phuong trình eliptic nửa tuyến tính

2 Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến2.1 Các kết quả trong trường hợp tới hạn... Với đề tài này, chúng tôi sử dụng đa tạp Nehari và phương pháp thớ đểchứng minh các k

để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạnchế nên bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giảrất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn nàyđược hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2016

Học viên

Hà Thị Ngoan

2 Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến

2.1 Các kết quả trong trường hợp tới hạn 162.1.1 Trường hợp tới hạn (a): p = 2∗ = N −22N , 1 < q < 2 172.1.2 Trường hợp tới hạn (b): q = 2∗b = 2(N −1)N −2 , 2 < p < 2∗b 232.1.3 Trường hợp tới hạn (c): p = 2∗ = N −22N , q = 2∗b =

2(N −1)

N −2 262.2 Kết quả rẽ nhánh: trường hợp q=2, 1<p<2 31

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến đãđược nghiên cứu sâu rộng Sau bài báo [3] của Brezis-Nirenberg, phươngtrình nửa tuyến tính với số mũ Sobolev thu hút sự quan tâm của nhiềunhà toán học, xem [1,5,10,15] Trường hợp số mũ tới hạn kép được nghiêncứu lần đầu vào những năm 90 và gần đây vẫn tiếp tục được mở rộng khixét hàm trọng đổi dấu hay khi xét toán tử suy biến [9,16,17]

Trong luận văn chúng tôi xét lớp các bài toán nửa tuyến tính với sốhạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng Sobolev, xuất hiện cả trênbiên và ở vế phải:

Với đề tài này, chúng tôi sử dụng đa tạp Nehari và phương pháp thớ đểchứng minh các kết quả nghiệm bội cho phương trình elliptic nửa tuyếntính với điều kiện biên phi tuyến Chúng tôi hạn chế p, q thỏa mãn mộttrong các trường hợp sau:

(a) p = 2∗, q ∈ (1, 2) (b) p ∈ (2, 2∗), q = 2∗b (c) p = 2∗, q = 2∗b

Khi đó, luận văn trình bày chi tiết kết quả sau:

Định lí (Zhang& Liu) Tồn tại một số dương λ∗ sao cho với mọi λ ∈(0, λ∗), bài toán (1) có ít nhất hai nghiệm dương

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu, tổng hợp và trình bày kết quả

về sự tồn tại nghiệm bội dương của bài toán biên nửa tuyến tính với sốhạng phi tuyến xuất hiện cả trên biên và trong vế phải, với số mũ Sobolevtới hạn

Nhiệm vụ nghiên cứu trước hết là tìm hiểu về lí thuyết đa tạp Nehari

và kĩ thuật ánh xạ phân thớ, và sau đó, chứng minh sự tồn tại ít nhất hainghiệm dương của bài toán khi tham số λ đủ nhỏ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là một lớp bài toán elliptic nửa tuyến tính với sốhạng phi tuyến xuất hiện ở cả vế phải và trên biên, thỏa mãn điều kiệndưới tới hạn hoặc tới hạn

Phạm vi nghiên cứu là sự tồn tại nghiệm bội dương của bài toán (1) vàbài toán rẽ nhánh từ giá trị riêng đầu tiên của bài toán giá trị riêng tươngứng khi q = 2

4 Định hướng và phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức đã học về phương trình elliptic, giải tích hàm phituyến và việc tham khảo tài liệu cũng như các bài báo liên quan Để giải

bài toán (1), chúng tôi sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu cácđiểm tới hạn của phiếm hàm:

J (u) = 1

2Z

Ω

(|Ou|2 + |u|2) dx − 1

pZ

Ω

|u|p dx − λ

qZ

∂Ω

|u|q ds (3)

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán đã cho, chúng tôi kết hợphướng tiếp cận phân thớ đề xuất bởi Drabek-Pohozaev trong [6] và kĩ thuậtphân tích đa tạp Nehari Để vượt qua khó khăn trong trường hợp số mũtới hạn kép (cả p và q đều trùng với số mũ tới hạn), chúng tôi sử dụngphương pháp compact tập trung đề xuất bởi Lions trong [10] và vận dụng

ý tưởng trong [9]

Cấu trúc của luận vănNgoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn dự kiếngồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giớithiệu bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến, đưa ramột vài khái niệm và sơ bộ về ánh xạ thớ và đa tạp Nehari, các kết quả vềtính lồi-lõm trong trường hợp dưới tới hạn

Chương 2 Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửatuyến tính với điều kiện biên phi tuyến Trong chương 2, chúng tôitrình bày sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến tính vớiđiều kiện biên phi tuyến trong các trường hợp số mũ tới hạn và trong bàitoán rẽ nhánh

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Giới thiệu và các hệ quả chính

Trong luận văn này ta xét bài toán elliptic nửa tuyến tính:

sử dụng phương pháp thớ và kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari, được phát

triển trong bài báo [6, 15, 11].

Trong [7, 12], tác giả thảo luận các trường hợp khác nhau với p và q từdưới tới hạn đến tới hạn Hơn nữa, bài toán nửa tuyến tính và tựa tuyếntính với điều kiện biên phi tuyến được nghiên cứu trong một vài năm gầnđây

Để giải quyết bài toán (1.1), ta sử dụng phương pháp biến phân thôngqua hàm

J (u) = 1

2Z

Ω

(|Ou|2 + |u|2) dx − 1

pZ

Ω

|u|p dx − λ

qZ

∂Ω

|u|q ds (1.3)

trong đó ds là độ đo trên biên Dễ thấy J được xác định và C1 trong H1(Ω)nếu p và q được thỏa mãn điều kiện (1.2) Nghiệm yếu của bài toán (1.1)tương ứng với điểm tới hạn của hàm J trên H1(Ω), ở đó H1(Ω) là khônggian Sobolev tiêu chuẩn trên Ω được trang bị bởi chuẩn:

Định lí 1.1 Nếu λ thỏa mãn 0<λ<λ0, khi đó bài toán (1.1) có ít nhất 2nghiệm dương u1 và u2, trong đó λ0 giống trong Bổ đề 1.8 bên dưới

Sau bài báo [5] của Brezis và Nirenberg, nhiều nghiên cứu dành cho bàitoán với độ tăng trưởng tới hạn Trong luận văn này, chúng tôi trình bàylại sự tồn tại nghiệm khi ta có số mũ tới hạn p = 2∗ hoặc q = 2∗b hoặc

số mũ tới hạn kép Ta sẽ áp dụng phương pháp compact tập trung đượcgiới thiệu trong [10] và một vài khái niệm từ [9] Khi đó bài toán (1.1) cónghiệm bội không tầm thường trong mỗi trường hợp sau:

Trường hợp a) p = 2∗ và 1 < q < 2;

Trường hợp b) q = 2∗b và 2 < p < 2∗b;

Trường hợp c) p = 2∗ và q = 2∗b

Cụ thể, ta đi chứng minh các định lí sau

Định lí 1.2 Với trường hợp a, tồn tại λ1 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ítnhất 2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ1)

Định lí 1.3 Với trường hợp b, tồn tại λ2 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ítnhất 2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ2)

Định lí 1.4 Với trường hợp c, tồn tại λ3 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ítnhất 2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ3)

Trường hợp còn lại q = 2, ta có bài toán rẽ nhánh từ giá trị riêng thứnhất Bài toán giá trị riêng được hiểu như bài toán Steklov

1.2 Sơ bộ

Ý tưởng trong luận văn này, ta kí hiệu X là không gian Banach vớichuẩn k·kX, X∗ là không gian đối ngẫu của X Lp(Ω), Lp(∂Ω) là khônggian Lebesgue với chuẩn thường |·|p,Ω, |·|p,∂Ω H1(Ω) là không gian Sobolevvới chuẩn k·k, h·, ·i là cặp đối ngẫu của không gian X∗ và X Ta kí hiệu *( tương ứng →) là hội tụ yếu (tương ứng với hội tụ mạnh)

Điều đó được hiểu là nghiệm của (1.1) tương ứng với điểm tới hạn củahàm J xem (1.3) Khi J bị chặn dưới trong không gian Banach H1(Ω), J

có cực tiểu trên H1(Ω), là một điểm tới hạn của J Trong nhiều trườnghợp, hàm như (1.3) không bị chặn dưới trên H1(Ω) nhưng bị chặn dướitrên tập con của H1(Ω), được gọi là đa tạp Nehari Ta kí hiệu N là đa tạpNehari

N = u ∈ H1(Ω)\ {0} : hJ0(u), ui = 0 ,trong đó, h, i là đối ngẫu thường giữa H1(Ω)∗ và H1(Ω) Rõ ràng tất cảcác điểm tới hạn của J phải nằm trên N và N là tập rất bé so với H1(Ω).Bởi vậy dễ dàng nghiên cứu hàm J trên N

Dễ thấy u ∈ N khi và chỉ khi

Giống như phương pháp được sử dụng bởi Zhang [15] và

Brown-Wu [5], ta xét ánh xạ thớ φu : t → J (tu) t > 0 được định nghĩa bởi:

Ω

|u|p dx − λt

q

qZ

Từ (1.4) và (1.5) dễ thấy u ∈ N ⇔ φ0u(1) = 0 và hơn nữa tu ∈ N ⇔

φ0u(t) = 0, , các điểm dừng trong N tương ứng với điểm dừng của ánh

lần lượt tương ứng với điểm cực tiểu địa phương, điểm cực đại địa phương

và điểm uốn Ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) bằngcách chỉ ra sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm J trên tập N Mặc dù N

là tập nhỏ của H1(Ω), ta xem bên dưới, cực tiểu địa phương trên đa tạpNehari N luôn là điểm tới hạn của J Bổ đề sau sẽ chỉ ra điều đó

Bổ đề 1.6 Giả sử u0 là điểm cực tiểu địa phương của J trên N và u0 ∈

N0 Khi đó, u0 là một điểm tới hạn của hàm J

Chứng minh ta có thể xem Binding [2] và Brown-zhang [15]

Bây giờ ta sẽ giới thiệu điều kiện (P S)c

Định nghĩa 1.7 Lấy f ∈ C(X, R) và c ∈ R Hàm f thỏa mãn điều kiện(P S)c nếu với mỗi dãy {un} ⊆ X thỏa mãn

f (un) → c và f0(un) → 0 trong X∗ khi n → ∞

có một dãy con hội tụ

1.3 Kết quả về tính lồi-lõm trong trường hợp dưới

Hơn nữa, điều kiện p − q > 2 − q > 0 có nghĩa là hàm ψ(t) lúc đầu tăng

và sau đó giảm với điểm chuyển hướng đơn t0 =

|u|q dx > 0, ta hiểu rằng (1.7) không có nghiệm nếu

λ thỏa mãn điều kiện sau

Hơn nữa, (1.4) và (1.6) suy ra φ0u(t) < 0 Do đó, ta có tu ∈ N ∀t > 0 Mặtkhác, nếu λ thỏa mãn

Bổ đề 1.8 Tồn tại hằng số λ0 > 0 sao cho N0 = ∅ với 0 < λ < λ0

Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn tại 0 < λ < λ0 sao cho N0 6= ∅ với

p−qp−2.p−2cq

Theo Định lý phép nhúng Sobolev, ta có

kuk 6  λ(p − q)c

q b

p−21

trong đó cb, c là hằng số của phép nhúng Sobolev Từ (1.8) và (1.9) suy ra

λ > λ0, điều này mâu thuẫn Do đó với hằng số λ0 như trên, λ0 > 0 saocho N0 = ∅ với 0 < λ < λ0

Bổ đề 1.9 J là cưỡng và bị chặn dưới trên N

Chứng minh Theo Định lý phép nhúng Sobolev và 1 < q < 2 < p, ta có

J (u) =  1

2 − 1p

kuk2−λ 1

q − 1p

kuk2−λ 1

q − 1p



cqbkukq

ở đó cb là hằng số Do đó, hàm J là cưỡng và bị chặn dưới trên N Từ Bổ

đề 1.8 và 1.9, với λ ∈ (0, λ0), N = N− ∪ N+ và J bị chặn dưới trên N−

2) u1 là một nghiệm dương của bài toán (1.1)

Chứng minh Vì J bị chặn dưới trên N+ nên tồn tại dãy cực tiểu hóa{un} ⊆ N+ sao cho:

lim

n→∞J (un) = inf

u∈N +J (u)

Khi đó, từ Bổ đề 1.9 dãy {un} bị chặn trong H1(Ω) Không mất tính tổngquát, ta có thể giả sử tồn tại u1 ∈ H1(Ω) sao cho:

un * u1 trong H1(Ω), vì các phép nhúng compact nên un → u1 trong

Lr(Ω) và Ls(∂Ω), với 1 6 r < 2∗ = N −22N và 1 6 s < 2∗b = 2(N −1)N −2 (N > 3).Suy ra:

J (t1u1) 6 J(u1) < lim

n→∞J (un) = inf

u∈N +J (u),Điều này mâu thuẫn Do đó, un → u1 trong H1(Ω) Suy ra:

J (un) → J (u1) = inf

u∈N +J (u) khi n → ∞

Do đó, u1 là một điểm cực tiểu của J trên N+ Từ J (u1) = J (|u1|) và

|u1| ∈ N+, sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u1 là nghiệm dương của bài toán (1.1)

Tiếp theo, ta đi chứng minh sự tồn tại của điểm cực tiểu địa phươngcủa J trên N−.

Mệnh đề 1.11 Với 0 < λ < λ0 hàm J có một điểm cực tiểu u2 và thỏamãn

1) J (u2) = inf

u∈N −J (u);

2) u2 là một nghiệm dương của bài toán (1.1)

Chứng minh Tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, ta có J bị chặndưới trên N− nên tồn tại dãy cực tiểu hóa {un} ⊆ N− sao cho

ku2k < lim inf

n→∞ kunk Khi đó, với un ∈ N−, ta có J (un) > J(tun) ∀t > t0 và

J (t2u2) = t

2 2

2ku2k2 − t

p 2

pZ

Ω

|u2|p dx − λt

q 2

qZ

pZ

Ω

|un|p dx − λt

q 2

qZ

Do đó, u2 là một điểm cực tiểu của J trên N− Từ J (u2) = J (|u2|) và

|u2| ∈ N−, sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u2 là nghiệm dương của bài toán (1.1).Định lý được chứng minh

Bây giờ ta có thể chứng minh Định lý 1.1

Chứng minh Định lý 1.1 Từ Mệnh đề 1.10, 1.11 và Bổ đề 1.6, ta cóbài toán (1.1) có hai nghiệm dương u1 ∈ N+ và u2 ∈ N− trong H1(Ω) Do

N+ ∩ N− = ∅ nên hai nghiệm này phân biệt Định lý được chứng minh.Chú ý 1.12 Phương pháp chứng minh trong luận văn có thể áp dụng vớiđiều kiện 1 < p < 2 < q < 2∗b = 2(N −1)N −2 , p là số hạng lõm và q là số hạnglồi Chứng minh hệ quả sự tồn tại giống như chứng minh bài toán (1.1).Hoặc có thể xét bài toán elliptic nửa tuyến tính với hàm thế đổi dấu

Kết luận chương 1: Trong chương này, chúng tôi giới thiệu bài toánelliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến; đưa ra một vài kháiniệm, sơ bộ về ánh xạ thớ và đa tạp Nehari; các kết quả về tính lồi-lõmtrong trường hợp tới hạn Kết quả chính trong chương 1 là Định lý 1.1.Kết quả trong chương 1 được tham khảo từ tài liệu [10]

Chương 2

Sự tồn tại nghiệm dương của bài

toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến

2.1 Các kết quả trong trường hợp tới hạn

Sau công trình [3] của Brezis và Nirenberg, nhiều công trình nghiêncứu đã được dành trọn cho bài toán tới hạn tăng trưởng, chủ yếu chotoán tử −∆ và −∆p với điều kiện biên Dirichlet; ví dụ, xem [9] Để chứngminh các kết quả của sự tồn tại, do thiếu tính compact trong bao hàm

H1(Ω) ,→ L2∗(Ω) và H1(Ω) ,→ L2∗b(∂Ω), ta sử dụng phương pháp compacttập trung được giới thiệu bởi P Lions trong [10] Chúng ta đưa ra ở đây

để thuận tiện cho bạn đọc nhưng bỏ qua phần chứng minh

Bổ đề 2.1 Lấy un là dãy hội tụ yếu trong H1(Ω) với giới hạn yếu u saocho |Oun|2

4) Nếu xj ∈ ∂Ω thì 22/NS νj2/2 ≤ µj.

ở đó S được cho bởi (2.1)

2.1.1 Trường hợp tới hạn (a): p = 2∗ = N −22N , 1 < q < 2

Trong mục trước, chúng ta nghiên cứu số hạng phi tuyến có độ tăngtrưởng tới hạn trong phương trình và dưới tuyến tính trên biên, đó là:

Lấy S là hằng số tốt nhất của phép nhúng Sobolev

S = inf

(kuk2

Bổ đề 2.2 Tồn tại hằng số λ∗ > 0 sao cho N0 = ∅ với mỗi λ ∈ (0, λ∗).Chứng minh Chứng minh tương tự Bổ đề 1.8

Bổ đề 2.3 J là cưỡng và bị chặn dưới trên N

Chứng minh Với mọi u ∈ N , ta có kuk2 =

Theo Bổ đề 2.2 và 2.3, với λ ∈ (0, λ∗), ta đã biết N = N−S N+, và J

bị chặn dưới trên N+ và N− Vì vậy, chúng ta có thể định nghĩa:

α+1 = inf

u∈N + và α1− = inf

u∈N −J (u)Bây giờ, ta có thể chứng minh hàm J thỏa mãn điều kiện địa phương(P S)c

Mệnh đề 2.4 Lấy un ⊆ H1(Ω) là một dãy (P S)c của hàm J với

Chứng minh Điều này được suy ra từ Bổ đề 2.3, dãy un bị chặn trong

H1(Ω) Khi đó, trong các dãy con, chúng ta có thể giả sử un * u0 trong

H1(Ω) và un → u0 trong Lq(∂Ω) Lấy vn = un − u0 Áp dụng Bổ đề 1.32của [14], chúng ta có:

kvnk2 = kunk2 − ku0k2 + o(1) và |vn|22∗∗ ,Ω = |un|22∗∗ ,Ω − |u0|22∗∗ ,Ω+ o(1) (2.2)

|u0|2∗ dx + λ

qZ

∂Ω

|u0|q ds

|un|2∗ dx + λ 1

2 − 1q

Ω

|u0|2∗ dx + λ 1

2 − 1q

Ω

|u0|2∗ dx − λ 1

q − 12



|Ω|2∗−q2∗



Z

,

ở đó |Ω| là độ đo Lebesgue của Ω

Lấy θ(x) = N1x2∗ − λ1q − 12|Ω|2∗−q2∗ xq Hàm này đạt cực tiểu tại điểm

x0 =  λ(2 − q)(N − 2)

4q

2∗−q1

|Ω|2∗1 Nghĩa là

2∗−q2∗

|Ω| Bởi vậy, c ≥ N1SN2 − Kλ2∗−q2∗ ,mâu thuẫn với giả thiết Do đó b ≡ 0 và chúng ta kết luận rằng un → u0trong H1(Ω) Chứng minh được hoàn thành

|ϑε|22∗∗ = ˜SN2 + O(εN), |Oϑε|22 = ˜SN2 + O(εN −2), (2.7)

Chứng minh Lấy % > 0 sao cho N1 S˜N2 − Kλ2∗−q2∗ > 0 với mọi λ ∈ (0, %).Theo định nghĩa của ϑε ( xem (2.6)) chúng ta có với t > 0

Ω

|ϑε|2∗ dx − λt

q

qZ

|ϑε|2∗ dx − λt

q

qZ

Lấy δ =



tq0Z

qZ

∂Ω

|ϑε|q ds

≤ 1N

α1− < N1 S˜N2 − Kλ2∗−q2∗ với λ ∈ (0, λ1)

Điều phải chứng minh

Bây giờ ta chứng minh Định lý 1.2

Chứng minh Định lý 1.2 Theo Mệnh đề 2.4 và 2.5, tồn tại hai dãy{u+n} và {u−n} trong H1(Ω) sao cho khi n dần đến ∞:

J (u+n) → α+1, kJ (u+n)k → 0 và J (u−n) → α−1 , kJ (u−n)k → 0

Lập luận tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, 1.11 và Định lý 1.1, bàitoán (1.1) có hai nghiệm dương u3 và u4 trong H1(Ω) sao cho

trong H1(Ω) tương đương với chuẩn thông thường k·k như sau:

ku1k =



Z

ta xây dựng một kiểu compact nào đó, ý tưởng giống [3] Ở đây chúng ta

sử dụng phương pháp compact bù được giới thiệu trong [6]

Tương tự chứng minh trong mục 2.2, với λ ∈ (0, λ∗), chúng ta hiểu

N = N−∪ N+, và J bị chặn dưới trên N+ và N− Bởi vậy, chúng ta cóthể định nghĩa

 1

2 − 1

2∗b

S

N 2

φ ≡ 1 trong B(xk, ε), φ ≡ 0 trong B(xk, 2ε)c và |Oφ| ≤ 2ε

Không khó khăn ta thấy {unφ} bị chặn trong H1(Ω), và từ

≤ C4





Z

≤ C4





Z

2 N2

ν

2 2∗

j

νj ≥ 12

 Sb

λ

N2

N 2

Chứng minh Định lý 1.3 Chứng minh tương tự Định lý 1.2 Chỉ khác

là ở đây sử dụng Mệnh đề 2.7 thay cho Mệnh đề 2.4

và J bị chặn dưới trên N+ và N− Bởi vậy, ta có thể định nghĩa

α+3 = inf

u∈N +J (u) và α3− = inf

u∈N −J (u)

Bây giờ chúng ta có hàm J thỏa mãn điều kiện địa phương (P S)c

Bổ đề 2.8 Lấy un là một dãy (P S)c của J với mức năng lượng

c <  1

2 − 1

2∗b

max

(

˜

S2∗−22∗ , ˜S

2∗b2∗

b −2  1λ