[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2020 – 2021 (Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1
a) Tìm số tự nhiên x > 0 sao cho x2 + 36 là số chính phương
b) Cho A 20202021 a1 a2 a3 an là tổng n số tự nhiên (n> 2020)
Tìm số dư của B a15 a25 a35 an5 khi chia cho 3
Câu 2
a) Tính A 5 3 2912 5
b) Giải phương trình :
(2) 3 2
5 x 1 2 x 2
Câu 3
3 3 2023
A x xy y x y
b) Cho các số dương a b c ; ; và abc 1.Chứng minh
3 2
b c a c a b
Câu 4
Cho tam giác ABC cân tại A có 0
90
BAC , đường cao AH Trên tia CB lầy điểm D sao
90
DAC , kẻ DEABtại E
a) Chứng minh: HC.DB = AC.BE
b) Chứng minh: AHEcân tại H
c) Chứng minh: AB.AE + DB.DH = AD2
d) Trên cạnh AB lấy điểm M và trên cạnh AC lấy điểm N sao cho MH là tia phân giác củaBMN Tìm GTNN của BM + CN
- hết - Cán bộ coi thi không giải thích gì hơn
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2020 – 2021
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
1
(4đ)
a
( 2đ)
Giả sử x2 + 36 = y2 (Với y > x; y là số tự nhiên)
(y x).(y x) 36
Vì y – x và y + x cùng tính chẳn lẽ và 0< y – x < y + x Nên y – x = 2 và y + x = 18 => x =8 và y = 10
Vậy số tự nhiên x cần tìm là x = 8
0,5 0,5 0,5 0,5
b
(2đ)
Xét hiệu
n n
3
Do A chia 3 dư 1, nên B chia 3 củng dư 1
0,5 0,5
0,5 0,5
2
(6,0)
a
( 2đ)
2
2
A A A A A
0,5 0,5 0,5 0,5
b
( 4đ) (1)
2
2019 2021 ( 2020) 2
x x x (*)
ĐK: 2019 x 2021
Chứng minh được:
2019 2021 2
x x dấu “=” xảy ra khi x = 2020
Và ( x 2020)2 2 2 dấu “=” xảy ra khi x = 2020 Nên (*) xảy ra thì x = 2020
0,25
0,75 0,75 0,25
Trang 3(2) 3 2
Đặt u x2 x 1 và v x 1 ĐK: x > - 1
Pt trở thành5 uv 2( u2 v2)
Vì u 0 nên pt
2
1 2
2
v
v
u
.Với 1
2
v
u thì 5 37
2
Với v 2
u thì pt vô nghiệm Vậy nghiệm của pt là 5 37
2
0,25 0,25
0,25
0,5
0,25 0,25 0,25
3
(3,0)
a
(1,5đ)
A x xy y x y
=> A nhỏ nhất bằng 2020 khi x = y = 1
0,5 0,5
0,5
b
(1,5đ)
Chứng minh được
2 3
2
3
2 2
a b c
a b c abc a b c vì abc = 1 Nên
3 2
b c a c a b
0,5
0,5
0,5
Trang 44
(7đ)
a
(1,5đ)
Chứng minh được
( )
AHC DEB gg
AC EB DB HC
1đ 0,5
b
(2đ)
Từ câu a suy ra được
( )
BHE BAD cgc
AHE
cân tại H
0,5 0,5 0,5
0,5
c
(2đ)
Kẻ BF ADtại F Chứng minh được :
2
AB AE AF AD
DB DH DF DA
AB AE AF AD AD
0,75 0,75 0,5
d
(1,5đ) Chứng minh được:
2 ( )
.
4
BMH CHN gg
BC
BM CN
Theo Côsi ta có BMCN2 BM CN
BM CN BC
Nên BM + CN nhỏ nhất bằng BC, khi đó BM = CN =BH
0,75 0,25 0,25 0,25
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn
B
A
C D
E
H
F
M
N