Kẻ các đường kính AC và BD, đường thẳng MO cắt AB và CD lần lượt tại I và K. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B đến đường kính AC. c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F bất kì.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn: Toán – (Thời gian làm bài: 150 phút)
-
Bài 1 (6,0 điểm)
a) Cho x 3 5 3 5 1 Tính giá trị biểu thức 3 2
3
2
P
x
b) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn: a b c32024c Chứng minh rằng 3 3 3
6
S a b c
c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2xy2019x2020y2021 0
Bài 2 (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a) x2 6x266 2x 1
b) 2x2 5(x2) x 1 6x 10
Bài 3 (3,0 điểm)
a) Cho x, y là hai số dương thoả mãn: x y 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2
Q x x y
x y
b) Cho a b c, , 0 thoả mãn a b c 3 Chứng minh rằng:
a b c
Bài 4 (6,0 điểm)
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến MA và MB (A, B
là các tiếp điểm) Kẻ các đường kính AC và BD, đường thẳng MO cắt AB và CD lần lượt tại I và K Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B đến đường kính
AC
a) Chứng minh rằng BH.AC = 2MB.CH
b) Gọi giao điểm của MC và BH là E Tính BE theo theo R và MO = d
c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F bất kì Gọi giao điểm của AC và FK là
N Chứng minh NIK AFI
Bài 5 (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng cho 2020 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh
là các điểm đã cho không lớn hơn 1 Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được ít nhất 253 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1
2
-Hết -
Họ và tên: Số báo danh:
Trang 2
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 9 NĂM HỌC 2020-2021
1
a
a) Cho x 3 5 3 5 1 Tính giá trị biểu thức
3
2
P
x
2.0
0.25
0,25
Ta có: 3 x 2 3 2 1 2 1 0.5
2
2x 3x 4x 2 2 (x x 2 ) (x x 2 ) 2x x 2
Thay x22x1 vào ta được 2x 1 2x 2 1
0.25 0.25
0,25 Vậy 1 1
1
P
0.25
b b) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn: 3
2024
a b c c Chứng minh rằng S a3b3c3 6
2.0
Ta có: a b c32024c a b c (c3 c) 2022c
( 1) ( 1) 2022
0.25 0.5 (Vì (c1) (c c1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có thừa số
chia hết cho 2, thừa số chia hết cho 3 mà (2;3)=1 nên tích
đó chia hết cho 6; 2022 6c )
( 1) ( 1) 2022 6
Mặt khác: 3 3 3
(a b c ) ( a b c) (a 1) (a a 1) (b 1) (b b 1) (c 1) (c c 1) 6
Từ (1) và (2) suy ra: 3 3 3
6
c c) Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
2019 2020 2021 0
x xy x y
2.0
Ta có x2xy2019x2020y2021 0
2
2020 2020 2020 1
(x y 1)(x 2020) 1 1.1 1.( 1)
TH2: 1 1 2021
0.5
0.5
Trang 3Vậy x y, 2021, 2021 ; 2019, 2021 0.25
2
a Giải phương trình: 2
x 6x266 2x 1 2.0
ĐK: x 1
2
2 (x 8x 16) (2x 1 6 2x 1 9) 0
0.25
0.5
(x 4) ( 2x 1 3) 0 (1)
(x 4) 0 x;( 2x 1 3) 0 x
2
x 4 0 x 4
x 4 2x 1 3
Vậy S 4
0,5
0,25
b Giải phương trình: 2x2 5(x2) x 1 6x 10 (1) 2.0
ĐK: x -1
(1) 2(x2)25(x2) x 1 2(x 1) 0
2(x 2) 4(x 2) x 1 (x 2) x 1 2 (x 1) 0
2(x 2) (x 2) 2 x 1 x 1 (x 2) 2 x 1 0
(x 2 2 x 1)(2x 4 x 1) 0
0.25 0.5
0.25
2
2 x 1 x 2 x(x 8) 0
(x 2) 4x 17x 15 0
x 1 2x 4
x 0 (Loai)
x 8 (T/M)
x 3(T/M) 5
x (Loai) 4
Vậy S 3;8
0,5
0,5
3
a
a) Cho x, y là hai số dương thoả mãn: x y 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 6 8
2
Q x x y
x y
1.5
x y x y
Q x
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 3 6 2 3 6 6
Trang 4Mặt khác: 2
(x2) 0 x; ( ) 6 3
xy
Do đó Q 0 3 6 4 4 9
0.25
0.25
Dấu “=” xảy ra
2 0 6
2
(T/M) 4 2
8 2
x
x y
x x
y x
y y
Vậy Qmin 9 x 2;y 4 0.25
b
Cho a b c, , 0 thoả mãn a b c 3 Chứng minh rằng:
a b c
1.5
3
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
2
1 ( 1)
a b
0,5
Tương tự:
2
1
b c
2 1 ( 1) (3)
c a
Cộng theo vế các bất đẳng (1),(2),(3) ta được:
a b c
3 6
2
ab bc ca
Mặt khác: 2
(a b c ) 3(ab bc ca )ab bc ca 3
Do đó 2 1 2 1 2 1 6 3 3
Dấu “=” xảy ra a b c 1 Vậy 2 1 2 1 2 1
a b c
(đpcm)
0,5
4
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến
MA và MB (A, B là các tiếp điểm) Kẻ các đường kính AC
và BD, đường thẳng MO cắt AB và CD lần lượt tại I và K
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm B đến đường kính AC
a) Chứng minh rằng BH.AC = 2MB.CH b) Gọi giao điểm của MC và BH là E Tính BE theo
6.0
Trang 5theo R và MO = d
c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm F bất kì Gọi giao điểm của AC và FK là N Chứng minh NIK AFI
a
P E
N
K I
D
H
M
C O
A
B
F
0.5
Chứng minh được MAO=MBO (cạnh huyền-cạnh góc
vuông) MA=MB kết hợp OA=OB MO là trung trực của
ABI là trung điểm AB Từ đó suy ra OI là đường trung bình
của tam giác ABCIO//BCMOABCH (đồng vị)
0,5
Từ đó chứng minh được hai tam giác vuông MAO và BHC đồng
dạng (g.g)
BH CH (1) BH.OA=MA.CH
0.5
0.5
2
AC
OA MAMBBH AC MB CH 0.5
b
Vì BH//MA nên áp dụng định lý Ta let vào tam giác CMA ta có:
(2)
MA CA MA 2OA
0,5
Từ (1) và (2) BH 2EH BE EH BH
2
Tam giác ABC có cạnh AC là đường kính của đường tròn ngoại
tiếp nên là tam giácvuông, theo hệ thức lượng ta có:
2
BH AH.CH(2R CH).CH (3)
0.5
Trang 6Thay (1) vào (3) và kết hợp BH=2EH ta được:
2
2 2 2 2
R d R BE
d
0.5
c
Qua O kẻ đường vuông góc với IK cắt IN tại P
Khi đó ta có OP//AI (cùng vuông góc OI) nên NP NO
PI OA 0,5
Mặt khác OK//AF (cùng vuông góc AB) nên NK NO
KF OA
Do đó suy ra NP NK PK//IF FIK PKI (*)
Mặt khác tam giác PIK cân đỉnh H (OP là trung trực của IK), nên PIK PKI (**)
0.25
Từ (*) và (**)FIK NIK, mà FIK AFI (so le trong)
5
Trong mặt phẳng cho 2020 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1
Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được
ít nhất 253 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1
2
1.0
Gọi A Ai j là hai điểm xa nhau nhất trong các điểm thuộc tập hợp
2020 điểm đã cho Giả sử Ak là điểm cách xa đoạn thẳng A Ai jnhất Khi đó Tam giác A Ai jAklà tam giác có diện tích lớn nhất không lớn hơn 1
Vẽ các đường thẳng đi qua các điểm Ai, Aj, Ak lần lượt song song với các cạnh của A Ai j Ak
Ta được 4 tam giác nhỏ bằng nhau và một tam giác lớn chứa cả
4 tam giác nhỏ Tam giác lớn có diện tích không quá 4 đơn vị Do đó, tam giác lớn chứa tất cả 2020 điểm đã cho 0.5
Ta có 2020 chia cho 4 được 505 như vậy có ít nhất 1 trong 4 tam giác có 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1chứa ít nhất 505 điểm trong 2020 điểm đã cho
Chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau Ta có
505 chia cho 2 được 252 dư 1 nên theo nguyên tắc Dirichlet suy
ra có 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1
2 chứa 253 điểm trong
Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương ứng theo từng phần
- Bài 4 HS không vẽ hình không chấm điểm