Bài toán đuổi bắt trong trò chơi tuyến tính với hạn chế tích phân trên thang thời gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ LÊ VĂN QUÝ BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TH

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ VĂN QUÝ

BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ TÍCH PHÂN

TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

LÊ VĂN QUÝ

BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ TÍCH PHÂN

TRÊN THANG THỜI GIAN

Möc löc

1.1 Thang thíi gian 4

1.2 Tæ pæ tr¶n thang thíi gian 5

1.3 C¡c ành ngh¾a cì b£n 6

1.4 Ph²p t½nh vi ph¥n tr¶n thang thíi gian 11

1.4.1 ¤o h m Hilger 11

1.4.2 T½nh ch§t cõa ¤o h m Hilger 12

1.5 Ph²p t½nh t½ch ph¥n tr¶n thang thíi gian 18

1.5.1 H m ti·n kh£ vi 18

1.5.2 Ph²p t½nh t½ch ph¥n 19

1.6 T½nh hçi quy tr¶n thang thíi gian 21

1.7 H m mô tr¶n thang thíi gian 23

2 Trá chìi uêi b­t tuy¸n t½nh vîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n tr¶n thang thíi gian 26 2.1 H» ëng lüc tr¶n thang thíi gian 26

2.1.1 Ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh ëng lüc tuy¸n t½nh bªc nh§t 26

2.1.2 Cæng thùc nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh v  h» ph÷ìng tr¼nh ëng lüc tuy¸n t½nh bªc nh§t 27

2.1.3 H» ëng lüc tuy¸n t½nh câ hai tham sè i·u kiºn 31

i

2.2 Trá chìi uêi b­t tuy¸n t½nh vîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n tr¶n

thang thíi gian 322.3 Trá chìi uêi b­t tuy¸n t½nh vîi thæng tin chªm v  h¤n ch¸

t½ch ph¥n tr¶n thang thíi gian 38

Mð ¦u

Nh¬m thèng nh§t nghi¶n cùu c¡c h» ëng lüc li¶n töc (h» ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n) v  h» ëng lüc ríi r¤c (h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n), Stefan Hilgern«m 1988, trong luªn ¡n Ti¸n s¾ cõa m¼nh, ¢ ÷a ra kh¡i ni»m thang thíigian (time scale) Tø â ¸n nay ¢ câ mët sè quyºn s¡ch, h ng chöc luªn

¡n ti¸n s¾ v  h ng ng n b i b¡o nghi¶n cùu v· gi£i t½ch (ph²p to¡n vi ph¥n,t½ch ph¥n) v  h» ëng lüc tr¶n thang thíi gian

Thang thíi gian câ þ ngh¾a tri¸t håc s¥u s­c: Thang thíi gian cho ph²pnghi¶n cùu hai m°t b£n ch§t cõa thüc t¸, â l  t½nh li¶n töc v  t½nh ríi r¤c.Trong to¡n håc, thang thíi gian cho ph²p nghi¶n cùu thèng nh§t nhi·u

mæ h¼nh kh¡c nhau d÷îi còng mët kh¡i ni»m v  cæng cö

Gi£i t½ch tr¶n thang thíi gian v  h» ëng lüc tr¶n thang thíi gian ang

÷ñc nhi·u nhâm c¡c nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc quan t¥m ¢ câmët sè b i vi¸t v· ùng döng cõa thang thíi gian trong nghi¶n cùu kinh t¸v¾ mæ, h» sinh th¡i, b i to¡n tèi ÷u

B i to¡n uêi b­t l  mët trong nhúng c¡c b i to¡n cì b£n cõa lþthuy¸t trá chìi Trong b i to¡n uêi b­t th¼ ng÷íi ch¤y (g­n vîi bi¸n i·ukiºn cõa m¼nh) luæn cè g­ng ch¤y c ng nhanh, c ng xa ng÷íi uêi c ngtèt Cán ng÷íi uêi th¼ cè g­ng "ph¡t ra " nhúng i·u kiºn º ti¸n ¸nng÷íi ch¤y c ng g¦n c ng tèt

Nh÷ng º trá chìi k¸t thóc th¼ ta ph£i °t gi£ thi¸t l  ng÷íi uêiph£i câ lñi th¸ hìn ng÷íi ch¤y nh÷ l  h¤n ch¸ v· n«ng l÷ñng, ng÷íi uêiluæn bi¸t ÷ñc thæng tin v· bi¸n i·u kiºn cõa ng÷íi ch¤y Trong luªn v«n

n y chóng tæi nghi¶n cùu v· i·u ki»n õ º k¸t thóc trá chìi nh÷ vªy

1

Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n l  nghi¶n cùu b i to¡n uêi b­t trongtrá chìi tuy¸n t½nh vîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n tr¶n thang thíi gian ÷a ra i·uki»n º b i to¡n k¸t thóc vîi c¡c bi¸n i·u khiºn thäa m¢n h¤n ch¸ t½chph¥n (h¤n ch¸ n«ng l÷ñng).

Nëi dung cõa luªn v«n gçm hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y kh¡i ni»m thang thíi gian Düa theo [5], [6], [8] v mët sè t i li»u kh¡c, c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v· thang thíi gian v c¡c v§n · v· gi£i t½ch tr¶n thang thíi gian ÷ñc tr¼nh b y ng­n gån, t¤o

i·u ki»n º nghi¶n cùu b i to¡n trá chìi êi b­t tuy¸n t½nh tr¶n thangthíi gian trong Ch÷ìng 2

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y cæng thùc nghi»m cõa h» ëng lüc v  trá chìi uêib­t tuy¸n t½nh vîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n, b i to¡n trá chìi uêi b­t tuy¸n t½nhvîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n v  thæng tin chªm tr¶n thang thíi gian C¡c ành lþtrong ch÷ìng n y l  c¡c k¸t qu£ chung cõa ba t¡c gi£ Vi Di»u Minh, L¶Thà Thóy Ng  v  ÷ñc tr¼nh b y trong [3]

T¡c gi£ xin ÷ñc gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi PGS TS T¤ Duy Ph÷ñng,ng÷íi th¦y ¢ d nh thíi gian h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o, t¤o i·u ki»n

v  gióp ï trong trang bà ki¸n thùc, trong nghi¶n cùu v  têng hñp t i li»u

Xin ch¥n th nh c£m ìn Th¤c s¾ Vi Di»u Minh, gi£ng vi¶n mæn To¡n,tr÷íng ¤i håc Næng L¥m, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ còng cëng t¡c v  gióp

ï tæi v· chuy¶n mæn trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n

Cuèi còng t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn °c bi»t ¸n nhúng ng÷íi th¥n,

gia ¼nh, çng nghi»p v  nhúng ng÷íi b¤n ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi,

ëng vi¶n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n thi»n luªn v«n

Th¡i Nguy¶n, ng y 10 th¡ng 11 n«m 2017

Håc vi¶n

L¶ V«n Quþ

Ch֓ng 1

Kh¡i ni»m thang thíi gian

Ch÷ìng n y tr¼nh b y kh¡i ni»m thang thíi gian Düa theo [5], [6], [8]

v  mët sè t i li»u kh¡c, c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v· thang thíi gian

v  c¡c v§n · v· gi£i t½ch tr¶n thang thíi gian ÷ñc tr¼nh b y

1.1 Thang thíi gian

ành ngh¾a 1.1 Thang thíi gian (time scale) l  tªp con âng tòy þ kh¡créng trong tªp sè thüc R Thang thíi gian th÷íng ÷ñc kþ hi»u l  T.V½ dö 1.1

1) C¡c tªp R, Z, N, [0; 1]∪[2; 3] l  c¡c thang thíi gian v¼ chóng l  nhúngtªp âng trong R

2) C¡c tªp Q, R\Q; [0, 1) khæng ph£i l  thang thíi gian v¼ chóng khængph£i l  tªp âng trong R

Tªp c¡c sè húu t¿ Q, tªp c¡c sè væ t¿ R\Q khæng ph£i l  thang thíi gianv¼ chóng tuy n¬m trong R nh÷ng khæng âng trong R

Thªt vªy, tr¶n Q x²t d¢y sè {xn}: 1; 1,4; 1,41; 1,414; Ta th§y xn∈Q,nh÷ng lim

vªy Q khæng ph£i l  thang thíi gian

Tr¶n R\Q x²t d¢y sè

{xn} : √3;

√3

2 ;

√3

3 ; ;

√3

n ;

4

Ta th§y xn ∈ R\Q nh÷ng lim

con âng trong R Suy ra R\Q khæng ph£i l  thang thíi gian

Tªp [0;1) l  kho£ng mð trong R n¶n khæng ph£i l  thang thíi gian

3) M°t ph¯ng phùc C khæng ph£i l  thang thíi gian v¼ C khæng n¬mtrong R, m°c dò nâ l  tªp âng

1.2 Tæ pæ tr¶n thang thíi gian

Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i mët v i ki¸n thùc cõa tæpæ Gi£ sû (X, τ) l  mët

Tø 1), 2), 3) suy ra τM l  mët tæpæ v  gåi l  tæpæ c£m sinh tø τ tr¶n M

(X, τ )

Trong luªn v«n n y ta luæn gi£ thuy¸t r¬ng thang thíi gian T ÷ñctrang bà mët tæpæ c£m sinh tø tæpæ thæng th÷íng cõa tªp sè thüc (tæpæthæng th÷íng tr¶n tªp sè thüc R l  tæpæ t¤o bði c¡c kho£ng mð còng vîi

giao húu h¤n v  hñp b§t k¼ cõa chóng), ngh¾a l  c¡c tªp mð cõa T l giao cõa c¡c tªp mð trong R vîi T C¡c kh¡i ni»m l¥n cªn, giîi h¤n, li¶ntöc ÷ñc hiºu l  l¥n cªn, giîi h¤n, li¶n töc trong tæpæ c£m sinh.

1.3 C¡c ành ngh¾a cì b£n

ành ngh¾a 1.2 Cho T l  thang thíi gian

To¡n tû nh£y ti¸n (forward jump) l  to¡n tû

Quy ÷îc inf ∅ = sup T, sup ∅ = inf T

Suy ra σ(M) = M n¸u M l  ph¦n tû lîn nh§t (n¸u câ) cõa T;

V½ dö 1.2

1) Vîi thang thíi gian T = Z (thang thíi gian ríi r¤c) th¼ σ(t) = t + 1 v ρ(t) = t − 1 vîi måi t ∈ T Xem H¼nh 1.1(b)

2) Vîi thang thíi gian T = R (thang thíi gian li¶n töc) th¼

σ(t) = ρ(t) = t vîi måi t ∈ T Xem H¼nh 1.1(a)

H¼nh 1.1

ành ngh¾a 1.3 Cho T l  thang thíi gian.

iºm t ∈ T ÷ñc gåi l  iºm cæ lªp ph£i (right-scattered) n¸u σ(t) > t;

iºm t ∈ T ÷ñc gåi l  iºm cæ lªp tr¡i (left-scattered) n¸u ρ(t) < t;

iºm t ∈ T ÷ñc gåi l  iºm cæ lªp (insolated) n¸u ρ(t) < t < σ(t)

ành ngh¾a 1.4 Cho T l  thang thíi gian

iºm t ∈ T ÷ñc gåi l  iºm trò mªt ph£i (right-dence) n¸u σ(t) = t

iºm t ∈ T ÷ñc gåi l  iºm trò mªt tr¡i (left-dence) n¸u ρ(t) = t

iºm t ∈ T ÷ñc gåi l  iºm trò mªt (dence) n¸u ρ(t) = t = σ(t)

Ta câ b£ng tâm t­t 1.1

B£ng 1.1B£ng 1.2 d÷îi ¥y mæ t£ h¼nh £nh h¼nh håc cõa c¡c iºm

T = hZ = {hn : n ∈ Z} = { , −3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h, } Ta câσ(t) = t + h, ρ(t) = t − h, µ(t) = h vîi måi t ∈ T Xem H¼nh 1.2(c) V¼

h > 0 n¶n måi iºm t ∈ T ·u l  iºm cæ lªp Chó þ r¬ng h > 0 câ thº l 

6) Cho q > 1 l  mët sè thüc cè ành, x¡c ành thang thíi gian qZ

nh÷ sau qZ={qn

: n ∈ Z} ∪ {0}= , q−3, q−2, q−1, 0, 1, q, q2, q3, Ta câσ(t) = qt, ρ(t) = qt v  µ(t) = (q − 1) t Xem H¼nh 1.3(a)

7) Cho thang thíi gian T = N2

t − 1
2 Xem H¼nh 1.3(b)8) Cho thang thíi gian T = {√n : n ∈ N0}

N¸u t ∈ T th¼ tçn t¤i sè n ∈ N0 sao cho t =√n hay n = t2,

iºm t = 0 l  iºm cæ lªp ph£i Måi iºm t ∈ T, t 6= 0 ·u l  iºm cæ lªp

Ta câ b£ng tâm t­t c¡c thang thíi gian th÷íng g°p

1.4 Ph²p t½nh vi ph¥n tr¶n thang thíi gian

1.4.1 ¤o h m Hilger

Hilger) cõa f t¤i t ∈ Tk l  mët sè (n¸u tçn t¤i), k½ hi»u l  f∆(t),n¸u vîi méi

ε > 0 cho tr÷îc tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa t (ngh¾a l  U = (t − δ; t + δ) ∩ Tvîi δ > 0 n o â), sao cho

|[f (σ(t)) − f (s)] − f∆(t)[σ(t) − s]| ≤ ε|σ(t) − s| vîi måi s ∈ U (∗)

ành ngh¾a 1.9 H m f ÷ñc gåi l  ∆ kh£ vi (ng­n gån l  kh£ vi) tr¶n

Tk n¸u câ ¤o h m t¤i måi iºm t ∈ Tk

Vªy ¤o h m Hilger ch½nh l  ¤o h m thæng th÷íng khi T = R

2) X²t thang thíi gian ríi r¤c T = Z ta câ σ(t) = t + 1 vîi t ∈ Z.Khi §y ta câ UT(t) := Uδ(t) ∩ T = {t} v  s ∈ UT(t) suy ra s = t (khi

Thªt vªy, vîi måi ε > 0 tçn t¤i tªp U sao cho s ∈ U ta câ

|[f (σ(t)) − f (s)] − f∆(t)[σ(t) − s]| ≤ ε.|(σ(t) − s)|

⇔ |f∆(t).[σ(t) − s]| ≤ ε.|(σ(t) − s)

⇔ |f∆(t)| ≤ ε vîi måi ε

Vªy f∆(t) = 0 vîi måi t ∈ T

V½ dö 1.5 N¸u f : T → R v  f(t) = t vîi måi t ∈ Tk th¼ f∆(t) = 1.Thªt vªy, vîi måi ε > 0 tçn t¤i tªp U sao cho s ∈ U ta câ

|[f (σ(t)) − f (s)] − f∆(t)[σ(t) − s]| ≤ ε|σ(t) − s|

⇔ |(σ(t) − s) − f∆(t)(σ(t) − s) ≤ ε|σ(t) − s|

⇔ |1 − f∆(t)| ≤ ε vîi måi ε

Vªy f∆(t) = 1

1.4.2 T½nh ch§t cõa ¤o h m Hilger

1) N¸u f kh£ vi t¤i t th¼ f li¶n töc t¤i t

2) N¸u f li¶n töc t¤i t v  t l  iºm cæ lªp ph£i th¼ f kh£ vi t¤i t v 

Theo ành ngh¾a ta câ

Vîi måi ε∗ > 0, câ mët l¥n cªn U(t, δ) cõa t sao cho

[f (σ(t)) − f (s)] − f∆(t).(σ(t) − s)| ≤ ε∗.|(σ(t) − s)| vîi måi s ∈ U(t, δ)

2) Gi£ f li¶n töc t¤i t ∈ Tk v  t l  iºm cæ lªp ph£i Tø t½nh li¶n töccõa h m f t¤i t ∈ Tk Ta câ

f (σ(t)) − f (s)

σ(t) − t

⇔

f (σ(t)) − f (s) − f (σ(t))−f (t)µ(t) [σ(t) − s]

2)Vîi thang thíi gian T = Z th¼ ta câ µ(t) = σ(t) − t = t + 1 − t = 1.K½ hi»u [a; b] = {a; a + 1; a + 2; ; b − 1; b} Ta câ

ành ngh¾a 1.16 N¸u a ∈ T, supT = ∞ v  f l  rd-li¶n töc tr¶n [a, ∞)th¼ ta ành ngh¾a t½ch ph¥n suy rëng

ành lþ 1.9 (êi bi¸n d÷îi d§u t½ch ph¥n) [5, Theorem 1.97] Gi£ sû v :

N¸u f : T → R l  h m rd - li¶n töc v  v l  h m kh£ vi vîi v∆ l  rd - li¶ntöc th¼ vîi a, b ∈ T, ta câ

1.6 T½nh hçi quy tr¶n thang thíi gian

Nh­c l¤i ành ngh¾a nhâm v  nhâm Abel nh÷ sau

Tªp hñp A còng ph²p to¡n ∗ ÷ñc gåi l  nhâm n¸u thäa m¢n i·u ki»nsau

1) Måi x, y thuëc A th¼ x ∗ y v  y ∗ x thuëc A;

2) Måi x, y, z thuëc A th¼ (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z);

3) Câ ph¦n tû ìn và, ngh¾a l  måi x thuëc A, tçn t¤i e thuëc A sao cho

x ∗ e = e ∗ x = x;

4) Måi ph©n tû trong A ·u câ ph¦n tû kh£ nghich, ngh¾a l  måi x thuëc

Tªp hñp A còng ph²p to¡n ∗ ÷ñc gåi l  nhâm Abel n¸u nâ l  mët nhâm

câ t½nh ch§t giao ho¡n, ngh¾a l  måi x, y thuëc A, ta câ x ∗ y = y ∗ x.Cho K l  tr÷íng sè thüc hay phùc

ành ngh¾a 1.17 H m p : T → K ÷ñc gåi l  hçi quy (regressive) n¸u

1 + µ(t)p(t) 6= 0 vîi måi t ∈ Tk

ành lþ 1.10 Tªp hñp < = <(T, K) gçm t§t c£ c¡c h m hçi quy tr¶n Tcòng vîi ph²p to¡n ⊕ ÷ñc x¡c ành bði

(p ⊕ q)(t) := p(t) + q(t) + µ(t)p(t)q(t)lªp th nh mët nhâm Abel Ph¦n tû kh£ nghàch cõa ph¦n tû q cõa nhâm

ành ngh¾a 1.18 Mët m × m ma trªn Ặ) x¡c ành tr¶n thang thíi gian

T ÷ñc gåi l  ma trªn hçi quy n¸u I + µ(t)Ăt) l  kh£ nghàch vîi måi

t ∈ Tk

Ð ¥y I = Im l  ma trªn ìn và cõa Km×m

Lîp t§t c£ c¡c ma trªn hçi quy ÷ñc k½ hi»u bði <(T, Km×m)

ành ngh¾a 1.19 Vîi c¡c m × m ma trªn Ặ), B(.) l  hçi quy, vîi måi

t ∈ Tk, ta x¡c ành c¡c to¡n tû sau ¥y

1.7 H m mô tr¶n thang thíi gian

trong â ξh(z) l  ph²p bi¸n êi trö ÷ñc ành ngh¾a ð tr¶n.

Bê · 1.1 N¸u p(.) l  rd-li¶n töc v  hçi quy th¼ ta câ t½nh ch§t nûa nhâm

ep(t, r).ep(r, s) = ep(t, s) vîi måi t, r, s ∈ T

10) N¸u p(.), q(.) ∈ <+ th¼ ep(t, t0) > 0 vîi måi t ∈ T;

11) N¸u tçn t¤i τ ∈ T sao cho 1 + µ(τ)p(τ) < 0 th¼

ep(τ, t0)ep(σ(τ ), t0) < 0

Nhªn x²t 1.4 Hai tr÷íng hñp °c bi»t cõa h m mô

1) Vîi thang thíi gian T = R v  n¸u p l  h m sè li¶n töc th¼

n¸u t < s

1.5.1 Hm tiÃn khÊ vi

ành ngh¾a 1.10 H m sè f : T → R ữủc gồi l chẵnh quy (regulated)náu giợi hÔn phÊi cừa nõ tỗn tÔi (hỳu hÔn) tÔi mồi im trũ mêt phÊitrong... 1.12 Mởt m ì n ma ) xĂc nh trản thang thới gian

T ữủc gồi l rd-liản tửc náu mội phƯn tỷ cừa ) l rd-liản tửc

nh nghắa 1.13 Cho X l mởt khổng gian Banach, Ănh xÔ: f : TìX →

X;... sau Ơy

1.7 Hm mụ trản thang thới gian< /h3>

trong â ξh(z) l  ph²p