Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian

Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ĐỖ THỊ THU HIỀN

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: CƠ SỞ TOÁN HỌC CHO TIN HỌC

Hà Nội- 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ĐỖ THỊ THU HIỀN

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: CƠ SỞ TOÁN HỌC CHO TIN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN XUÂN THẢO

Hà Nội- 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bài luận văn “Bất đẳng thức tích phân trên thang thời

gian” là do tôi thực hiện với sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Đây

không phải là bản sao chép của bất kỳ một luận văn nào khác

Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về những nội dung mà tôi đã trình bày trong luận văn này

Hà Nội, ngày tháng năm 2019

Tác giả

Đỗ Thị Thu Hiền

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn đồng nghiệp, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, khích lệ tác giả trong suốt thời gian qua

Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự thông cảm và góp ý từ các thầy cô và tất cả mọi người

Xin trân trọng cảm ơn!

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU v

LỜI MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đóng góp của luận văn 2

CHƯƠNG 1: THANG THỜI GIAN 3

1.1.Định nghĩa thang thời gian 3

1.2 Các khái niệm cơ bản 3

Kết luận chương 1 7

CHƯƠNG : PH P T NH VI PH N VÀ T CH PH N TRÊN THANG THỜI GIAN 8

2.1 Phép tính vi phân trên thang thời gian 8

2.1.1 Định nghĩa Δ- đạo hàm trên thang thời gian 8

2.1.2 Một số tính chất của Δ- đạo hàm 9

2.1.3 Δ- Đạo hàm cấp cao 17

2.2 Phép tính tích phân trên thang thời gian 18

2.2.1 Định nghĩa Δ-tích phân trên thang thời gian 18

2.2.2 Một số tính chất của Δ- tích phân 20

Kết luận chương 2 24

CHƯƠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN 25

3.1 Bất đẳng thức Hӧlder và công thức Taylor 25

3.2 Một số bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian 27

3.3 Một số hệ quả 37

3.3.1 Trên thang thời gian q q  0 37

3.3.2 Trên thang thời gian rời rạc  38

3.3.3 Trên thang thời gian liên tục  41

Kết luận chương 3 44

KẾT LUẬN CHUNG 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết về thang thời gian (time scales) được Hilger giới thiệu vào năm

1988 trong luận án Tiến sĩ khoa học của ông (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các bài toán mô tả bởi các hệ liên tục và rời rạc Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt bản chất của thực tế, đó là tính liên tục và rời rạc Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhất nhiều mô hình khác nhau (liên tục và rời rạc) dưới cùng một khái niệm và công cụ Cho đến nay đã có một số quyển sách, rất nhiều luận án Tiến sĩ và bài báo nghiên cứu về thang thời gian Giải tích (Phép tính vi phân và tích phân) trên thang thời gian đã được các tác giả nghiên cứu khá sâu rộng và đầy đủ Từ đó nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được “chuyển dịch” sang thang thời gian Chẳng hạn đã có những kết quả rất sâu sắc về tính ổn định, tính dao động, bài toán giá trị biên… của hệ động lực trên thang thời gian

Các bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong toán học nói chung, trong nghiên cứu hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc nói riêng Hầu hết các bất đẳng thức này đã được mở rộng sang cho thang thời gian

Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề mà thời gian gần đây đang được nhiều nhà toán học quan tâm là thang thời gian và các bất đẳng thức tích phân trên thang

thời gian, tác giả đã chọn đề tài “Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian”

làm đề tài luận văn cao học của mình

Luận văn gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận và các Tài liệu tham khảo Chương 1 trình bày khái niệm thang thời gian và các khái niệm cơ bản liên quan như: toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, các điểm trù mật, các điểm

cô lập; hàm chính quy, hàm rd- liên tục, hàm hợp

Chương 2 trình bày các khái niệm cơ bản về - đạo hàm, - tích phân và một số tính chất của nó Đồng thời tác giả cũng tham chiếu các khái niệm, tính chất này đối với các thang thời gian liên tục và rời rạc

Chương 3 trình bày các bất đẳng thức cơ bản trên thang thời gian: Bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức kiểu Poincare, Sobolev, Opial, Ostrowski, Hilbert- Pachpatte, … và các bất đẳng thức hệ quả trên một số thang thời gian cụ thể như

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian

Phạm vi nghiên cứu: Thang thời gian, phép tính viphân và tích phân trên thang thời gian, bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích thông thường và giải tích trên thang thời gian để tiếp cận và giải quyết vấn đề

5 Đóng góp của luận văn

Luận văn là một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về bất đẳng thức tích phân trên thang thời gian

CHƯƠNG 1: THANG THỜI GIAN

Chương này trình bày khái niệm thang thời gian và các khái niệm cơ bản trên thang thời gian Nội dung chủ yếu được lấy từ các tài liệu [7] và [8]

1.1 Định nghĩa thang thời gian

Định nghĩa 1.1 Một thang thời gian là tập hợp con đóng khác rỗng của tập hợp

số thực

Ví dụ 1.1

a Tập số thực , tập số nguyên là các thang thời gian Đây là các thang thời

gian cơ bản, quan trọng và thường gặp trong các chứng minh trước đây

b Tập các số tự nhiên 0   0 ;  1; 2 ;    1;2  3;4 là các thang thời gian

c Tập h hz z:   là một thang thời gian, trong đó h là một số thực dương

q  q k là một thang thời gian

e Các tập , \ , 0,1 không phải là các thang thời gian vì chúng không  

phải là tập đóng

f Mặt phẳng phức là tập đóng nhưng không phải là thang thời gian vì nó không phải là tập con của tập

1.2 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1 Cho là một thang thời gian, với mỗi t ta có các định nghĩa sau:

i) Toán tử nhảy tiến là toán tử  :  được xác định bởi:

Quy ước inf sup và sup inf

Định nghĩa 1.3 Cho thang thời gian và t Khi đó ta có các định nghĩa sau:

i) Điểm t được gọi là điểm cô lập phải nếu   t t

ii) Điểm t được gọi là điểm cô lập trái nếu   t t

iii) Điểm t được gọi là điểm cô lập nếu t vừa là điểm cô lập trái vừa là điểm cô lập phải

Định nghĩa 1.4 Cho thang thời gian và t Khi đó ta có các định nghĩa sau:

i) Nếu tsup và   t t thì t được gọi là điểm trù mật phải

ii) Nếu tinf và   t t thì t được gọi là điểm trù mật trái

iii) Nếu t vừa là điểm trù mật phải vừa là điểm trù mật trái thì t được gọi là điểm trù mật

Ví dụ 1.4

a Với thang thời gian  thì mọi điểm t đều là điểm trù mật

b Với thang thời gian  thì mọi điểm t đều là điểm cô lập

c Cho thang thời gian  

Nếu t2k1thì   t   t 1 2k 2 tvà   t t Do đó t là điểm cô lập

phải và là điểm trù mật trái

Nếu t2kthì   t  t 2kvà   t   t 1 2k 1 t Do đó t là điểm cô lập trái và là điểm trù mật phải

Bảng dưới đây mô tả hình học của các điểm cô lập và trù mật

i) Cho thang thời gian  thì với f t  f t mọi t

ii) Cho thang thời gian  thì f t  f t 1với mọi t

Định nghĩa 1.6 Hàm f :  được gọi là hàm chính quy nếu tồn tại giới hạn phải của f tại mọi điểm trù mật phải trong và giới hạn trái của f tại mọi điểm trù mật trái trong

Ví dụ 1.6 Cho hàm f :   1;1được xác định bởi:

Ta thấy không tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải của f tại 0 (vì limsin 

 không tồn tại) Do đó f là hàm không chính quy trên

Tuy nhiên, hạn chế của f trên thang thời gian 0 là hàm chính quy vì 0 không

có bất kỳ điểm trù trái hoặc điểm trù mật phải nào

Định nghĩa 1.7 Hàm f :  được gọi là hàm rd- liên tục tại điểm t0 nếu f

là hàm chính quy và liên tục bên phải tại t0

Một hàm rd- liên tục tại tất cả các điểm t0 được gọi là một hàm rd- liên tục trên

Không gian các hàm rd- liên tục trên được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu

sau: C hoÆc C rd rd  hoÆc C rd , 

Ví dụ 1.7 Ta xét thang thời gian

Dễ thấy f rd- liên tục tại các điểm cô lập của Vì vậy ta chỉ cần xét tính rd-

liên tục của hàm f tại điểm trù mật phải t0 và điểm trù mật trái t2 Giới hạn

phải của f tại 0 tồn tại và bằng f  0 Vì vậy, f là rd- liên tục tại t0

Mặt khác f rd- liên tục tại t2 vì giới hạn trái của f tồn tại tại t2 Do đó

f là hàm rd-liên tục trên

Rõ ràng  , tuy nhiên f không liên tục trên

Sau đây ta xét một số tính chất của hàm chính quy và rd- liên tục

Định lý 1.8 Cho f :  và g:  Khi đó

i) Nếu f là hàm liên tục thì f là hàm rd-liên tục

ii) Nếu f là hàm rd- liên tục thì f là hàm chính quy

iii) Nếu f là hàm chính quy hoặc rd- liên tục thì f cũng có tính chất đó

iv) Nếu f là hàm liên tục và g là hàm chính quy hoặc rd-liên tục thì f g tương ứng là hàm chính quy hoặc rd-liên tục

Kết luận chương 1

Nội dung chính của chương 1 là trình bày một số vấn đề cơ bản về thang thời gian :

- Khái niệm thang thời gian

- Toán tử nhảy tiến, nhảy lùi, hàm hạt; các điểm cô lập, điểm trù mật

- Hàm hợp, hàm chính quy, hàm rd- liên tục và một số tính chất của hàm rd- liên tục và hàm chính quy

CHƯƠNG : PH P T NH VI PH N VÀ T CH PH N TRÊN

THANG THỜI GIAN

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân và tích phân trên thang thời gian Nội dung của chương chủ yếu dựa vào các tài liệu [6] và [8]

2.1 Phép tính vi phân trên thang thời gian

2.1.1 Định nghĩa Δ- đạo hàm trên thang thời gian

Định nghĩa 1 Cho thang thời gian Ta kí hiệu tập k như sau:

Hàm f được gọi là Δ- khả vi trên k nếu f( )t tồn tại với mọi t k và hàm

tức là - đạo hàm trùng với đạo hàm thông thường

ii) Nếu  thì f là - khả vi tại mọi t và ta có:

tức là - đạo hàm trùng với sai phân của f tại t

Như vậy trong trường hợp cụ thể, khái niệm - đạo hàm trùng với hai khái niệm đạo hàm và sai phân thông thường Đây là kết quả hết sức quan trọng mà Hilger đã đạt được nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của - đạo hàm

( )( )

Để có được đẳng thức thứ hai, đổi vai trò f bởi gtrong (1.3)

Qua định lí trên, ta thấy tính chất i ) và ii ) giống như tính chất của đạo hàm của

hàm số thực mà ta đã biết Còn tính chất iii), iv), v) có sự khác biệt

t

Như vậy (f g) ( ) t  f ( ( ))g t g( )t chỉ tại một điểm trong là t0

Định lí 2.5 Cho  :  là một hàm tăng ngặt Khi đó

i)    là một thang thời gian nếu và chỉ nếu  là liên tục

ii)  bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới) chỉ khi bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới)

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng Giả sử rằng  không liên tục và

 

 là một thang thời gian Khi đó tồn tại một điểm a hoặc là điểm trù mật trái, điểm trù mật phải, hoặc là điểm trù mật sao cho  không liên tục tại a Không mất tính tổng quát, giả sử a là điểm trù mật trái nhưng không phải là điểm trù mật

vì γ không liên tục tại a

Tiếp tục sử dụng tính tăng ngặt của hàm  , ta có

    Vì  tăng và bsup t n n nên ba

Từ  1.4 , ta có ba Do đó ba Điều này mâu thuẫn giả thiết rằng  t n n hội tụ đến a Vì vậy, khi    là một thang thời gian,  là liên tục

Bây giờ giả sử rằng sup   và sup  M   với một số M Khi đó, chúng ta có thể tìm thấy một dãy tăng  t n n , t n mà lim n

   Ta sử dụng hàm  là hàm tăng ngặt để xác định rằng  t n n hội tụ tới cận trên hữu hạn với

và do đó    không đóng Bằng cách chứng minh phản chứng, khi    là một

thang thời gian, ta có ii)

Giả sử rằng i) và ii) đúng và a là một điểm giới hạn của    Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại một dãy tăng  a n n , a n   hội tụ đến

a Cho  t n n t n là một dãy mà  t n a n thì  t n n cũng là một dãy tăng

Định lý 2.6 Cho  :  là một hàm tăng ngặt sao cho : là một thang thời gian Cho :  và kí hiệu 

là -đạo hàm của  trên Nếu tồn tại

Bây giờ chúng ta xét lại ví dụ 2.4 và kiểm tra rằng (f g) ( ) t (f g t g t)( ) ( )

k  k Khi đó - đạo hàm cấp hai

của hàm f được kí hiệu là f với f  f 

Ví dụ 2.13 Cho thang thời gian và f :  , f t t Tính f

Theo ví dụ 2.2 ta có f t   1, t k Do đó

f t  f t      t

Ví dụ 2.14 Cho thang thời gian , 0

2

n n

2.2 Phép tính tích phân trên thang thời gian

2.2.1 Định nghĩa Δ-tích phân trên thang thời gian

Định nghĩa 6 Cho là một thang thời gian và cho a b,  sao cho ab Một phân hoạch của  a b là tập con tùy ý hữu hạn sắp thứ tự , P:t t0, , ,1 t n

Định nghĩa .7 Cho  0 Một phân hoạch PP a b , cho bởi các điểm

Ký hiệu tập hợp tất cả các phân hoạch cho bởi  là P a b ,

Chú ý rằng có thể xảy ra khả năng ti ti1  nhưng chỉ khi  t i t i1 Điều

này được chỉ ra trong các ví dụ tiếp theo

Ví dụ 2.6 Xét thang thời gian 2 :n  0  0

n

Giả sử a0 và b 32 Cho P là phân hoạch của 0,32 trên theo

0,1, 2, 4,8,16,32 và tương tự cho P

là phân hoạch theo 0,1,8,16,32 P là một

- phân hoạch của 0,32,  0 Điều này xảy ra vì t i1,t i  ,

1, 2, , 

 i n Tuy nhiên, điều này không đúng trong trường hợp của P.. Trong khit i1,t i  ,  i 2 Còn khi i2 ta có  t t1, 2  1,8  2, 4  

Vì vậy, P là một - phân hoạch của 0,32 chỉ khi    8 1 7

Tiếp theo chúng ta định nghĩa Δ- tích phân Riemann tương tự như tích phân Riemann thông thường

Định nghĩa .8 Cho f : a b,  là một hàm bị chặn và cho PP a b , Đối với mỗi cặp t i1và t i trong P , chọn một điểm i mà t i1 i t i

  là một Δ- tổng Riemann tương ứng với P

Ta nói f là Δ-khả tích Riemann trên  a b nếu tồn tại , I có tính chất sau đây:

Ví dụ 2.8 Cho f :  được xác định bởi   2

f t t và thang thời gian

Định lí 2.10 Nếu hàm f là hàm rd-liên tục trên đoạn  a b, thì f là Δ- khả tích trên  a b,

Chứng minh Lưu ý đầu tiên là toán tử bước nhảy lùi  có thể được mở rộng tự nhiên tới khoảng thực inf , sup  bởi:

Cho g là hàm mở rộng của f được xác định bởi

( ),( )

nếu một trong các tích phân tồn tại Bởi vì f là rd-liên tục, chúng ta biết rằng tập

hợp các điểm gián đoạn của g hầu hết đếm được Vì vậy, g liên tục từng khúc trên

 a b, và do đó có thể tính tích phân trên cùng một khoảng Vì vậy, f tồn tại tích