Tổng hợp bài tập Giải tích 2

Tài liệu tổng hợp các bài tập Giải tích 2 bao gồm các nội dung: hàm nhiều biến số; tích phân bội; tích phân đường và tích phân mặt; phương trình vi phân.

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 CHƯƠNG I HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Bài 1 Tìm miền xác định của các hàm số sau:

Bài 3 Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

y y

, nhưng không khả vi tại điểm này

Bài 7 Khảo sát tính khả vi của hàm số

Bài 8 Cho hàm số z = arccos x ln y ( ) Tính dz 0,1 ;d z 0,1 ( ) 2 ( ).

Bài 9 Ứng dụng công thức số gia và vi phân toàn phần để tính gần đúng

a) ( 1.02 )3+ ( 1,97 )3

c)

0,01 tan

3,98 p+

Bài 12 Cho hàm số z = z x, y ( ) xác định từ phương trình

Bài 19 Tìm cực trị có điều kiện

a) u = + x y2+ z thỏa mãn điều kiện y x 1,z xy 1 - = - =

d) u = 2x + 2y z - thỏa mãn điều kiện x2+ y2+ z2= 9

e) u = xy + yz thỏa mãn điều kiện

Bài 20 Tìm GTLN, GTNN của hàm số f trên miền đóng D.

a) f x, y ( ) = 4xy2- x y2 2- xy3, trong đó D là D ABC với A(0,0), B(0,6), C(6,0)b) f x, y ( ) = x2+ y2- 12x 16y, D + = { ( x, y : x ) 2+ y2� 25 }

1.a) - y2� � x y2 trừ những điểm trên Ox; b) x2+ y2+ z2< 1 trừ gốc tọa độ O

2.a) Không tồn tại; b) 4; c) Không tồn tại; d) 0

3.a) Liên tục; b) Không liên tục; c) liên tục; d) không liên tục; e) Liên tục; f) không liên tục g) không liên tục

h) Cực đại

2 0;

CHƯƠNG II TÍCH PHÂN BỘI

Bài 1 Tính tích phân kép sau trên miền D được chỉ ra

a)

2 2 D

c)

x y D

p +

với D được giới hạn bởi y2= + x 4, y + = x 2 123 12

Bài 2 Đổi thứ tự lấy tích phân rồi tính các tích phân sau

Bài 3 Dùng phép đổi biến thích hợp, tính các tích phân sau

Bài 4 Dùng công thức đổi biến chứng minh rằng

f)

2 2 D

p

-c) Bị chặn bởi các đường cong y2= ax, y2= bx,xy 1, xy = = 2 0 a ( < < b ) 1 3 ln b a

d) Giới hạn bởi đường cong (L): ( x2+ y2)2= a x2( 2- y2) ( a > 0 ) a2

e) Giới hạn bởi đường cong (L): ( 2 2)2 3

Bài 7 Tính diện tích của mặt cong

a) Là giao của các mặt trụ x2+ z2= a , y2 2+ z2= a a 02 ( > ) 16a2

a) Giới hạn bởi mặt trụ x2+ y2= 2y và mặt cầu x2+ y2+ z2= 4 16 3 ( 4 )

9 p-

f) Bị chặn bởi paraboloid z = x2+ y2+ 1 và mặt phẳng z = 5 8p

g) Giới hạn bởi các mặt cong z = - 6 x2- y2 và z = x2+ y2 32 3 p

h) Giới hạn bởi các mặt có phương trình 2z = x2+ y ; x2 + = z 4 81 4 p

i) Bị chặn bởi hai hình trụ x2+ y2= a2 và x2+ z2= a2

3

16a 3

Bài 9 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt đóng

a) ( x2+ y2+ z2)2= 2z x ( 2+ y2) ( x, y,z 0 > ) 30 p

b) ( 2 2 2)2

Bài 10 Tính các tích phân bội ba sau

CHƯƠNG III TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

Bài 1 Tính tích phân đường loại một sau

Bài 2 Tính các tích phân đường loại hai sau:

trong đó L là cung nối O(0,0) với A(1,1) theo đường

i)y = x2 ii) x = y2 iii) gấp khúc OBA với B(0,1)

Bài 3 Chứng minh rằng tích phân

2 2

AB

1 x dy 2xydx I

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

trong miền đơn liên, liên thông D � R2   � 1,0  

Tính I nếu AB là đường bất kỳ không cắt Ox đi từ



Bài 4 Chứng minh rằng tích phân  2 2

C

I  � 2x sin ydx  x cos y 3y dy 

không phụ thuộc vào đườnglấy tích phân Tính I nếu C là đường bất kỳ nối A(-1,0) tới (5,1) 25sin1 1 

Bài 5 Tính tích phân sau theo hai cách: trực tiếp và dùng công thức Green:

với L là cung tròn x cos t; y sin t  

lấy theo chiều tăng của t: 0 t � � . 2 3 8 

trong đó S là mặt xung quanh của tứ diện giới hạn bới các mặt phẳng

x 0, y 0,z 0   và mặt x y z 1   và hướng ra phía ngoài. 12

d) S

xdydz ydzdx zdxdy 

�

trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2 y2 z2 a2. 4 a 3

Bài 9 Dùng định lý Stokes tính các tích phân sau:

trong đó L là đường tròn x2y2 a , z 02  lấy theo chiều ngược chiều

kim đồng hồ khi nhìn từ bên trên

6

a8

trong đó L là đường cong x2y2 9, x y z 1   có hướng ngược

chiều kim đồng hồ khi nhìn từ bên trên

812



Bài 10 Dùng công thức Ostrogradski – Gauss đề tính các tích phân sau:

a)

2 S

xdydz ydzdx z dxdy 

�

với S là phía ngoài của nửa mặt cầu x2y2 z2 2x z 0 � 

(không kể phần hình tròn nằm trong mặt phẳng Oxy)

116



b)

2 S

có S là phía ngoài của mặt nằm trong góc phần tám thứ nhất tạo

nên bởi mặt z x 2 y ; x2 2 y2 1và các mặt phẳng tọa độ x=0,y=0,z=0. 6

CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bài 1 Giải các phương trình tách biến sau:

a) 1 x ydx   1 y xdy 0  ln xy x y C  b) 1 e yy' e ; y 0 x  x   1 1 2 e x

y ln 1 e

c)

x x

2

2 e3e tanydx dy 0

a) x y dx  2y x 1 dy 0    x2 2xy 2y 2 2y Cb) x y 2 dx   2x 2y 2 dy 0    2 x y ln x y      x C; y xc) x y 2     x y 4 y' 0  x2 2xy y 2 4x 8y C 

Bài 4 Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau:

Bài 7 Giải các PTVP dùng thừa số tích phân sau:

a) x sin y ycos y dx  x cos y ysin y dy 0   e ;e x sin y ycos y sin yx x    Cb)

d) y x y dx 2 2  2x yx dy 0 3  y,3xy2x y3 3 C

e) sin y x dx x sin 2ydy 02  2  

2 2

a) 4y'' y 0, y 0    3, y   4 y 3cos x24sinx2

� � y cos x sin x x cos x  

cos x

   y��ln cos x A e cos x ��2x  x B e sinx 2x

b)

x 2

ey'' 2y' y

1 e

 y Ae x Be2x e (ln 1 ex   x  1) e ln(1 e )2x  x

Bài 11 Giải các phương trình Euler sau:

a) x y'' xy' y cos ln x2      1 2 1  

Bài 12 Giải phương trình xy'' 2y' xy e   x bằng phép đổi hàm z yx