Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian

Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

——————————-CAO THỊ PHƯƠNG LOAN

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

TOÁN ỨNG DỤNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo

Hà Nội - 2016

Mục lục

1.1 Các kí hiệu cơ bản và định nghĩa 1

1.2 Vi phân và tích phân 4

1.3 Hàm đa thức và hàm mũ 23

1.4 Phương trình động lực 33

2 Phép biến đổi tích phân Laplace trên thang thời gian 40 2.1 Định nghĩa và ví dụ 40

2.2 Tính chất của phép biến đổi Laplace trên thang thời gian 46 3 Tích chập Laplace trên thang thời gian 55 3.1 Định nghĩa và tính chất của Tích chập 55

3.2 Sự chuyển dịch 61

Lời nói đầu

Phép biến đổi tích phân được nghiên cứu từ rất sớm và là phần quantrọng của Giải tích toán học Trong quá trình phát triển, phép biến đổitích phân đã tìm được nhiều ứng dụng thú vị trong việc giải các bài toántoán – lý Tích chập đối với các biến đổi tích phân được nghiên cứu từ cuốithế kỷ 19 như : tích chập Laplace, Fourier Năm 1967 nhà toán học NgaKakichev cho định nghĩa tích chập có hàm trọng đối với phép biến đổi tíchphân bất kỳ và cho cách xác định (nếu có ) của tích chập có hàm trọng này[9] Đầu những năm 50 và 90 của thế kỷ trước, xuất hiện loại tích chập mới

mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có sự tham gia của nhiều hơn mộtphép biến đổi tích phân, đó là tích chập Fourier sine-cosine của Sneddon[11], là một số tích chập đối với các phép biến đổi tích phân theo chỉ sốcủa Yakubovich [9] Năm 1998 Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo cho địnhnghĩa tích chập suy rộng có hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phânbất kỳ và cho cách xác định (nếu có ) của các tích chập suy rộng có hàmtrọng này [10] Từ đó xuất hiện nhiều tích chập suy rộng mới được nghiêncứu Các kết quả này đang được phát triển sang phép biến đổi tích phânrời rạc và gần hơn là sang phép biến đổi tích trên thang thời gian (là cầunối giữa phép biến đổi tích phân rời rạc và phép biến đổi tích phân) Tínhtoán trên thang thời gian là một đề tài còn khá mới mẻ, được giới thiệulần đầu tiên bởi Stefan Hilger vào năm 1988 [3], [4]

Mục đích của phép tính toán mới này là hợp nhất các kết quả giữagiải tích liên tục và giải tích rời rạc Đặc biệt, tính toán trên thang thờigian còn chứng minh được kết quả đồng thời cho cả phương trình vi phân

và phương trình sai phân Bên cạnh việc chứng minh kết quả cho phươngtrình vi phân xác định trên tập số thực R, hoặc phương trình sai phânxác định trên tập số nguyên Z ta còn nghiên cứu phương trình động lựchọc thông thường xác định trên thang thời gian T, một tập con đóng củađường thẳng thực Do đó, khi chứng minh một kết quả cho một thang thờigian, không chỉ chứng minh kết quả cho R và Z mà còn chứng minh đượccho nhiều thang thời gian khác nhau

Ban đầu, Hilger đã đưa ra phép biến đổi Laplace cho số thực R, và biếnđổi Z cho số nguyên Z Tuy nhiên, các phép biến đổi mà ông xây dựng chỉlàm việc với các thang thời gian đặc biệt và không dễ dàng áp dụng cho cácthang thời gian thông thường Sau đó, Martin Bohner và Allan Peterson

đã xây dựng một phép biến đổi hợp nhất được L và Z Phép biến đổi mà

họ xây dựng được ứng dụng nhiều và chủ yếu để giải các bài toán giá trịban đầu của phương trình động lực Theo hướng nghiên cứu này, luận văntập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace trên thang thời gian và một

số ứng dụng Bên cạnh đó, đưa ra các ví dụ minh họa cho các định lý và

so sánh kết quả để thấy được sự khác nhau giữa tính toán trên các thangthời gian khác nhau

Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương vớinội dung như sau:

Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ bản tính toán trên thang thờigian Trong chương này chủ yếu nghiên cứu về đạo hàm, vi phân, tích phân

trên thang thời gian và các thang thời gian của hàm đa thức, hàm mũ để

áp dụng xây dựng nghiệm cho các bài toán giá trị ban đầu của phươngtrình động lực

Chương 2: Giới thiệu phép biến đổi Laplace trên thang thời gian vàtrình bày một số các kết quả quan trọng Từ đó sử dụng biến đổi Laplace

để giải các bài toán giá trị ban đầu của phương trình động lực

Chương 3: Giới thiệu tích chập Laplace trên thang thời gian và các tínhchất cơ bản Ứng dụng tích chập trong việc giải các bài toán giá trị banđầu

Luận văn đã được báo cáo tại Seminar Giải tích ĐHBK Hà Nội

Em xin trân trọng cảm ơn thầy PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo đã dànhnhiều thời gian để hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình em học tập,nghiên cứu và hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn các thành viên trongSeminar Giải tích đã đóng góp nhiều ý kiến, phương pháp để luận văn của

em được hoàn thiện hơn Bên cạnh đó, em rất mong nhận được nhữngđóng góp ý kiến từ các thầy cô, bạn bè để em tiếp tục nghiên cứu đềtài để hoàn thiện hơn nữa kiến thức về thang thời gian và đưa ra được cácứng dụng hữu ích Em xin trân trọng cảm ơn!

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

về thang thời gian

1.1 Các kí hiệu cơ bản và định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Thang thời gian là một tập con đóng khác ∅ của tập sốthực, kí hiệu T

Có một vài thang thời gian được quan tâm đặc biệt như là thang thờigian số thực R, số nguyên Z, thang thời gian hZ = {hz : z ∈ Z}, trong đó

cho t < 0, thì không có một phần tử lớn hơn tiếp theo trên T Tuy nhiênnếu ta chọn t ∈ T sao cho t ≥ 0, thì phần tử lớn hơn tiếp theo là là t + 1 Định nghĩa tiếp theo hợp lí hóa những phát biểu như vậy có ý nghĩa đốivới những thang thời gian tùy ý.

Định nghĩa 1.2 Cho t ∈ T, toán tử nhảy phía trước σ : T → T được xácđịnh bởi

Quy ước inf ∅ = sup T và sup ∅ = inf T

Toán tử nhảy phía trước cho phần tử tiếp theo lớn hơn t hoặc là chính

t nếu T = R Toán tử nhảy phía sau là các phần tử nhỏ hơn tiếp theo.Cuối cùng, hàm độ hạt µ(t) là khoảng cách từ t đến phần tử lớn hơn tiếptheo Định nghĩa sau sử dụng các toán tử này để phân loại các điểm trênthang thời gian

Định nghĩa 1.3 Nếu σ(t) > t, khi đó ta nói t tán xạ phải Nếu ρ(t) < t

ta nói t tán xạ trái Nếu một điểm vừa tán xạ phải vừa tán xạ trái thì điểm

đó được gọi là điểm cô lập Nếu t < sup T và σ(t) = t, thì t được gọi là trùmật phải Nếu t > inf T và ρ(t) = t, thì t được gọi là trù mật trái Nhữngđiểm mà vừa trù mật phải và vừa trù mật trái thì được gọi là trù mật

Định nghĩa 1.4 Một hàm f : T → R được gọi là điều hòa khi tồn tại giớihạn phải ở mọi điểm trù mật phải trong T và tồn tại giới hạn trái ở mọiđiểm trù mật trái trong T, có nghĩa là lúc này có bước nhảy gián đoạn.

Ví dụ 1.1 Ta xét ví dụ sau về hàm không điều hòa trên R Cho f : R →[−1, 1] được xác định bởi

f :=

(sin1

Vậy hàm f không điều hòa trên R Tuy nhiên, hạn chế của f trên thangthời gian N0 là điều hòa vì N0 không có điểm trù mật trái và trù mật phải.Định nghĩa 1.5 Một hàm f : T → R được gọi là trù mật phải liên tụctại một điểm t0 ∈ T nếu t0 là trù mật trái thì tồn tại giới hạn trái của ftại t0 và t0 là trù mật phải thì f liên tục tại t0, nghĩa là hàm f điều hòa

và liên tục phải Nếu một hàm trù mật phải liên tục tại mọi điểm trong Tthì được gọi là hàm trù mật phải liên tục trên T

giới hạn phải của f tại 0 bằng f (0) Nên f liên tục tại 0 Ta thấy f giánđoạn tại 2, vì tồn tại giới hạn trái của f tại 2 bằng 2 khác f (2) = 0 Từ

đó ta có thể thấy rằng mặc dù f không liên tục nhưng f vẫn trù mật phảiliên tục

Định lí 1.1 Giả sử f : T → R và g : T → T Khi

(i) Nếu f liên tục, thì f là trù mật phải liên tục

(ii) Nếu f liên tục và g điều hòa hoặc trù mật phải liên tục, thì f ◦ g tươngứng là điều hòa hoặc trù mật phải liên tục

ta có thể xác định thang thời gian hàm đạo hàm tại mọi điểm của Tk Ta

có thể thấy ở định nghĩa tiếp theo, Tk là điều kiện cần để đạo hàm trênthang thời gian có nghĩa

Định nghĩa 1.7 Một hàm f : T → R được gọi là ∆ - khả vi tại t ∈ Tknếu giới hạn sau tồn tại:

f∆(t) := lim

s→t

f (σ(t)) − f (s)σ(t) − s , s ∈ T \ {σ(t)}

Kí hiệu f∆(t) là ∆- đạo hàm của f tại t Hàm f được gọi là ∆ - khả vitrên Tk nếu f∆(t) tồn tại với mọi t ∈ Tkvà f∆ : Tk → R được gọi là ∆ -đạo hàm của f trên Tk.

Ví dụ 1.3 Cho f : T → R xác định bởi f (t) = t2 với mọi t ∈ T

f∆(t) = lim

s→t

f (σ(t)) − f (s)σ(t) − s

Nhận thấy rằng mặc dù s không bằng σ(t), nhưng có thể xảy ra s = t.Khi một điểm t trên thang thời gian tán xạ phải, ∆ - đạo hàm tại t là hệ

số góc của đường thẳng đi qua điểm (t, f (t)) và (σ(t), f (σ(t))) Khi t là trùmật phải, ∆ - đạo hàm tại t tương tự như các định nghĩa đạo hàm thôngthường

Định lí 1.2 Giả sử f : T → R và cho t ∈ Tk Nếu f là ∆ - khả vi tại tthì :

(i) f liên tục tại t

(ii)f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f∆(t)

Chứng minh (i)Trước hết ta thấy rằng, với bất kì s ∈ T,

σ(t) − s = (σ(t) − t) + (t − s) = µ(t) + (t − s) (1.1)Giả sử  ∈ (0, 1), và xác định 0 = [1 + |f∆(t)| + 2µ(t)]−1 Khi đó 0 ∈ (0, 1).Theo định nghĩa của đạo hàm, cho  ∈ (0, 1) thì tồn tại δ > 0 sao cho

|t − s| < δ, s 6= σ(t) ta có

|f (σ(t)) − f (s)σ(t) − s − f∆(t)| < 0hay|f (σ(t)) − f (s) − (σ(t) − s)f

∆(t)σ(t) − s | < 0suy ra|f (σ(t)) − f (s) − (σ(t) − s)f∆(t)| < 0|σ(t) − s| (1.2)

=f (σ(t)) − f (t)σ(t) − t

=f (σ(t)) − f (t)

µ(t)nên

f (σ(t)) − f (t) = µ(t)f∆(t)

f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f∆(t)

Phần (i) của định lí 1.2 rất bình thường vì nó giống các trường hợpnhư trong số thực Mặt khác phần (ii) chỉ đúng khi t tán xạ phải, ngượclại t trù mật phải thì f (t) = f (t)

Định lí tiếp theo cho ta một số quy tắc tính ∆ - khả vi Ta thấy công thức(i) và (ii) dưới đây là giống như các trường hợp số thực, trong khi côngthức (iii) thì có phần khác

Định lí 1.3 Giả sử f, g : T → R là ∆ - khả vi tại t ∈ Tk Khi đó ta có :(i) Tổng f + g : T → R là ∆ - khả vi tại t với

(f + g)∆(t) = f∆(t) + g∆(t)

(ii) Cho hằng số bất kì α ∈ R, thìαf : T → R là ∆ - khả vi tại t với

Sử dụng quy tắc nhân định lý 1.3, ta được

Do đó (f ◦ g)∆(t) = f∆(g(t))g∆(t) chỉ đúng với một điểm duy nhất trong

Z, đó là điểm 0 Như vậy chúng khác nhau tại mọi điểm t 6= 0, tức là không

có quy tắc dây chuyền thông thường với các hàm f, g như trên tại t 6= 0.Mặc dù có một vài quy tắc dây chuyền cho thang thời gian, nhưng cácquy tắc này yếu hơn so với trường hợp số thực Chúng ta chỉ sử dụng mộttrong số các quy tắc dây chuyền đó, và được trình bày trong luận văn này.Trước khi trình bày về quy tắc dây chuyền, Định lí 1.4, ta chú ý một vài

câu hỏi sau : cho một hàm tăng ngặt γ thì γ(T) có là một thang thời giankhông? Ta trả lời câu hỏi này trong mệnh đề mới dưới đây.

Mệnh đề 1.1 Giả sử γ : T → R là một hàm tăng ngặt Thì γ(T) là mộtthang thời gian khi và chỉ khi

(i) γ là liên tục

(ii) γ bị chặn trên ( bị chặn dưới) chỉ khi T bị chặn trên ( bị chặn dưới)Chứng minh Ta sẽ chứng minh chiều thuận bằng cách chứng minh phảnchứng Giả sử γ không liên tục và γ(T) là một thang thời gian Khi đótồn tại một điểm a ∈ T là trù mật phải hoặc trù mật trái hoặc trù mật,thì γ không liên tục tại a Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử a làtrù mật trái nhưng không trù mật phải Cho {tn}n∈N,tn ∈ T, là dãy hội tụtăng ngặt đến a Khi đó, bởi vì γ là tăng ngặt nên ta biết rằng γ(a) là cậntrên của dãy {tn}n∈N Vì vậy {γ(tn)}n∈N phải hội tụ đến một sup hữu hạn,hơn nữa

sup{γ(tn)}n∈N < γ(a) (1.4)bởi vì γ không liên tục tại a Vì γ tăng ngặt, ta thấy

sup{γ(tn)}n∈N ∈ {γ(t/ n)}n∈N.Bởi vì γ(T) là tập đóng

sup{γ(tn)}n∈N ∈ γ(T)Cho b ∈ T sao cho γ(b) = sup{γ(tn)}n∈N Khi đó, bởi vì γ tăng

b = sup{γ(tn)}n∈N vì thế b ≤ a Từ (1.4) ta được b 6= a Do đó b < a Điềunày mâu thuẫn với giả sử của ta rằng {tn}n∈N hội tụ đến a Do đó kết luậnđược γ(T) là thang thời gian thì γ liên tục

Bây giờ ta giả sử sup T = ∞ và γ(t) < M < ∞ với M ∈ R Khi đó ta có

thể tìm được một dãy tăng {tn}n∈N,tn ∈ T sao cho lim

n→∞tn = ∞ Vì γ làtăng ngặt thì {γ(tn)}n∈N hội tụ đến một sup hữu hạn với

sup{γ(tn)}n∈N ∈ {γ(t/ n)}n∈N,nên

sup{γ(tn)}n∈N ∈ γ(T),/

và vì thế γ(T) một lần nữa không là tập đóng Do đó ta kết luận được khiγ(T) là một thang thời gian, ta được (ii)

Giả sử (i) và (ii) có nghĩa, và cho a là một điểm giới hạn của γ(T) Khi

đó không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử tồn tại một dãy tăng{an}n∈N, an ∈ γ(T) hội tụ đến a Cho {tn}n∈N,tn ∈ T là một dãy sao choγ(tn) = an Khi đó tn ∈ T cũng là một dãy tăng và lim

n→∞γ(tn) = a Giả sửsup T = ∞ , từ (ii)ta có γ(T) = ∞ Do đó lim

n→∞tn < ∞, mặt khác a = ∞.Giả sử t0 = limn→∞tn, thì bao đóng nằm trong T với t0 ∈ T Cuối cùng,tính liên tục của γ có nghĩa là γ(t0) = a, vì vậy a ∈ γ(T)

Định lí 1.4 (Quy tắc dây chuyền)

Giả sử γ : T → R là một hàm tăng ngặt vì thế ˜T := γ(T) là một thangthời gian Giả sử ω : ˜T → R và ω∆˜ là kí hiệu đạo hàm của ω trên ˜T Nếu

γ∆(t) và ω∆˜(γ(t)) tồn tại với t ∈ Tk, khi đó

(ω ◦ γ)∆ = (ω∆˜ ◦ γ)γ∆.Chứng minh Giả sử 1 >  > 0 và chọn 0 := [1 + |γ∆(t)| + |ω∆˜(γ(t))|]−1.Thì 1 > 0 > 0 Hàm γ(t) là ∆ - khả vi có nghĩa là tồn tại δ1 > 0 sao chovới t, s ∈ T, thì |t − s| < δ1, ta có

|γ(σ(t)) − γ(s) − (σ(t) − s)γ∆(t)| ≤ 0|σ(t) − s|

Tương tự, hàm ω(t) là ∆ - khả vi có nghĩa là tồn tại δ2 > 0 sao cho với

nêns > γ−1(γ(t) − δ2),dẫn tớiγ(s) > γ(t) − δ2,hay γ(t) − γ(s) < δ2

Tương tự ta có thể sử dụng |t − s| < γ−1(γ(t) + δ2) − t để chứng tỏ

δ2 < γ(t) − γ(s) Từ |t − s| < δ kéo theo |γ(t) − γ(s)| < δ2 Do đó

A =|ω(γ(σ(t))) − ω(γ(s)) − (σ(t) − s)[ω∆˜(γ(t))γ∆(t)]|

=|ω(γ(σ(t))) − ω(γ(s)) − (˜ω(γ(t)) − γ(s))ω∆˜(γ(t))+ [˜σ(γ(t)) − γ(s) − (σ(t) − s)γ∆(t)]ω∆˜(γ(t))|

≤|ω(˜σ(γ(t))) − ω(γ(s)) − (˜ω(γ(t)) − γ(s))ω∆˜(γ(t))|

+ |[˜σ(γ(t)) − γ(s) − (σ(t) − s)γ∆(t)]ω∆˜(γ(t))|

<0|ω(˜σ(γ(t))) − γ(s)| + 0|σ(t) − s||ω∆˜(γ(t))|

=0|ω(˜σ(γ(t))) − γ(s) − (σ(t) − s)γ∆(t)+ (σ(t) − s)γ∆(t)| + 0|σ(t) − s||ω∆˜(γ(t))|

≤0{|ω(˜σ(γ(t))) − γ(s) − (σ(t) − s)γ∆(t)|

+ |(σ(t) − s)|γ∆(t)| + |σ(t) − s||ω∆˜(γ(t))|}

Một lần nữa bởi vì γ là tăng ngặt, ta được ˜ω(γ(t)) = γ(σ(t)) Nên ta

có thể viết lại dòng cuối như sau

Lưu ý đầu tiên là g(Z) = {t2 : t ∈ Z} Nên

(f∆˜ ◦ g)(t) = f (˜σ(g(t))) − f (g(t))

˜σ(g(t)) − g(t) =

f (˜σ(t2)) − f (t2)

˜σ(t2) − t2

= f ((t + 1)

2) − f (t2)(t + 1)2 − t2

= (t + 1)

4 − t4

(t + 1)2 − t2 = (t

4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1) − t4(t2 + 2t + 1) − t2

= 4t

3 + 6t2 + 4t + 12t + 1 .Nhắc lại g∆(t) = 2t + 1 ta được

(f∆˜ ◦ g)(t)g∆(t) = 4t3 + 6t2 + 4t + 1

Ta khẳng định:

(f ◦ g)∆(t) = (f∆˜ ◦ g)(t)g∆(t)

Tiếp theo ta thiết lập các bước cho tích phân trên thang thời gian

Định nghĩa 1.8 Cho T là một thang thời gian, và cho a, b ∈ T sao cho

a < b Ta thực hiện một phép chia đoạn [a, b] (trong đó [a, b] biểu thị đoạntrên thang thời gian) ra làm n đoạn con nào đó, không nhất thiết bằngnhau, bởi các điểm chia

a = t0 < t1 < < tn = b, ti ∈ T Thì tập hợp các điểm chia kí hiệu là

Định nghĩa 1.9 Giả sử δ > 0 Một phân hoạch P ∈ P(a, b) được cho bởi

a = t0 < t1 < < tn = b được gọi là một δ - phân hoạch nếu

Ví dụ 1.5 Xét thang thời gian T = {2n : n ∈ N0} ∪ {0} Giả sử

a = 0 và b = 32 Cho Pα là một phân hoạch của [0, 32] trên T cho bởi{0, 1, 2, 4, 8, 16, 32} và tương tự cho Pβ cho bởi {0, 1, 8, 16, 32} Pαlà một δ -phân hoạch của [0, 32] với mọi δ > 0 Điều này xảy ra bởi vì (ti−1, ti)∩T = ∅với mọi i ∈ {1, 2, , n} Tuy nhiên, điều này không xảy ra trong trườnghợp Pβ Trong khi (ti−1, ti) ∩ T = ∅ cho mọi i 6= 2, thì với i = 2 ta có(t1, t2) ∩ T = (1, 8) ∩ T = {2, 4} 6= ∅ Nên Pβ là một δ - phân hoạch của[0, 32] chỉ khi δ ≥ 8 − 1 = 7

Tiếp theo chúng ta xác định ∆ - khả tích Riemann tương tự như cáctích phân Riemann thông thường

Định nghĩa 1.10 Giả sử f : [a, b] ∩ T → C là một hàm bị chặn và giả sử

P ∈ P(a, b) Với mỗi cặp ti−1 và ti trong P , chọn một điểm τi ∈ T sao cho

sau: Cho ε > 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho

|S − I| < ε

với mọi cách chọn τi ∈ T với bất kì P ∈ Pδ(a, b) Số phức I được gọi là ∆

- tích phân Riemann của f trên [a, b] và được kí hiệu

Z b a

f (t)∆t

Sau đây là một vài ví dụ về ∆ - khả tích được tính trực tiếp bằng địnhnghĩa để dễ dàng so sánh tích phân Riemann thang thời gian với trườnghợp số thực

Ví dụ 1.6 Cho f : T → R được xác định bởi f (t) = t2 Giả sử

T = {2n : n ∈ N0} ∪ {0}

và xét tích phân

Z 32 0

Ta thấy Pα cho bởi {0, 1, 2, 4, 8, 16, 32} là phân hoạch trong Pδ(0, 32) vớimọi δ > 0 Vì ta phải chọn τi ∈ T sao cho ti−1 ≤ τi < ti, lựa chọn duy nhấtcủa ta là cho

τ1 = 0

τi = 2i−2

2 ≤ i ≤ 6

Ta thấy rằng với thang thời gian Pn ∈ Pδ(0, 32) miễn là δ ≥ 32n − 0 = 32

Nếu ta cho Sn kí hiệu của ∆ - tổng Riemann tương ứng với Pn, ta có



1(n − i − 1)(n − i)

0 < τ1232

n <

 32n

3

,nên

Z 32 0

f (t)∆t ≈ 5013, 79989477,với sai số 10.000323 3 < 10−7

Chú ý với mỗi thang thời gian trong hai ví dụ trước, ta thấy ∆ - khảtích nhỏ hơn so với trường hợp số thực Trong thực tế, cho bất kì hàm tăng

f : R → R và thang thời gian T,

Z b a

g(t)∆t ≤

Z b a

f (t)dt

với g(t) là giới hạn của f trên T Ta cũng thấy ∆ - khả tích trên mộtkhoảng rời rạc của thang thời gian là một tổng trọng với trọng số t ∈ Tđược cho bởi µ(t) Nếu có một điểm trù mật phải đơn trong khoảng đangxét, thì trọng là 0 Mệnh đề tiếp theo trình bày hình thức này.

Mệnh đề 1.2 Giả sử f : T → R khi đó

Z σ(t) t

Chứng minh Giả sử σ(t) = t Khi đó

Z t t

f (τ )∆τ = 0 = µ(t)f (t)

Tiếp theo, ta giả sử σ(t) > 0 Khi đó {t, σ(t)} là một δ - phân hoạch vớimọi δ > 0 Do đó τ1 = 1 và

Z σ(t) t

Z b a

f (t)∆t =

Z b a

g(x)dxvới điều kiện các tích phân tồn tại Vì hàm f là trù mật phải liên tục, nên

ta tập hợp các điểm gián đoạn của g phần lớn đếm được Nên hàm g liêntục từng khúc trên đoạn [a, b] và do đó khả tích trên từng đoạn tương ứng

Do đó, f phải khả tích trên đoạn [a, b] ∩ T

Theo định lí trước đã thiết lập về tính tuyến tính của ∆ - khả tích.Tính tuyến tính của phép biến đổi của thang thời gian sẽ được giới thiệutrong phần tiếp theo dựa trực tiếp vào kết quả này

Định lí 1.6 Giả sử f và g là các hàm ∆ - khả tích trên [a, b] và giả sử

α, β ∈ C Khi đó αf + βg là ∆ - khả tích và

Z b a

(αf + βg)(t)∆t = α

Z b a

f (t)∆t + β

Z b a

g∆(t)∆t = g(b) − g(a) (1.7)b) Giả sử f là ∆ - khả tích trên đoạn [a, b] Với t ∈ [a, b] ∩ T, xác định

F (t) :=

Z t a

f (τ )∆τ

Khi đó F (t) liên tục trên [a, b) Nếu t0 ∈ [a, b) và nếu f liên tục tại t0 với

t0 trù mật phải, khi đó F là ∆ - khả vi tại t0 và

F∆(t0) = f (t0)

Định lí 1.8 (Công thức đổi biến số)

Giả sử γ : T → R là một hàm tăng ngặt sao cho ˜T = γ(T) là một thangthời gian Giả sử ˜∆ là kí hiệu của ∆ - đạo hàm trên ˜T Giả sử f : T → R

là ∆ - khả tích trên từng khoảng hữu hạn của T Giả sử γ cũng ∆-khả vi

và γ∆ là ∆- khả tích trên từng khoảng hữu hạn của T Khi đó, nếu f γ∆ là

∆ - khả tích, ta có

Z b a

f (t)γ∆(t)∆t =

Z γ(b) γ(a)

(f ◦ γ−1)(s) ˜∆s,với a, b ∈ T

Chứng minh Giả sử

F (t) :=

Z t a

f (t)γ∆(t)∆t

Khi đó, theo định lí trước ta có F∆ = f γ∆ tại các điểm tán xạ phải và cácđiểm trù mật phải với hàm f là liên tục Nên

Z b a

f (t)γ∆(t)∆t =

Z b a

(F∆ ◦ γ−1)(s)(γ−1)∆˜(s) ˜∆(s)

=

Z γ(b) γ(a)

((f γ∆) ◦ γ−1)(s)(γ−1)∆˜(s) ˜∆s

=

Z γ(b) γ(a)

(f ◦ γ−1)(s)[(γ∆ ◦ γ−1)(γ−1)∆˜](s) ˜∆s

Tiếp tục sử dụng quy tắc dây chuyền

Z b a

f (t)γ∆(t)∆t =

Z γ(b) γ(a)

(f ◦ γ−1)(s)(γ ◦ γ−1)∆˜(s) ˜∆s

=

Z γ(b) γ(a)

f∆(t)g(t)∆t,(ii)

Z b

a

f (t)g∆(t)∆t = (f g)(b) − (f g)(a) −

Z b a

f (σ(t))g∆(t)∆t +

Z b a

f∆(t)g(t)∆t −

Z b a

f∆(t)g(t)∆t

=

Z b a

[f (σ(t))g∆(t) + f∆(t)g(t)]∆t −

Z b a

f∆(t)g(t)∆t.Theo quy tắc nhân, định lý 1.3 ta có f (σ(t))g∆(t) + f∆(t)g(t) = (f g)∆(t)

Ta được vế phải

=

Z b a

(f g)∆(t)∆t −

Z b a

Nên áp dụng định lý phép tính cơ bản 1.7, từ phương trình (1.8) ta được

= (f g)(b) − (f g)(a) −

Z b a

2 không cần khả vi thậm chí nếu σ(t) là liên tục Những

gì chúng ta muốn làm là tìm ra một tập hợp các hàm trên thang thời giantính toán có các tính chất giống như hàm đa thức Ta làm bắt đầu với 1

và xác định truy hồi bằng tích phân

Định nghĩa 1.11 Ta định nghĩa thang thời gian đa thức gk, , hk : T×T →

R với k ∈ N0 như sau

g0(t, s) = h0(t, s) ≡ 1 ∀s, t ∈ T,

gk+1(t, s) =

Z t s

gk(σ(τ ), s)∆τ ∀s, t ∈ T,

hk+1(t, s) =

Z t s

Bây giờ ta cần tìm ra một hàm có các tính chất như hàm mũ trong trườnghợp số thực Đó là, ta cần tìm ra một nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu

z w := z ⊕ ( w)

Định lí 1.11 Cặp đôi (Ch, ⊕) tạo thành một nhóm Abel

Bây giờ ta xem xét đến độ hạt biến thiên µ(t) thay thế của h

Định nghĩa 1.14 Một hàm f : T → C được gọi là hồi quy nếu

1 + µ(t)f (t) 6= 0 ∀t ∈ Tk.Thiết lập các hàm hồi quy và hàm trù mật phải liên tục f : T → Rđược kí hiệu

R(T, R) = R(R)

Định nghĩa 1.16 Với h > 0, thì biến đổi trụ ξh : Ch → Zh được địnhnghĩa

ξh(z) := 1

hLog(1 + zh)với Log là nhánh chính của loga hypecbolic Với h = 0, xác định

ξ0(z) := zvới mọi z ∈ C

Với x ∈ R, ξh(x) có dạng

ξh(x) = 1

h

(log(1 + xh) nếu x > −h1log |1 + xh| + iπ nếu x < −h1theo đó log có nghĩa là logarit tự nhiên Ta xem ξh như biến đổi trụ vì nếu

ξµ(t)(p(τ ))∆τ

với s, t ∈ T

Ta thấy rằng nếu không có hồi quy, thì định nghĩa của thang thời gianhàm mũ sẽ không có nghĩa Ở định lý tiếp theo cho ta thấy điều này làhiển nhiên để giải bài toán giá trị ban đầu mà ta đề cập ở đầu phần

Định lí 1.12 Cho p(t) ∈ R(C) và t0 ∈ T không đổi, thì nghiệm duy nhấtcủa bài toán giá trị ban đầu

y(t) = y0 · ep(t, t0) (1.10)trên T

Ta sẽ sử dụng định lí 1.12 để tìm hàm mũ cho thang thời gian qN 0, q ∈ N

qt − t = p(t)q(t)y(σ(t) − y(t)) = (q − 1)tp(t)y(t)

Từ định lý 1.13 ta có hệ quả dưới đây, sẽ được sử dụng thường xuyên trongphần tiếp theo để tính toán biến đôi Laplace của các hàm đặc biệt.

Hệ quả 1.1 Cho p ∈ R(C), thì

e p(σ(t), 0) = 1

1 + µ(t)p(t)e p(t, 0) = −

( p)(t)p(t) e p(t, 0).

Chúng ta sẽ sử dụng thang thời gian hàm mũ để xác định bốn hàm mới

là sin, cosin và họ các đường hypecbolic trong thang thời gian tính toán

Định nghĩa 1.18 Cho p là một hàm trù mật phải liên tục trên T sao cho

µp2 ∈ R(R) Thì ta xác định các hàm lượng giác cosp và sinp trên thangthời gian như sau

cosp(t, t0) = eip(t, t0) + e−ip(t, t0)

2 và sinp(t, t0) =

eip(t, t0) − e−ip(t, t0)

2ivới i = √

p(τ )dτ ) và sinp(t, s) = sin(

Z t s

sin∆p(t, t0) = p(t) cosp(t, t0)

Để chứng minh (ii) ta làm tương tự.

Định lí 1.14 Giả sử a ∈ Tk, b ∈ T và giả sử f : T × Tk → R liên tục tại(t, t) với t ∈ Tk, t > a Giả sử f∆(t, ·) trù mật phải liên tục trên [a, σ(t)],

f (·, τ ) là ∆ - khả vi với mỗi τ ∈ [a, σ(t)] kí hiệu f∆ là đạo hàm của f Khi đó

g(t) :=

Z t a

f (t, τ )∆τ ⇒ g∆(t) =

Z t a

và |t − τ | < δ2 ta có

|f (s, τ ) − f (t, t)| ≤ 

Giả sử δ := min{δ1, δ2} và giả sử |t − s| < δ Khi đó

f∆(t, τ )∆τ + f (σ(t), t)

(σ(t) − s)

f (s, τ )∆τ − (σ(t) − s)f (σ(t), t)

−(σ(t) − s)

Z s a

f∆(s, τ )∆τ

từ định nghĩa của g Ta có thể vận dụng tính chất của tích phân vàhiệu sai phân để viết lại như sau

f∆(t, τ )∆τ

... a

f∆(s, τ )∆τ

từ định nghĩa g Ta vận dụng tính chất tích phân vàhiệu sai phân để viết lại sau

f∆(t, τ )∆τ

Sử dụng mệnh đề 1.2... 39

ban đầu mà sử dụng sau đây.

Định lí 1.15 Sự biến thiên số loại I

Giả sử p ∈ R(R) f : T → R trù mật phải liên tục Giả sử t0