minh:

2

2

tan (3 tan )tan3

na





Cách giải: Tương tựnhưbài 1

Khai thác bài toán:

∗ Ngoài cách giải trên ta có thể giải bài toán theo các cách giải khác sau: Cách 1: Biến đổi vế phải thành vế trái

1  2sin x(1 sin  x) = 2sin4x 1 2sin2x

=sin4x(sin2x1)2 = sin4xcos4x

Cách 2: Biến đổi đồng thời cả hai vế

Ta có thểbiến đổi hai vế của đẳng thức về cùng một biểu thức củasin x

hoặccos x

(2) ⇔sin4 (1 sin2 )2 1 [2cos 22 1] 3

⇔sin4x 1 2sin2xsin4x = 1 2 2 1

∗ Sai lầm mà học sinh có thể mắc phải:

+ Áp dụng sai công thức chẳng lƣợng giác dẫn đến không thể biến đổi vế trái thành vế phải hoặc biến đổi đồng thời hai vế về cùng một biểu thức + Học sinh sai trong quá trình rút gọn biểu thức

∗ Khó khăn mà học sinh gặp phải:

+ Khi biến đổi vếphải, học sinh không biết nên sử dụng công thức nàođể biến đổi vế trái thành biểu thức chứasin x4 , cos x4

+ Sau khi biếnđổi vế phải thành1 2sin 2 xcos2x học sinh không biết cácháp dụng công thức 2 2

cos x 1 sin xđể biến đổi vế phải thành:

sin xcos x(sin xcos x) 2sin x.cos x

= (1 2sin 2x.cos2 x)2 2sin4 x.cos4x

= 1 4sin 2x.cos2x2sin4x.cos4x

4VT = cos3 (3sinx xsin3 ) sin3 (cos3x  x x3cos )x

= 3(cos3 sinx xsin3 cos )x x 3sin 4x

⤇cos3 sin3 sin3 cos3 3 sin 4

4

Khai thác bài toán:

∗ Ngoài cách giải trên bài toán có thể giải theo các cách sau:

Cách 1: Áp dụng công thức nhân ba biến đổi vế trái thành vế phải

Cách 2: Ta cũng có thể biến đổi đồng thời 2 vế của đẳng thức

Ta có: cos3 sin3 sin3 cos3 3 sin 4

⇔ 3sin cosx 3x3cos sinx 3x 2 2

3sin cos (cosx x x sin x)

3 3 5 1 1(cos cos ) (cos cos ) cos( ) cos( )

sin2

sin sin 2 sin 3 sin

sin2

Khai thác bài toán:

∗ Sai lầm mà học sinh có thể mắc phải:

Để giải bài toán này ta làm tương tự như bài toán trên

Chú ý: Ngoài cách phát biểu: Rút gọn biểu thức, bài toán có thể phát

biểu theo cách khác: Với x 2k,k chứng minh đẳng thức

Khai thác bài toán:

∗ Ngoài cách giải trên bài toán có thể giải theo cách khác như sau:

Cách giải: Tương tự như bài 5

∗ Từ bài toán trên ta có bài toán khái quát:

Khai thác bài toán:

∗ Từ bài toán trên ta có bài toán ngược:

“Giả sử a, b, c thoả mãn điều kiện (2), tìm mối liên hệ giữa a b c, , ”

Hướng dẫn:

1 sin asin bsin c2.sin sin sina b c0

⇔(1 sin  2a).(1 sin  2b)  (sin 2a.sin 2b sin 2c 2.sin sin sin )a b c  0

(cos cos )a b  (sin sina b sin )c  0

⇔(cos cosa bsin sina bsin ).(cos cosc a bsin sina bsin ) 0c 

⇔[cos(a b ) sin ].[cos(c a b ) sin ] = 0c

+ Giải cos(a b ) sinc0 và cos(a b ) sinc0ta tìm được mối liên

Khai thác bài toán:

∗ Từ bài toán trên ta có bài toán tương tự:

Bài 8: Chứng minh rằng trong mọi∆ABC ta có:

a, sin sin sin 4cos cos cos

a, Biến đổi vế trái của đẳng thức

Do đó: tanCtan tan tanA B C (tanAtan )B

⤇ tanAtanBtanCtan tan tanA B C

Khai thác bài toán:

∗ Ngoài cách giải trên bài 8a có thể giải theo cách khác như sau: