Tính chiều cao của hình thang.. II.[r]
Trang 1UBND THỊ XÃ HỒNG LĨNH
TRƯỜNG THCS NAM HỒNG
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn Toán (Thời gian làm bài 120 phút)
ĐỀ RA
I PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Tìm số dư của phép chia cho 7.
Câu 2: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho x x có y chữ số, còn y y có x chữ số
Câu 3: Cho các số thực x, y thỏa mãn: x x2 2018 y y2 2018 2018
Hãy tính giá trị của x y
Câu 4: Cho ABC cân (AB=AC), trung tuyến AD và phân giác BE thỏa mãn BE=2AD Tính các góc của ABC
Câu 5: Cho a 338 17 5 338 17 5
Giả sử ta có đa thức f x x3 3x 19422019
Hãy tính f(a)
Câu 6: Tìm số tự nhiên n để 2 4 2 7 2n
là số chính phương
Câu 7: Cho 4a2b2 5ab và 2a b 0 Tính giá trị của biểu thức 4 2 2
ab M
a b
Câu 8: Tính tổng:
Câu 9: Cho a b c 6 và a2 b2c2 12
Tính giá trị P(a 3)2018(b 3) 2019 (c 3)2020
Câu 10: Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo vuông góc với nhau.
Biết AC = 16cm; BD = 12cm Tính chiều cao của hình thang
II PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tìm x y z N, , thỏa mãn x2 3 y z
Câu 2: Cho biểu thức
a, Rút gọn biểu thức F
b, Tìm giá trị x biết F x 6 x 3 x 4
Câu 3: a, Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD Tia phân giác của
góc A cắt BD ở I Biết IB = 10 5, ID = 5 5 Tính diện tích tam giác ABC
b, Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Góc xAy 450 quay quanh đỉnh A cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N, gọi P trên AM và Q trên AN sao cho PCQ 450 Chứng minh rằng PQ2 BP2DQ2
Trang 2……….Hết………
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
PHẦN GHI KẾT QUẢ
ĐIỂM
Câu 1:
13 13
48 49 1 = bs 7-1
Câu 2:
x y 1
x y 8
x y 9
Ta có: x x có y chữ số 10y1 x x 10y
y
y có y chữ số 10x1 y y 10x
Giả sử x y Ta có x x 10y 10x x 10
Ta chọn các số x x sao cho x 10 và x 10y 1
với mọi y 1 x Các số 2 ,3 , ,72 3 7 không thỏa mãn (chẳng hạn 22 10,33 10 , 2 ),
ta thấy :100 1110 ,101 7 88 10 ,108 899109
Đáp số x y 1; x y 8; x y 9.
1 điểm
Câu 3:
Câu 4:
0 0
A 108 ,
B C 36
Tam giác cân ABC , AB = AC ADBC Kẻ DI//BE suy ra DI là đường trung bình của BCE
1
2
là cân
DAC DIA BEA BEA EBC BCE 1
(90 BEA) (90 BEA) 2
0 0
2BEA 270 3BEA BEA 54
A 108 ,B C 36
1 điểm
Câu 5:
2019 (a )
f 2018
Ta có
a 38 17 5 38 17 5 3a 38 17 5 38 17 5
a 76 3a a 3a 76
2019 2019 (a )
f (76 1942) 2018
1 điểm
A
I E B
Trang 3Câu 6:
2 2 2n k với k N * Ta có
2
16 128 2 n k 2n (k 12)(k 12)
Khi đó
12 2
12 2
x y
k
x y N x y n k
Suy ra 2x 2y 24 2 (2y x y 1) 24
Vì x y nên 2x y 1
là số lẻ Suy ra
8
x y y
n
Khi đó 24 27 28 202thỏa mãn
1 điểm
Câu 7:
1
3
M
Từ 4a2b2 5ab (2a b )2 9ab và (2a b )2 ab
2
nên
1
3
M doM
1 điểm
Câu 8:
15
T
46
Ta có :
3
;
1
2113 2116 2116 2113
1 điểm
Câu 9:
P = 1
Trang 42 2 2 2 2 2
2018 2019 2020
24 12 0 4.6 12 0
( 2) ( 2) ( 2) 0
2 ( 1) ( 1) ( 1) 1
a b c P
Câu 10:
BH = 9,6(cm) Vẽ BE//AC
(E CD ) BDE vuông tại B; BE = 16,
BD = 12, từ đó tính được DE = 20
Áp dụng hệ thức BH.DE = BD.DE vào tam giác vuông BDE ta tính được BH = 9,6(cm)
1 điểm
Phần tự luận
ĐIỂM
Ta có
2
TH1: Nếu x y z 0
ta có
2
yz x y z
x y z
Do x y z Z, , nên vế phải của (**) là số hữu tỉ
TH2 : x y z 0 khi đó (*)
0 3
x y z yz
Giải ra ta được
4 1 3
x y z
hoặc
4 3 1
x y z
1 điểm
1 điểm
1 điểm
1 6
1 2
B A
Trang 51
F
b, F x 6 x 3 x 4 (với x4 )
2
2
( 1)
2 0
4( )
4 0
x
x
x
x
1 điểm
1.5 điểm
Câu 3: a, Theo tính chất đường phân giác
10 5
2
5 5 2
AB IB
AD ID
BC BA
CD AD
Đặt AD x DC , y ta có:
AB x BC y
nên x2(2 )x 2 (15 5)2 (1) và (x y )2(2 )x 2 (2 y)2 (2)
Giải (1) ra tìm được x 15 thay vào (2) và rút gọn được
2
y 10y 375 0 (y 25)(y 15) 0 y 25
Vậy
2 ABC
S AB.AC (15.2).40 600(cm )
b,Gọi E là điểm đối xứng của B qua AM
BAP EAP
, BP=EP, AE=AB
ABP
và AEB đối xứng nhau qua AM
AE=AD, DAQ EAQ ADQ, AEQ
đối xứng với nhau qua AN
Tứ giác ADEB có AB
AD
ADE DEB EBA 270 0
kết hợp với tính chất đối xứng trên DEB 135 0
2 điểm
2 điểm
M
N
B A
P
F
x
y I
D
C B
A
Trang 6Hoàn toàn tương tự ta dựng CDQ và CFQ đối xứng qua CQ
và CFP và CBP đối xứng với nhau qua CP DFB 135 0
Từ đó suy ra tứ giác BEDF có
DEB DFB 270 EBF EDF 90 QDE PBE 45
QED PEB 45 PEQ DEQ DEQ PEB 90
PQ PE QE
DQ,QP,PB
là ba cạnh của tam giác vuông và PQ2=BP2+DQ2
Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa./.