Phép tính vi phân và tích phân trên thang thời gian

Lý do chọn đề tàiMỞ ĐẦU Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình dưới sự hướng dẫn củaGiáo sư Bernd Aulbach, nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ độnglực liên tục hệ phương trình v

Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến

PGS TS Tạ Duy Phượng người thầy đã tận tình hướng dẫn

tôi về tri thức, phương pháp và kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình thực hiện đề tài.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm, quý Thầy, Cô giáo khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 và quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập, Trường Cao đẳng nghề Việt-Đức Vĩnh Phúc, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Học viên

Nguyễn Thị Bình

1

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản

thân cùng sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Duy Phượng, các thầy, cô

giáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng và trình bày các kết quả củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng nộidung trình bày trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiệnluận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đãđược chỉ rõ nguồn gốc

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu ……….

1 Chương 1 Khái niệm thang thời gian ……… 4

1.1 Khái niệm thang thời gian 4

1.1.1 Thang thời gian 4

1.1.2 Các khái niệm cơ bản

1.2 Tôpô đại cương

1.2.1 Không gian tôpô

1.2.2 Hàm số liên tục

1.2.3 Hàm số khả vi

1.3 Nguyên lí quy nạp trên thang thời gian

Chương 2 Phép tinh vi phân trên thang thời gian ………….

2.1 Phép tính vi phân cấp 1

2.1.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger

2.1.2 Đạo hàm Hilger trên một số thang thời gian

2.2 Các tính chất của đạo hàm Hilger

2.3 Phép tính vi phân cấp cao

Chương 3 Phép tính tích phân trên thang thời gian ……….

3.1 Hàm chính quy và hàm rd-liên tục, hàm tiền khả vi 3.1.1 Các định nghĩa 3.1.2 Các tính chất 3.2 Phép tính tích phân 3.2.1 Tích phân 3.2.2 Các tính chất của tích phân 3.3 Quy tắc xích

3

3.4 Một số ứng dụng của tích phân

Kết luận Tài liệu tham khảo

4

1 Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn củaGiáo sư Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ độnglực liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình

sai phân), Stefan Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian và phát triển lý thuyết Giải tích và Hệ động lực trên thang thời gian Từ đó tới nay, đã có một

số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng ngàn bài báo nghiên cứu vềgiải tích (Phép toán vi phân và tích phân) và hệ động lực trên thang thời gian.Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian chophép nghiên cứu hai mặt bản chất của thế giới thực, đó là tính liên tục vàtính rời rạc Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thốngnhất mô hình rời rạc và liên tục dưới cùng một khái niệm và công cụ

Giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian hiệnđang được nhiều nhóm các nhà toán học ngoài nước (Đức, Mỹ, Nga, TrungQuốc, ) và trong nước (GS Nguyễn Hữu Dư và các học trò, PGS ĐặngĐình Châu, ) quan tâm Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời giannghiên cứu bài toán tối ưu và phép tính biến phân, các mô hình kinh tế vĩ

mô, áp dụng vào bài toán trò chơi, hệ sinh thái,

Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và cơ bản của giải tích,

từ đó hiểu hơn về giải tích cổ điển, để có hiểu biết rộng rãi và bản chất vềnhững kiến thức của giải tích đã được học trong chương trình đại học vàcao học, đồng thời hy vọng với những kiến thức này, tôi có thể giảng dạytốt môn toán, đặc biệt là môn Giải tích, trong chương trình phổ thông, tôi

chọn đề tài Phép tính vi phân và tích phân trên thang thời gian làm đề

tài luận văn cao học

5

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và trình bày các khái niệm cơ bản nhất của giải tích trên thangthời gian trong khuôn khổ một luận văn cao học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu các tài liệu (chủ yếu tiếng Anh) và trình bày trong mộtluận văn cao học các kiến thức cơ bản nhất của giải tích trên thang thờigian

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Thang thời gian

Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu chủ yếu tiếngAnh viết về Giải tích trên thang thời gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích và giải tích hàm để tiếpcận và giải quyết vấn đề

Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày các tài liệu có liênquan, đặc biệt là các bài báo mới tiếng Anh về vấn đề mà luận văn đềcập tới

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Chủ yếu dựa trên cuốn sách [6], có tham khảo thêm các tài liệu [3],[4], [5], [7], luận văn trình bày có hệ thống về lý thuyết Giải tích trên thangthời gian

Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và thamkhảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về giải tích trên thang thờigian

Chương 1 KHÁI NIỆM THANG THỜI GIAN

1.1 Khái niệm thang thời gian

1.1.1 Thang thời gian

Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) là tập con đóng tùy ý khác rỗng

không phải là thang thời gian vì chúng tuy

nằm trong ℝ nhưng không phải là tập đóng trong ℝ

1.1.3) Mặt phẳng phức ℂ cũng không phải là thang thời gian vì nó là tậpđóng nhưng không nằm trong ℝ

1.1.2 Các định nghĩa cơ bản

Định nghĩa 1.2 Cho T là thang thời gian

Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử σ : T→T được xác định bởi công thức

Điểm t ∈T được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu σ (t) > t

Điểm t ∈T được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered)

t1 : Điểm trù mật (trù mật trái và trù mật

phải)

t2 : Điểm trù mật trái và cô lập phải

t3 : Điểm trù mật phải và cô lập trái

t4 : Điểm cô lập (cô lập trái và cô lập phải)

Điểm t ∈T được gọi là điểm cô lập (isolated) nếu

Định nghĩa 1.4 Cho T là thang thời gian

ρ(t) < t < σ (t)

Điểm t ∈T được gọi là trù mật phải (right-dence) nếu σ (t)

= t Điểm t ∈T được gọi là trù mật trái (left-dence) nếu ρ(t)

t là điểm trù mật phải t = σ (t) t right-dense

t là điểm cô lập trái ρ(t) < t t left-scattered

t là điểm trù mật trái ρ(t) = t t left-dense

t là điểm cô lập ρ(t) < t < σ (t) t isolated

µ :

T→ [0;∞) được xác định bởi công thức µ(t) := σ (t) − t.

Định nghĩa 1.6 Cho T là thang thời gian và hàm f :T→ ℝ

Ta kí hiệu hàm hợp của f và σ là

f σ : T→ ℝ được xác định theo côngthức

Ví dụ 1.2

f σ (t)

=

f (σ (t)).

1.2.1) Cho thang thời gian T= ℝ thì σ (t) = ρ(t) = t, µ(t) = 0 Mọi

điểm t ∈T đều là điểm trù mật

với mọi t ∈T

1.2.2) Cho thang thời gian T = ℤ thì σ (t) = t + 1, µ(t) = 1 và mọi

t ∈T Mọi điểm t ∈T đều là điểm cô lập

Điểm t = 0 là điểm cô lập phải và mọi t ∈T, t

1.2.4) Cho h > 0 là một số cố định Xác định thang thời gian hZ như sau

đều là điểm cô lập.

1.2.7) Cho thang thời gian T= { n : n ∈ℕ 0} Nếu t ∈T thì tồn tại

ρ(t)

=

t 2 − 1 , và

µ(t)

=

t2 + 1 − t

Điểm t = 0 là điểm cô lập phải Mọi điểm t ∈T, t

1.2.8) Cho thang thời gian T= {2z : z ∈ℤ}={ , 2−3 , 2−2 , 2−1,1, 2, 22 , 23 , }

Nếu t ∈T thì tồn tại số nguyên z ∈ℤ sao

1.2.9) Cho q > 0, q ≠ 1 là một số cố định, có thể là số vô tỉ Ta xác định thang

thời gian qZ như sau

qZ = {q z : z ∈ Z} = { , q−3 , q−2 , q−1,1, q, q2 , q3 , }

Tương tự như trên ta có σ (t)

là điểm cô lập trái và trù mật phải Mỗi

điểm khác 0 của qZ đều là điểm cô lập

1.2.1 Không gian tôpô

n

Định nghĩa 1.7 Cho tập hợp X bất kỳ Ta nói một họ τ những tập hợp

con của X là một tôpô trên X (hay trên X xác định một cấu trúc tôpô),

nếu

i) Hai tập ∅ (tập rỗng) và X đều thuộc họ τ

ii) τ đóng kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập

họ thuộc τ thì cũng thuộc họ đó

iii) τ đóng kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là hợp của một số bất kỳ (hữu hạnhoặc vô hạn ) tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ

Một tập X được trang bị một tôpô τ được gọi là không gian tôpô ( X

,τ ) đơn giản là không gian tôpô X ) Các tập thuộc họ τ được gọi là tập

mở.

(hay

Định nghĩa 1.8 Tập U được gọi là lân cận của điểm x trong một không gian

tôpô X nếu có một tập mở G sao cho x ∈G ⊂ U.

Định nghĩa 1.9 Cho không gian tôpô X Ta nói dãy điểm (x n )

⊂ X

hội tụ

tới điểm x

∈ X và viết x→ n x

nếu với mọi lân cận U cho trước của x tồn tại

n0 sao cho với

nếu mỗi lân cận bất kỳ của x chứa ít nhất một phần tử

của tập M khác x Tập tất cả các điểm giới hạn của M được kí hiệu là M ′.Tập [M ] = M ∪ M ′được gọi là bao đóng của M

Định nghĩa 1.11 Cho tập M bất kì nằm trong không gian tôpô X Đặt

τ M

= {Mτ = M

∩ A,

∀A∈τ } thì dễ dàng chứng minh theo định nghĩa rằng

τ M cũng là một không gian tôpô và được gọi là tôpô cảm sinh của X trên M

Trong suốt luận văn này, ta qui ước xét tôpô trên T là tôpô cảm sinh từ tôpô

thông thường trên tập số thực (tôpô thông thường trên ℝ là tôpô tạo bởi các khoảng mở cùng với hợp bất kì và giao hữu hạn của chúng)

Để cho gọn, ta vẫn kí hiệu khoảng mở, lân cận trong tôpô cảm sinh trên T là

U ,V

, , mà không viết UT ( U T =U ∩T, trong đó U là tập mở trong ℝ ).

Ta chỉ khoảng mở, lân cận mà không nói khoảng mở, lân cận trong tôpô cảm

sinh trên T

1.2.2 Hàm liên tục

Định nghĩa 1.12 Cho hàm f ( x) xác định trên đoạn [a,b] Hàm số f ( x)

được gọi là có giới hạn L tại điểm

x0 ∈(a,b) nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0chỉ phụ thuộc vào ε sao cho với mọi x ∈[a,b] thỏa mãn x − x0

Nếu với mọi ε >

( x) xác định trên đoạn [a,b] Hàm số f ( x)

được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈(a,b) nếu nó có giới hạn L = f (x0

Ta gọi

[a,b]

C

[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực và liên tục trên đoạn

Định nghĩa 1.14 Hàm f được gọi là liên tục đều trên đoạn [a,b] nếu với

của nó là khả vi tại mọi điểm trên (a,b)

1.3 Nguyên lí qui nạp trên thang thời gian

Nguyên lí qui nạp trên thang thời gian dưới đây là mở rộng nguyên lí qui nạp trên tập số tự nhiên Nguyên lí này là cần thiết và quan trọng trong các chứng minh toán học trên thang thời gian

Cho thang thời gian T

19

iii) Nế

u t ∈[t0

,∞)

là điểm trù mật phải và

S (t) đúng thì tồn tại một lân cận U

của điểm t trong tôpô cảm sinh trên T sao cho S

(s) đúng ∀s ∈U ∩ (t,∞)

iv) Nếu t ∈[t0 ,∞) là điểm trù mật trái

và

S (s) đúng ∀s ∈[t0 ,t

)

th ì

S (t) đúng.

iv) Nếu t ∈(−∞,t0 ] là điểm trù mật phải

và

đúng.

S (s) đúng ∀s ∈(t,t0

]

th ì

S (t)

Khi đó phát

(t) là đúng với mọi t ∈(−∞,t0 ]

f ((t)) f (s)f (t)(t) s

(t) s

Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

2.1 Phép tính vi phân cấp 1

2.1.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger

Định nghĩa 2.1 Cho thang thời gian T Ta kí hiệu tập T k như sau

Nếu T có phần tử lớn nhất m là điểm cô lập trái thì đặt T k := T \{m} và

T k := T trong trường hợp còn lại

Định nghĩa 2.2 Giả sử f :T→ ℝ và t ∈T k Delta đạo hàm ( ∆ đạo hàm, đạo hàm Hilger) của f tại t ∈T k là một số (nếu tồn tại) được kí hiệu là

f

∆ (t) nếu với mỗi ε >

0

cho trước tồn tại một lân cận U của t trong tôpô

cảm sinh trên T (nghĩa là U = (t − δ ,t + δ ) ∩ T với

[ f (σ (t))

−

f (s)] − f

Định nghĩa 2.3 Hàm f :T→ ℝ được gọi là ∆ khả vi (ngắn ngọn khả vi) trên T k nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm t ∈T k

2.1.2 Đạo hàm Hilger trên một số thang thời gian

Ví dụ 2.1 Cho thang thời gian T bất kì.

Khi ấy f ∆ (t) = t + σ (t) với mọi t ∈T k

Thật vậy, với mọi ε > 0 , s

∈U thì s − t < ε Do đó ta có

[ f (σ (t))

−

f (s)] − f

∆ (t)[σ (t) − s] = σ 2 (t) − s2 − (t + σ (t))(σ (t) − s)

= s2 − t(σ (t) − s) + σ (t)s

= (σ (t) − s)(s − t) ≤ ε σ (t) − s Vậy với mọi t ∈T k

dụ sau đây chỉ rõ hơn điều đó

Ta có f ( σ (t)) =  t + 1 Hơn nữa, với mỗi 0 < ε < 1

, mọi lân cận U (t) của

2.1.5) Cho thang thời gian T: = ℕ 2

2

 2



2.2.1) Nếu T= ℝ thì tôpô trên T là tôpô trên ℝ, σ (t)

tất cả các điểm s ∈T sao cho s − t

Với mỗi t ∈T, tồn tại số n

∈ℕ0 sao cho t = hay n = t3

Ta có σ (t) = σ ( 3 n ) = 3 n + 1 = 3 t3

+ 1

1

Suy ra

ii)Nếu f liên tục tại t ∈T k

và t là điểm cô lập phải thì f delta khả vi tại t và

f ∆ (t) = f ( σ ( t )) − f ( t )

.

µ(t) iii) Nếu t là điểm trù mật phải thì f delta khả vi tại t khi và chỉ khi giới hạn lim f (t)

− f (s) tồn tại và hữu hạn khi đó ta có

Chứng minh

f (σ (t))

= f (t) + µ(t) f ∆ (t) i) Giả sử f delta khả vi tại t ∈T k Với ε ∈(0;1) ta đặt

f delta khả vi tại t ∈T k nên trong lân cận của t ta có:

ε > 0 Vì

σ liên tục tại 0 Do t = 0 là điểm trù mật phải và

Vì vậy σ không khả vi tại 0.

n ∈ℕ 0 .1

Vì µ(H n ) = σ (H n ) − H n = H n+1 − H n = > 0

n + 1Nên mọi điểm thuộc T đều là điểm cô lập

g

+  g(σ (t)) − g(s) − g ∆ (t)(σ (t) − s)[ f (s) −

( fg)

= − f (t) g

∆

(t) + f ∆ (t) 1g(t)g(σ (t)) g(σ (t))

Vậy theo qui nạp ta chứng minh được phần i).

2

2.8.1) Cho thang thời gian T bất kì Tính f ∆∆ biết f (t) = t.

Theo Ví dụ 2.1.2 ta có f ∆ (t) = 1 với mọi t ∈T

với mọi t ∈ qℤ.(theo Định nghĩa 2.4 và Định lí 2.1):

=

n

này cho các “lũy thừa mũ” cấp cao của ∆ và σ

Công thức tính đạo hàm cấp n được cho trong Định lí sau.

Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

3.1 Hàm chính quy và rd-liên tục, hàm tiền khả vi

3.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 3.1 ( hàm chính quy) Hàm f :T→ ℝ được gọi là hàm chính qui

(regulated) nếu giới hạn phải của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải trong T, giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật tráitrong T

Định nghĩa 3.2 (hàm rd − liên tục) Hàm f :T→ ℝ được gọi là rd − liên tục ( rd − continuos) nếu nó liên tục tại mọi điểm trù mật phải trong T và tồn tạigiới hạn (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật trái trong T

Không gian các hàm rd − liên tục được kí hiệu là

C rd = C rd (T) = C rd (T, ℝ )

Định nghĩa 3.3 Hàm liên tục f :T→ ℝ gọi là tiền khả vi trên miền D nếu

các điều kiện sau đồng thời thỏa mãn:

i) D ⊂ T k

ii)T k \D không chứa điểm cô lập phải của D.

iii) f khả vi với mọi t ∈ D.

3.1.2 Các tính chất

Định lí 3.1 Giả sử f :T→ ℝ

i) Nếu f là hàm liên tục thì f là rd − liên tục.

ii)Nếu f là rd − liên tục thì f là hàm chính qui.

iii) Toán tử nhảy tiến σ (t) là rd − liên tục.

iv) Nếu f là hàm chính qui hoặc rd − liên tục thì f σ cũng có tính chất đó.

v)Nếu f liên tục và g :T→ ℝ là chính qui hoặc rd − liên tục thì f ○

do đó tồn tại lân cận U của t

với m ∈ℕ nào đó.Vì f , g là hàm tiền

khả vi, nên cả hai chúng là liên tục Vì vậy tồn tại lân cận U của t với

iv) Cho t là điểm trù mật trái và

Áp dụng nguyên lí quy nạp theo thời gian ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 3.1 Giả sử f và g là hàm tiền khả vi trên miền D

i) Nếu U là đoạn compact và những điểm cuối r , s ∈T thì

f (s) − f (r) ≤ t∈supU k

∩D f ∆ (t) } s − r ii) Nếu f ∆ (t)

Vậy i) chứng minh xong.

ii) suy ra trực tiếp từ i): Do f

Định lí 3.3 (tồn tại tiền nguyên hàm) Nếu f là hàm chính qui thì tồn

tại hàm F là tiền khả vi trên miền khả vi D ⊆T k sao cho

F ∆ (t) = f

(t) với mọi t ∈ D.

Định nghĩa 3.4 Hàm F như trong Định lí 3.3 được gọi là tiền nguyên hàm