Bài Tập Giải Tích Tổ Hợp

a Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau?. b Có bao nhiêu cách xếp khác nhau mà sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?.

Bài Tập Giải Tích Tổ Hợp

Dạng 1: Tính số lượng

Bài 1: Cho 2 đường thẳng song song (d1) và (d2).Trên d1 có 17 điểm

phân biệt ,d2 có 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3

điểm trong 37 điểm trên

Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Thầy chủ

nhiệm muốn chọn 3 học sinh để tham gia tổ chức lễ khai giảng Hỏi có

bao nhiêu cách

a) Chọn ra 3 học sinh trong lớp ? b) Chọn ra 3 hoc sinh trong lớp trong đó có 1 nam và 2 nữ ? c) Chọn ra 3 học sinh trong lớp trong đó có ít nhất 1 nam ?

Bài 3: Cho tập A= {1,2,3,….,9}.Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác

nhau nhỏ hơn 600 000 xây dựng từ A

Bài 4 : Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan

Bác Hồ trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi.Cần chọn ra nhóm 3 học

sinh đi dự cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh

em sinh đôi nào cả.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Bài 5: Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 75000?

Bài 6: Trên 1 mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng

song song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng

đó?

Bài 7: Xét 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số gồm 2,3,4,5.Hỏi

có bao nhiêu số như thế:

a) Năm chữ số 1 đứng kề nhau?

b) Các chữ số đều xuất hiện tùy ý?

Bài 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một cái ghế dài sao

cho

a) Bạn C ở chính giữa ? b) Hai bạn A,E ngồi ở 2 đầu ghế?

Bài 9: Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.Tìm tổng của các số gồm 5 chữ số tạo bởi

các hoán vị của năm chữ số đó?

Bài 10: Trong 1 phòng học có 2 chiếc ghế dài Người ta cần xếp 10 học

sinh gồm 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế đó sao cho nam ngoài 1 ghế ,nữ

ngồi 1 ghế Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Bài 11: Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,….,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6

chữ số khác nhau sao cho trong đó luôn có mặt chữ số 0 và 1?

Bài 12: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó luôn có đúng 3

chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ ?

Bài 13: Có 9 viên bi xanh ,5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng

a) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên bi trong đó có đúng 2

bi đỏ?

b) Có bao nhiêu cách chon 6 viên bi mà số bi xanh bằng

số bi đỏ Bài 14: Trong lớp học có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ.Cần chọn ra

3 học sinh sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Bài 15: Có 5 nhà toán học nam ,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam .Cần lập 1 đoàn công tác gồm có 3 người có cả nam ,nữ ,có cả nhà toán học và nhà vật lý học.Hỏi có bao nhiêu cách?

Bài 16: Cho tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau Hỏi có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng gồm số phần tử chẵn?

Bài 17:Một lớp học có 30 nam và 16 nữ Cần 6 học sinh để lập 1 nhóm tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:

a) Phải có ít nhất 2 nữ b) Có đúng 2 nam Bài 18: Một đội văn nghệ gồm 20 người ,trong đó có 10 nam và 10 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho:

a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó?

b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó?

Bài 19: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người.Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B,

4 người thường trực ở đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công?

Bài 20: Có bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau bằng cách lập từ các chữ

số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho 2 chữ số chẵn không đứng kề nhau?

Bài 21: Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số khác nhau từ tập A={1,2,3,4,5,6} trong đó chữ số 1 và 6 đều xuất hiện 2 lần ,các chữ số khác có mặt đúng 1 lần

Bài 22: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng của các chữ số của mỗi số là số lẽ?

Bài 23: Từ 3 chữ số 1,2,3 co thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có mặt đầy đủ 3 chữ số trên?

Bài 24: Xếp 3 viên bi đỏ có kích thướt khác nhau và 3 viên bi xanh kích thướt giống nhau vào 1 dãy gồm 7 ô trống

a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau mà sao cho 3 viên bi

đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?

Bài 25: Từ 1 tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An

và Bình ,người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người Tìm cách chọn trong các trường hợp sau:

a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ ? b) Trong tổ có 1 tổ trưởng ,5 tổ viên ,hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ?

Bài 26: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong

đó luôn luôn có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1

Bài 27: có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau mà chữ số 2 có mặt hai lần ,chữ số 3 xuất hiện ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần

Bài 28: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một

mà tổng của các chữ số này bằng 8

Bài 29: có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng các chữ số đó? Bài 30: cho tập A= {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho :

a) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10 b) chia hết cho 6

Dạng 2: Tìm hệ số chứa x k trong một khai triển

Bài 1: Tìm số hạng không chứa x của khai triển Newton sau:

a) ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

x

12

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+4 3

3 2

x x

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

2

3

5

x

x10

Bài 3: Tổng các hệ số của khai triển ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

2

2

1 2

3

nx nx

n

bằng 64.Tính

số hạng không chứa x

Bài 4: Tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển của

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ +

− 4

1

n

bằng

512 Tính số hạng không chứa x

Bài 5: Tổng của hệ số của số hạng thứ 2 và thứ 3 của khai triển sau:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

6

5 2

2

1

x x

n

bằng 25,5 Tính số hạng độc lập với x Bài 6: Với giá trị bao nhiêu của x thì số thứ tư của khai triển

( 2x−1−3 2−x)mbằng 20m, biết rằng hệ số tổ hợp thư tư trong khai triển gấp 5 lần hệ số tổ hợp thứ hai trong khai triển

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−1

2

1 2

x x

n

có

số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135,các hệ số của ba số hạng cuối của khai triển có tổng bằng 22

Bài 8: Tìm giá trị x sao cho khai triển

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ lg(10−3 ) +5 ( −2)lg3

2

m

sao cho số hạng thứ 6 là 21, các hệ số

thứ hai ,ba ,bốn của khai triển là các số hạng thứ nhất ,ba và năm của một cấp số cộng

Bài 9: Trong khai triển của

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+10

3

7

b

a b

a

n

có số hạng chứa ab.Tìm số hạng ấy

Bài 10: Trong khai triển nhị thức

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

− 15

28

3 x x x

n

hãy tìm số hạng

không phụ thuộc vào x Biết rằng + − 1 + n− 2 = 79

n

n n

n

n C C C

Bài 11: Tìm số nguyên dương n sao cho trong khai triển sau

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

2

1 ntỉ số của sồ hạng thứ 4 và số hạng thứ 3 là

2 3

Bài 12: Với giá trị nào của x thì số hạng thứ 4 của khai triển( 5 2 x )16 lớn hơn số hạng thứ 3 và thứ 5

+ Bài 13: Cho P(x) = (1+x) + 2(1+x)2 + 3(1+x)3 +….+ 20(1+x)20 được khai triển dưới dạng P(x) = a0+a1x+a2x2+……+a20x20.Tìm a15

Bài 14: Cho P(x) = (1+2x+3x2)10.Xác định hệ số của x3 trong khai triển của P(x) theo lũy thừa x

Bài 15: Cho P(x) = (1+x+x2+x3)10.Tìm hệ số chứa x10 của khai triển ấy Bài 16: Cho P(x) = (1+2x)12 thành dạng a0 + a1x + a2x2 +… +

a12x12.Tìm max(a1,a2,…,a12)

Bài 17: Biết tổng các hệ số của khai triển sau (x2+1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số hạng chứa ax12 trong khai triển đó

Dạng 3: Giải phương trình ,bất phương trình,hệ phương trình có chứa các công thức

tổ hợp ,chỉnh hợp và giai thừa

Bài 1: giải các phương trình sau

2

7

3 2

24

4 3

1

4

=

− −

n

n

C A

A

c) Cx1 + 6 Cx2 + 6 Cx3 = 9 x2 − 14 x

1

2

1 + − = −

−

Cx x x

e) Ax3 − 2 Cx4 = 3 Ax2

x

A

7

30

1

1 + − =

− +

g) 79

1

1

−

−

+ +

x

y x

y x

P

P A

5 5

3 =

−

+

x x

x

P A P

1

5

=

−

−

x x

x

C A

j) − 1 + − 2 + + − 9 + x− 10 = 1023

x

x x

x x

x

C

Bài 2 : giải các bất phương trình và hệ sau:

a)

2 5

6

1 1

1

− +

+ = = x Y

y x

y

C

2

1 2 2 3

2x − x ≤ Cx +

x A A

=

−

= +

y y

y x

y x

C A

C A

x x

720

126 1

1

=

= +

+

−

−

x

x y y x

x y

P

C P

A

e)

5 2

2 3

1 1

2 2 2

−

−

−

= +

+

y x

y x

y x

y

C

f)

1 2

10

1 1

1 1 1

−

−

−

−

− + = = x y

y x

y x

y

x yA A C A

Dạng 4: Chứng minh các hệ thức giải tích tổ hợp

Bài 1: Cho hai số nguyên n và m thỏa mãn 0 < m < n

Chứng minh rằng = m−−11

n

m

n nC mC

Bài 2: Chứng minh rằng:

20 + 22 + + 22 = 21 + 23 + + 22n−1

n n

n

n n n

C

Bài 3: Tính tổng sau:

S =C116 + C117 + C118 + C119 + C1110 + C1111

Bài 4: Chứng minh rằng:

316C160 − 315C161 + 314C162 − + 30C1616 = 216

Bài 5: Tính tổng sau:

S=C106 + C107 + C108 + C109 + C1010

Bài 6: Chứng minh rằng:

k n

k n

k n

k

C + 3 −1 + 3 −2 + −3 = +3

Bài 7: Chứng minh rằng:

= −−11 + −−21 + + −1 + m−−11

m

m m

m n

m n

m

C

Bài 8: Chứng minh rằng:

k n

k n

k n

k n

k

C + 4 −1+ 6 −2 + 4 −3 + −4 = +4

Bài 9: Chứng minh rằng:

2002 0

1

2001 2002

2001 2002 2002

2000 2001

1 2002

2001

2002

0

2002 + + + − + = 1001 2

− C C C

C C

C C

k k

Bài 10: Chứng minh rằng:

1

2 1

1

3

1 2

1 1

1 1

1

+

−

= +

+ + +

n

C n

C C

n n

n n

Bài 11: Chứng minh rằng:

1 2

2

) 1 (

6

1 4

1 2

1 0 1 2

+

= +

− +

− +

−

n

C n

C C

n

n n

n n

Bài 12: Chứng minh rằng:

2 4

3

2 3 2 4 3 ( 1 ) ( 1 ) 2

.

1

.

2 + + + + − n = − n−

n n

n

C

Bài 13: Chứng minh rằng:

1 3 −1 + 2 1 3 −2 + 3 1 3 −3 + + 1 = 4n−1

n

n n

n n

n

C

Bài 14: Tính tổng

2 2000

1 2000

0

2000 2 C 3 C 2001 C

Bài 15: Chứng minh rằng:

n n

n n n

n

C0)2 ( 1)2 ( 2)2 ( )2 2