Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2012...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN CHÍ LIÊM

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG

LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN CHÍ LIÊM

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC

ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số : 62 46 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 GS TS Nguyễn Hữu Dư

2 PGS TS Vũ Hoàng Linh

HÀ NỘI - 2012

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Danh sách các ký hiệu vii

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian 7

1.2 Tính khả vi 10

1.3 Tính khả tích 11

1.4 Tính hồi quy 15

1.5 Hàm mũ trên thang thời gian 16

1.6 Phương trình động lực tuyến tính 18

1.7 Tính ổn định mũ của phương trình động lực thường trên thang thời gian 19

1.7.1 Khái niệm về ổn định mũ 20

1.7.2 Tính ổn định mũ của phương trình động lực tuyến tính hệ số hằng 22

2 Bài toán Cauchy cho phương trình động lực ẩn trên thang thời gian 26 2.1 Phương trình động lực ẩn tuyến tính 27

2.1.1 Chỉ số của phương trình động lực ẩn tuyến tính 28

2.1.2 Cách giải bài toán Cauchy 31

2.1.3 Cách giải phương trình động lực ẩn tuyến tính thuần

nhất có các hệ số là hằng số 37

2.2 Phương trình động lực ẩn tuyến tính với nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz 39

2.2.1 Cách giải 40

2.2.2 Mô tả không gian nghiệm 42

2.3 Phương trình động lực ẩn tựa tuyến tính 44

2.4 Kết luận của Chương 2 48

3 Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian 49 3.1 Xét tính ổn định của phương trình động lực ẩn bằng phương pháp hàm Lyapunov 49

3.1.1 Các định nghĩa về ổn định của phương trình động lực ẩn 50

3.1.2 Các mệnh đề 52

3.1.3 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định của phương trình động lực ẩn 54

3.1.4 Phương pháp hàm Lyapunov áp dụng cho phương trình động lực ẩn với phần tuyến tính có hệ số hằng 63 3.2 Bán kính ổn định của phương trình động lực ẩn tuyến tính hệ số hằng trên thang thời gian 68

3.2.1 Phổ của phương trình động lực ẩn tuyến tính 71

3.2.2 Khái niệm về bán kính ổn định 72

3.2.3 Sự bằng nhau của bán kính ổn định thực và phức 74

3.3 Kết luận của Chương 3 83

4 Các phép biến đổi Lyapunov và định lý Floquet cho phương trình động lực ẩn tuyến tính 85 4.1 Thang thời gian tuần hoàn 86

4.2 Các phép biến đổi Lyapunov 884.3 Định lý Floquet cho các phương trình động lực ẩn tuyến tính 924.4 Kết luận của Chương 4 102

Kết luận và những nghiên cứu tiếp theo 103Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 105Tài liệu tham khảo 106

Danh sách các ký hiệu

C(X, Y ) = Tập tất cả các hàm liên tục từ X vào Y

C rd (T, X) = Tập tất cả các hàm : T → X là rd-liên tục

C rd1 (T, X) = Tập tất cả các hàm : Tk → X là khả vi rd-liên tục

C rd R(T, X) = Tập tất cả các hàm : T → X là rd-liên tục và hồi quy

ker A = Hạch của toán tử A.

L(X) = Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X.

D(ϕ) = Miền xác định của hàm ϕ.

R(Tk , X) = Tập tất cả các hàm hồi quy, xác định trênT

σ(A) = Tập tất cả các giá trị riêng của ma trậnA.

σ(A, B) = Tập tất cả các nghiệm của phương trìnhdet(λA ư B) = 0.

S(T) = Miền ổn định mũ của thang thời gian T.

sup = suprimum.

Tk = T \ {M } nếu T có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái;

Tτ = {t ∈ T : t > τ }.

Mở đầu

Lý thuyết về thang thời gian (time scale), lần đầu tiên được trình bàybởi Stefan Hilger trong luận án tiến sĩ của ông vào năm 1988 (với sựhướng dẫn của Bernd Aulbach, xem [49]) nhằm thống nhất giải tích liêntục và rời rạc Việc nghiên cứu lý thuyết về các thang thời gian đã dẫn

đến một số áp dụng quan trọng, chẳng hạn trong nghiên cứu về mô hìnhmật độ của côn trùng, về hệ thần kinh, về quá trình biến đổi nhiệt, về cơhọc lượng tử và về mô hình bệnh dịch

Việc phát triển lý thuyết về "phương trình động lực" trên thang thờigian, dẫn đến các kết quả tổng quát và khi đó có thể áp dụng cho cácthang thời gian hỗn hợp của các trường hợp liên tục và rời rạc

Ta biết rằng, có nhiều kết quả của phương trình vi phân được thực hiệnkhá dễ dàng và tự nhiên cho phương trình sai phân Tuy nhiên, có nhữngkết quả dễ dàng trình bày cho phương trình vi phân lại không hề đơn giảncho sai phân và ngược lại Việc nghiên cứu phương trình động lực trênthang thời gian cho ta một cái nhìn sáng sủa để khắc phục tính khôngnhất quán này giữa phương trình vi phân liên tục và phương trình saiphân rời rạc Ngoài ra, điều đó cũng tránh được việc một kết quả đượcchứng minh hai lần, một lần cho phương trình vi phân và một lần kháccho phương trình sai phân

Ta có thể lấy thang thời gian là tập các số thực, kết quả tổng quát thu

được sẽ tương tự với kết quả trong phương trình vi phân thường Nếu lấythang thời gian là tập các số nguyên, kết quả tổng quát thu được sẽ tương

tự với kết quả trong phương trình sai phân Tuy nhiên, các thang thờigian có cấu trúc phong phú nên kết quả thu được là tổng quát và hay hơn

nhiều kết quả trên tập các số thực và trên tập các số nguyên Do vậy, đặc

Cho đến nay đã có hàng chục quyển sách và hàng ngàn bài báo viết vềthang thời gian Các yếu tố giải tích trên thang thời gian đã được các tácgiả nghiên cứu một cách sâu rộng và tương đối đầy đủ Và từ đó nhiềukết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được "chuyểndịch" sang thang thời gian Chẳng hạn, về hệ động lực thường trên thangthời gian, đã có những kết quả rất sâu sắc về sự ổn định, tính dao động,bài toán giá trị biên,

Mặt khác, trong những năm gần đây các phương trình vi phân đại số

được quan tâm một cách rộng rãi cả về phương diện lý thuyết lẫn thực tế.Dạng tổng quát của các phương trình vi phân đại số là

f (t, x0(t), x(t)) = 0, (1)

và phương trình tuyến tính hóa của nó có dạng

A t x0(t) = B t x(t) + q t , (2)

xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế, chẳng hạn như trong mạch điện,các phản ứng hóa học, hệ thống giao thông, thiết kế robot,

phải được đặt ra Một trong các cách để giải (2) là đưa ra khái niệm chỉ sốcủa phương trình Dựa trên khái niệm này, ta có thể nghiên cứu phươngtrình (2) bằng cách phân tích nó thành một phương trình vi phân thường

và một quan hệ đại số Về cách giải của bài toán Cauchy đối với phươngtrình (2) ta có thể tham khảo trong [46]

Cùng với lý thuyết về các phương trình vi phân đại số, có một sự quantâm khác đến các phương trình sai phân đại số vì sự xuất hiện của chúngtrong nhiều lĩnh vực thực tế, như mô hình động lực Leontiev, mô hìnhtăng trưởng dân số Leslie, các bài toán điều khiển tối ưu suy biến (xem

[26, 32]) Ngoài ra, các phương trình sai phân đại số xuất hiện một cách tựnhiên khi sử dụng kỹ thuật rời rạc hóa để giải các phương trình vi phân

đại số và các phương trình vi phân đại số từng phần, Vấn đề này đã được

sự quan tâm lớn của các nhà nghiên cứu [26, 46, 58]

Khái niệm chỉ số của các phương trình sai phân ẩn tuyến tính có hệ sốbiến thiên

A n x(n + 1) = B n x(n) + q n (3)

được giới thiệu trong [39, 64] và cách giải của bài toán giá trị ban đầucũng như bài toán giá trị biên nhiều điểm được nghiên cứu trong [9, 11].Sau đó, khái niệm chỉ số đã được mở rộng cho trường hợp phi tuyến [8]

f (n, x(n + 1), x(n)) = 0. (4)

Có mối quan hệ gần gũi giữa các phương trình sai phân đại số tuyến tính

và các phương trình vi phân đại số tuyến tính, cụ thể là, phương phápEuler khi áp dụng cho các phương trình vi phân đại số tuyến tính có chỉ

số 1 sẽ dẫn đến một phương trình sai phân đại số tuyến tính có chỉ số 1(xem [9, 11]) và nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu cũng nhưbài toán giá trị biên được rời rạc hóa hội tụ về nghiệm của bài toán liêntục tương ứng

Sử dụng các khái niệm của giải tích trên thang thời gian, ta viết lại cácphương trình (2) và (3) dưới dạng

A t x∆(t) = B t x(t) + q t , (5)hay với dạng tổng quát

f (t, x∆(t), x(t)) = 0, (6)

Một cách tự nhiên, câu hỏi được đặt ra là: Liệu các kết quả đã biết đối vớicác phương trình (2) hay phương trình (3); phương trình (1) hay phươngtrình (4) có thể được mở rộng và thống nhất lần lượt cho các phương trình

động lực ẩn có dạng (5); (6) hay không? Đây cũng là lý do để chúng tôi

định hướng vấn đề mà luận án cần nghiên cứu, và mục tiêu của luận án

là phải giải quyết được một phần của câu hỏi vừa nêu

Trong khuôn khổ của luận án, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu cáchgiải bài toán Cauchy, bên cạnh đó là tính ổn định của một lớp các phươngtrình động lực ẩn trên thang thời gian Nội dung của luận án là tổng hợpcác nghiên cứu của tác giả, được trình bày trong các bài báo đã được đăng[41, 43, 60] và các bài đã gửi đăng [42, 62], và đã được báo cáo toàn bộ haytừng phần tại các Hội nghị Khoa học và các Seminar sau:

- Seminar của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,

ĐHQG Hà Nội

- Seminar của Bộ môn Toán Sinh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,

ĐHQG Hà Nội

- Hội nghị Khoa học-50 năm thành lập khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường

Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, Hà Nội, 10-2006

- Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 7, Quy Nhơn, 8-2008

- Hội nghị Khoa học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HàNội, Hà Nội, 2010

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án bao gồm 4 chương:

cũng như một số kết quả về tính ổn định của phương trình động lựcthường trên thang thời gian

động lực ẩn tuyến tính và cho một số lớp các phương trình động lực

ẩn phi tuyến trên thang thời gian

Phần đầu của chương sẽ đi xét tính ổn định của các phương trình

động lực ẩn bằng phương pháp hàm Lyapunov Phần sau được dành

để nói về bán kính ổn định của các phương trình động lực ẩn tuyến

tính với hệ số là hằng số, ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một số điều kiện

để bán kính ổn định là dương, bên cạnh đó là một số điều kiện để bánkính ổn định thực và bán kính ổn định phức là bằng nhau

áp dụng cho các phương trình động lực ẩn tuyến tính thuần nhất.Vì thời gian và khả năng còn nhiều hạn chế nên luận án không tránh khỏinhững thiếu sót và tính chưa hoàn thiện của vấn đề đặt ra, mặc dù bảnthân tôi đã cố gắng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và hoàn thànhluận án Tôi xin tiếp thu mọi ý kiến nhận xét và trao đổi của các nhà toánhọc, độc giả và những người quan tâm đến vấn đề này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản nhất về thang thời gian;

được trình bày trong luận án, tuy nhiên ta có thể tham khảo trong nhiềutài liệu, chẳng hạn trong [21, 22]

Bên cạnh đó là các phép biến đổi trụ và các phép biến đổi trụ nghịch

đảo được giới thiệu Sử dụng phép biến đổi trụ để đưa ra khái niệm hàm

mũ suy rộng trên thang thời gian, nó được chứng minh là nghiệm của bàitoán giá trị ban đầu của phương trình động lực cấp một Các tính chấtcủa hàm mũ trên thang thời gian được liệt kê Nghiệm của phương trìnhtuyến tính không thuần nhất được thiết lập bằng cách sử dụng công thứcbiến thiên hằng số suy rộng

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cũng được trình bày và hàm mũ matrận trên thang thời gian cũng được giới thiệu Một số tính chất của hàm

mũ thông thường Tuy nhiên, chúng tôi đã chứng minh được (xem [60]):

Nếu thang thời gian có hàm hạt bị chặn thì hai định nghĩa này là tương

đương Trong cả luận án sẽ chỉ sử dụng định nghĩa ổn định mũ theo quan

điểm thứ nhất tức là dựa vào hàm mũ trên thang thời gian

Như ta biết, tính ổn định của một hệ vi phân hay sai phân tuyến tínhautonom được đặc trưng bởi miền giá trị riêng của ma trận của hệ Điềunày nói chung không còn đúng trên các thang thời gian tổng quát, vì ở đâymiền giá trị riêng của ma trận của hệ chỉ đặc trưng cho tính ổn định đều.Trong chương này một số kết quả về sự ổn định mũ của các phương trìnhtuyến tính với hệ số hằng được phát biểu lại, đó là một phần các kết quả

Những định nghĩa và định lý dưới đây xem như một giới thiệu tổngquan về thang thời gian, hầu hết trong số đó ta có thể tìm thấy trong [21],một trong những tác phẩm sâu sắc và đầy đủ nhất về phương trình độnglực trên thang thời gian Vì vậy ta sẽ không nêu lại nguồn trích dẫn, ngoạitrừ những kết quả ở trong tài liệu dẫn khác

1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian

Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian là một tập con đóng tùy ý khác rỗng

tôpô tiêu chuẩn.

nghĩa toán tử nhảy tiến (forward jump) và toán tử nhảy lùi (backward jump) như sau:

nếu σ(t) > t , trù mật phải (right-dense) nếu t < sup T và σ(t) = t ,

cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t , trù mật trái (left-dense) nếu

t > inf T và ρ(t) = t Điểm vừa là cô lập phải vừa là cô lập trái gọi là điểm cô lập (isolated), điểm vừa là trù mật phải vừa là trù mật trái gọi là điểm trù mật (dense).

thay cho (a, b)T; (a, b]T; [a, b)T; [a, b]T

đặt Tk = T \ {M }; và Tk = T trong các trường hợp còn lại Chẳng hạn,

[a, b] k = [a, b] nếub là điểm trù mật trái và [a, b] k = [a, b) = [a, ρ(b)] nếub làcô lập trái

công cụ cơ bản được áp dụng trong rất nhiều các chứng minh trên thangthời gian

t nÕu t ∈ ∪∞k=0 [k(a + b), k(a + b) + a),

t + b nÕu t ∈ ∪∞k=0 {k(a + b) + a},

0 nÕu t ∈ ∪∞k=0 [k(a + b), k(a + b) + a),

b nÕu t ∈ ∪∞k=0 {k(a + b) + a}.

Ví dụ 1.1.10 Cho n ∈ N0, các số điều hòa H n đ−ợc xác định nh− sau:

|[f (σ(t)) − f (s)] − f∆(t)[σ(t) − s]| 6 |σ(t) − s|,

4 Nếu f là khả vi tại t thì f (σ(t)) = f (t) + à(t)f∆(t)

t ∈ T k = T và f∆(t) = ∆f (t) = f (t + 1) ư f (t), ở đây ∆ là toán tử saiphân tiến thông thường

có thể tìm thấy trong [25] Tuy nhiên, sau đây ta chỉ đưa ra một số địnhnghĩa và tính chất cơ bản nhất về tích phân trên thang thời gian

§Þnh nghÜa 1.3.1.

nã liªn tôc t¹i c¸c ®iÓm trï mËt ph¶i vµ giíi h¹n bªn tr¸i lµ tån t¹i

f : T k × X −→ X

(t, x) 7−→ f (t, x)

gäi lµ rd-liªn tôc nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau:

(s,y)→(t,x),s<t f (s, y) vµ lim

y→x f (t, y) tån t¹i t¹i

Sau ®©y ta ký hiÖu:

C rd (T, R) = {f : T −→ R : f lµ rd-liªn tôc}.

C rd1 (T, R) = {f : T −→ R : f lµ kh¶ vi vµ f∆ lµ rd-liªn tôc}.

(rd-liªn tôc).

5 Cho f lµ liªn tôc NÕu g : T −→ R lµ chÝnh quy (rd-liªn tôc) th× f g

còng lµ chÝnh quy (rd-liªn tôc).

nÕu

|f∆(t)| 6 g∆(t), víi mäi t ∈ D

th×

|f (s) − f (r)| 6 g(s) − g(r), víi mäi r, s ∈ T, r 6 s.

§Þnh nghÜa 1.3.6.

4 Mét hµm F : T −→ R gäi lµ mét nguyªn hµm (antiderivative) cña

f : T −→ R nÕu F∆(t) = f (t), víi mäi t ∈ T k

0 nÕua = b,

−Pa−1 t=b f (t) nÕua > b,

ở đây V x0 là đạo hàm (theo biến thứ hai của hàm V = V (t, x) ) và hã , ãi là tích vô hướng theo nghĩa thông thường.

1.4 Tính hồi quy

1 + à(t)p(t) 6= 0 với mọi t ∈ T k

mọi t ∈ T k

I + à(t)A(t) là khả nghịch với mọi t ∈ T k

với I = I m là ma trận đơn vị của Kmìm Lớp tất cả các ma trận như thế

định các toán tử sau đây:

(A ⊕ B)(t) = A(t) + B(t) + à(t)A(t)B(t), A(t) = ư[I + à(t)A(t)]ư1A(t) = ưA(t)[I + à(t)A(t)]ư1,

1.5 Hàm mũ trên thang thời gian

Ta sẽ áp dụng phép biến đổi trụ, được định nghĩa ở phía dưới để địnhnghĩa hàm mũ suy rộng trên thang thời gian

Định nghĩa 1.5.2 Với mỗi h > 0 , ta định nghĩa phép biến đổi trụ

nhóm

e p (t, r)e p (r, s) = e p (t, s), với mọi r, s, t ∈ T.

x∆ = p(t)x, x(t0) = 1 (1.3)

1 e p (t, t) = 1, e0(t, s) = 1.

2 e p (σ(t), s) = (1 + à(t)p(t))e p (t, s)

Ví dụ 1.5.8 Ta xét hai trường hợp đặc biệt của hàm mũ:

1.6 Phương trình động lực tuyến tính

x∆ = A(t)x, x(t0) = x0 (1.4)

của phương trình (1.4) và được ký hiệuΦA (t, t0).Chú ý rằng,ΦA (t, t0)luôn

t, t0 ∈ Tk (xem [50, 74])

Nếu A(t) giao hoán với tích phân của nó Rt

t0A(s)∆s (đặc biệt, khi A là

ma trận hằng thì điều này đương nhiên được thỏa mãn), thì ta sẽ ký hiệu

e A (t, t0) thay vì ΦA (t, t0).

qua toán tử Cauchy là x(ã) = Φ A (ã, t0)x0

và f : T kìRm →Rm là rd-liên tục Nếu x(t), t > t0 là nghiệm của phương trình động lực

thường trên thang thời gian

x∆ = f (t, x), (1.7)

ở đây f : T ì R m → Rm là rd-liên tục và f (t, 0) = 0.

Về sự tồn tại, duy nhất và thác triển nghiệm của phương trình (1.7) ta

có thể tham khảo trong [21, 50]

t0 ∈ Tτ , x0 ∈ Rm , phương trình (1.7) có nghiệm duy nhất x(t) = x(t; t0, x0)

xác định trên t > t0 và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0

1.7.1 Khái niệm về ổn định mũ

Sau đây ta phát biểu hai định nghĩa về ổn định mũ mà các tác giả thường

sử dụng Định nghĩa thứ nhất dựa vào hàm mũ trên thang thời gian, địnhnghĩa kia dựa trên hàm mũ thông thường Trong [60], chúng tôi đã đưa

ra một cách chứng minh hai định nghĩa ổn định mũ này là tương đương

t > t0, t ∈ T τ

t > t0, t ∈ T τ

x ≡ 0 của (1.7) gọi là ổn định mũ đều

thời gian có hàm hạt bị chặn

Định lý 1.7.3 Trên các thang thời gian có hàm hạt bị chặn, Định nghĩa

1.7.1 và Định nghĩa 1.7.2 là tương đương.

Cho nên, e −α (t, t0) 6 e −α(t−t0 ) với mọi α > 0, −α ∈ R+ vàt > t0.

Do đó, tính ổn định theo Định nghĩa 1.7.1 kéo theo tính ổn định theo

và β ∈ R+) Do đó Định nghĩa 1.7.2 kéo theo Định nghĩa 1.7.1 Ta có điềuphải chứng minh

Bên cạnh hai định nghĩa đã đ−ợc trình bày ở trên, ta còn có thể tìm thấycác định nghĩa khác về ổn định mũ, chẳng hạn trong [48] và [71] Trongcả luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng Định nghĩa 1.7.1 để xét tính ổn địnhmũ

Sau đây ta có điều kiện cần và đủ để các phương trình tuyến tính thuầnnhất là ổn định mũ.

tuyến tính

x∆ = A(t)x (1.8)

với ưα ∈ R+ sao cho với mỗi t0 ∈ Tτ , tồn tại N = N (t0) > 1, bất đẳng thức kΦA (t, t0)k 6 N e ưα (t, t0) đúng với mọi t > t0, t ∈ T τ

2 Phương trình (1.8) là ổn định mũ đều khi và chỉ khi tồn tại các hằng

số α > 0, N > 1 với ưα ∈ R+ sao cho bất đẳng thức kΦA (t, t0)k 6

N e ưα (t, t0) đúng với mọi t > t0, t, t0 ∈ Tτ

xét chuẩn Euclid; và chuẩn của ma trận là chuẩn cảm sinh từ chuẩn củavector

1.7.2 Tính ổn định mũ của phương trình động lực tuyến tính

hệ số hằng

Bây giờ ta xét điều kiện ổn định mũ của phương trình autonom tuyến tính

Với mỗit0 ∈ T cố định, ta định nghĩa các tập

1 Ta có thể đưa ra ví dụ về phương trình (1.9) là ổn định mũ trong khi

lý 1.7.7 và Định lý 1.7.8 ta thấy rằng: Trên các thang thời gian tổngquát, tập các giá trị riêng không đặc trưng cho tính ổn định mũ củaphương trình, ngoại trừ tính ổn định mũ đều

nó là ổn định mũ, điều ngược lại nói chung là không đúng trên cácthang thời gian tùy ý Tuy nhiên, nếu xét trên các thang thời giantuần hoàn, khái niệm về thang thời gian tuần hoàn ta có thể thamkhảo trong [31] hay trong Chương 4 của luận án, thì phương trình

này đã được chứng minh trong [36]

Sau đây ta đưa ra một số tính chất về miền ổn định mũ của một thangthời gian

Bổ đề 1.7.10 ([73]).

biệt

Ví dụ 1.7.12.

Chú ý rằng, miền ổn định mũ tìm được trong phần 1., 2 và 3 của ví

dụ trên cũng chính là miền ổn định mũ đều của các thang thời gian tươngứng

mũ

T = 12Z.

Chương 2

Bài toán Cauchy cho phương trình động lực ẩn

trên thang thời gian

(tất cả các điểm đều là cô lập) là các thang thời gian thuần nhất (có bướcnhảy là hằng) nên rất nhiều phép biến đổi sẽ được thực hiện như nhautại tất cả các điểm của thang Đối với các thang thời gian tổng quát, nóichung các bước nhảy là không đều Ta có thể chia ra 4 loại điểm: "Cô lậpphải và cô lập trái" (như trên Z ); "Trù mật phải và trù mật trái" (nhưtrên R); "Trù mật phải và cô lập trái" (điểm nối giữa rời rạc và liên tục)

và "Cô lập phải và trù mật trái" (điểm nối giữa liên tục và rời rạc) Trongnhiều trường hợp, việc áp dụng cho từng loại điểm đòi hỏi phải có các kỹthuật đặc thù Vì vậy, có những kết quả đúng cho cả sai phân và vi phânnhưng không còn đúng cho thang thời gian tổng quát Đặc biệt là đối vớicác phương trình động lực ẩn, việc phải kết nối được các loại điểm nói trên

Sự xuất hiện của 2 toán tử này khiến cho các biến đổi trở nên phức tạp và

là không khả vi Cũng vì lí do đó, khi làm việc với các phương trình động

lực thường trên thang thời gian, một số nhóm tác giả chỉ thu hẹp việcnghiên cứu trên một số lớp các thang thời gian đặc biệt, chẳng hạn trên

Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm chỉ số 1; cách giải củabài toán Cauchy cho các phương trình động lực ẩn tuyến tính và hai trườnghợp phi tuyến đặc biệt, đó là lớp các phương trình động lực ẩn nửa tuyếntính có dạng: A t x∆(t) = B t x(t) + f (t, x(t)), với nhiễu f (t, x) là Lipchitz đủ

chuẩn tắc Kronecker Kết quả của chương này là một phần nội dung củacác công trình [41, 62]

2.1 Phương trình động lực ẩn tuyến tính

tính có dạng

A t x∆ = B t x + q t (2.1)Phương trình thuần nhất ứng với (2.1) là

phương trình dạng này đã được nghiên cứu rất kỹ trên thang thời gian

đổi phương trình ban đầu về một phương trình động lực thường dạng

x∆ = f (t, x) Thực ra, ta đang phải làm việc với một bài toán không đặtchỉnh mà ở đó nghiệm của bài toán Cauchy có thể chỉ tồn tại trên một đa

tạp con hoặc thậm chí là không tồn tại Một cách để giải phương trình này

đó là phải đưa ra một vài giả thiết được phát biểu dưới dạng chỉ số củaphương trình

Bây giờ ta giới thiệu khái niệm chỉ số 1 của phương trình (2.1)

2.1.1 Chỉ số của phương trình động lực ẩn tuyến tính

Giả sửrank A t = rvới mọi t ∈ Tvà gọiT t ∈ GL(R m)sao choT t|ker At là một

đẳng cấu giữa ker A t và ker A ρ(t); T . ∈ C rd(Tk , R mìm) Gọi Q t là một phépchiếu lên ker A t thỏa mãnQ . ∈ C rd(Tk , R mìm) Ta có thể tìm các toán tửT t

A t = U tΣt V t>,

ở đâyU t,V tlà các ma trận trực giao vàΣt là một ma trận chéo với các giá trị

kỳ dịσ1t > σ t2 > ã ã ã > σ t r > 0trên đường chéo chính DoA . ∈ C rd(Tk , R mìm),nên bằng cách đặt Q t = V tdiag(0, I mưr )V t>vàT t = V ρ(t) V t>, ta được các toán

Lấy t ∈ T k và x ∈ R m sao cho (A t ư B t T t Q t )x = 0 ⇐⇒ B t (T t Q t x) = A t x

ker A ρ(t), nênT t Q t x = 0 Vì thếQ t x = 0, suy ra A t x = 0 Điều này chứng tỏ

x ∈ ker A t Do đó,x = Q t x = 0, tức là ma trận G t = A t − B t T t Q t không suybiến.

2 ⇒ 3 :

Ta có x = (I + T t Q t G−1t B t )x − T t Q t G−1t B t x Do T t Q t G−1t B t x ∈ ker A ρ(t) và

B t (I +T t Q t G−1t B t )x = B t x−(A t −B t T t Q t )G−1t B t x+A t G−1t B t x = A t G−1t B t x ∈

im A t nên (I + T t Q t G−1t B t )x ∈ S t Vì thế ta cóRm = S t + ker A ρ(t)

Lấy x ∈ ker A ρ(t) ∩ S t, tức là x ∈ S t và x ∈ ker A ρ(t) Do x ∈ S t, tồn tại

z ∈ R m sao choB t x = A t z = A t P t z và do x ∈ ker A ρ(t) nênT t−1x ∈ ker A t Vìthế T t−1x = Q t T t−1x Do đó (A t − B t T t Q t )T t−1x = −(A t − B t T t Q t )P t z, từ đâysuy ra T t−1x = −P t z Do vậy T t−1x = 0,suy ra x = 0 Ta nhận đ−ợc 3

3 Ta có

−T t Q t G−1t B t (−T t Q t G−1t B t) (2.4)= −T t Q t Q t G−1t B t = −T t Q t G−1t B t

và A ρ(t) (−T t Q t G−1t B t) = 0 Điều này có nghĩa rằng −T t Q t G−1t B t là mộtphép chiếu lên ker A ρ(t) Từ Bổ đề 2.1.1, ta thấy rằng −T t Q t G−1t B t là một

phép chiếu lên ker A ρ(t) dọc theoS t.

4 Từ T tư1Q ρ(t) x ∈ ker A t với mọi x, ta có

T t0|ker At là một đẳng cấu từker A t vào ker A ρ(t) và Q0t là một phép chiếu lên

Định nghĩa 2.1.3 Phương trình động lực ẩn tuyến tính (2.1) được gọi là

a) rank A t = r = constant ( 1 6 r 6 m ư 1 ),

b) ker A ρ(t) ∩ S t = {0}.

ρ(t) = t ư à(t) Và nếu t = min T là điểm cô lập thì ta sẽ khởi tạo A ρ(t)

khái niệm đã biết cho phương trình vi phân đại số và cho phương trìnhsai phân đại số được phát biểu lần lượt trong [46], [10]

2.1.2 Cách giải bài toán Cauchy

Giả sử phương trình (2.1) có chỉ số 1 Ta mô tả một cách ngắn gọn

kỹ thuật phân tích phương trình (2.1) thành một phương trình động lựcthường trên thang thời gian và một quan hệ đại số

đồng thời là trù mật phải và cô lập trái

Với giả thiết này, ta có(P ρ(t) x(t))∆ = P t x∆(t) + (P ρ(t))∆x(t)với mọit ∈ T k.Vì thế,

P t P t = eP t, nên C N1 không phụ thuộc vào việc chọn toán tử chiếu

t ∈ J k

A t (P ρ(t) x(t))∆ư (P ρ(t))∆x(t)

.

Lần lượt nhân cả hai vế của phương trình (2.1) với P t Gư1t và Q t Gư1t , ta

u(t0) = P ρ(t0)x0 vµ sö dông quan hÖ (2.12), ta nhËn ®−îc biÓu diÔn nghiÖmcña ph−¬ng tr×nh (2.1) cã chØ sè 1 lµ x(t) = u(t) + v(t) víi t > t0.

Ta ph¸t biÓu ®iÒu kiÖn ban ®Çu cho ph−¬ng tr×nh (2.1) nh− sau:

P ρ(t0)(x(t0) − x0) = 0, x0 ∈ Rm cho tr−íc (2.13)V× thÕ,

Ký hiệuQ tcan := ưT t Q t Gư1t B t , P tcan := I ư Q tcan Từ (2.5) của Bổ đề 2.1.2,

việc chọn các toán tử T t và Q t

Nghiệm của (2.1) với điều kiện ban đầu (2.13) được biểu diễn bởi

x(t) = P ρ(t) x(t) + Q ρ(t) x(t) = (I + T t Q t Gư1t B t )u(t) + T t Q t Gư1t q t

= P tcan u(t) + T t Q t Gư1t q t , t > t0, (2.14)

(2.11) với điều kiện ban đầu u(t0) = P ρ(t0)x0

Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình thuần nhất ứng với (2.11)

Nếu x(t0) ∈ im P ρ(t0) thì x(t) ∈ im P ρ(t) , với mọi t ∈ T k (2.15)