THIẾT kế một số TINH HUỐNG học tập GIẢI TICH tổ hợp NH

THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG HỌC TẬP GIẢI TÍCH TỔ HỢP NHẰM TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH Nguyễn Thị Trang Đài Khóa K21 – Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế Email: trangdaitoan0

THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG HỌC TẬP GIẢI TÍCH TỔ HỢP NHẰM TÍCH CỰC

HÓA HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH

Nguyễn Thị Trang Đài Khóa K21 – Khoa Toán, Đại Học Sư Phạm Huế

Email: trangdaitoan0812@gmail.com

Tóm tắt: Bài báo trình bày quy trình thiết kế các tình huống học tập (THHT) theo quan điểm

lý thuyết tình huống (LTTH) nhằm giúp học sinh (HS) tích cực hóa hoạt động nhận thức (HĐNT) Đồng thời, bài báo này giới thiệu một số THHT giải tích tổ hợp được thiết kế theo quy trình đã xây dựng

Từ khóa: Tình huống học tập, tích cực nhận thức, giải tích tổ hợp, lý thuyết tình huống

1 Mở dầu

Dạy học (DH) vận dụng LTTH là giáo viên (GV) ủy thác cho HS những tình huống (TH) trong thực tiễn hoặc trong nội bộ môn học có chứa đựng sự mâu thuẫn, khó khăn, mất cân bằng trong tư duy, kích thích các em tích cực suy nghĩ, nhận thức để giải quyết vấn đề nhằm thiết lập lại sự cân bằng [1,9,12] Do đó, việc trải nghiệm các THHT giúp HS phát triển những tri thức nhất định được cài đặt trong những TH này Quá trình DH với sự xuất hiện liên tiếp các THHT phù hợp sẽ giúp HS phát triển tư duyvà kiến thức một cách liên tục Vì vậy, GV cần thiết kế các THHT trong đó chú ý đến việc ủy thác cho HS những TH sao cho các em có cơ hội tham gia vào các hoạt động để tự mình kiến tạo nên các kiến thức toán học cho bản thân [4,10]

2 Nội dung

2.1 Tình huống học tập

a) Khái niệm tình huống học tập

THHT là TH trong đó có sự ủy thác của người thầy Sự ủy thác chính là quá trình - GV đưa những nội dung cần truyền thụ vào trong các sự kiện của TH và cấu trúc các sự kiện sao cho phù hợp với lôgic sư phạm, để khi người học giải quyết nó sẽ đạt được mục tiêu DH [1,4]

THHT tạo ra bối cảnh làm nảy sinh những mâu thuẫn về mặt nhận thức khi HS giải quyết những vấn đề toán học đặt ra trong THHT đó và các em sẵn sàng dùng sức lực và trí tuệ của mình để theo đuổi các phương án giải quyết vấn đề [2,5,12]

b) Đặc trưng của tình huống học tập [1,5,7]

- Chứa đựng vấn đề

- Gây sự chú ý ban đầu, kích thích hứng thú, khởi động tiến trình nhận thức của HS Các em chấp nhận mâu thuẫn khách quan thành mâu thuẫn chủ quan

- Vấn đề cần giải quyết được phát biểu rõ ràng, gồm cả những điều kiện đã cho và mục đích cần đạt được HS cảm thấy có khả năng giải quyết được vấn đề

c) Vai trò của tình huống học tập [5,7]

- Phát huy tính tích cực, chủ động trong học tập cho người học

- HS sớm tiếp cận những vấn đề thực tiễn

- Bài học được tiếp thu, được lưu giữ lâu trong trí nhớ HS

- Phát huy được năng lực tư duy phê phán, năng lực tư duy sáng tạo của người học

d) Nguyên tắc sử dụng tình huống học tập trong dạy học toán

Ngoài việc phải tuân thủ tất cả các nguyên tắc chi phối và định hướng quá trình dạy học nói chung, sử dụng THHT trong quá trình dạy học cần thực hiện các nguyên tắc sau [2,3,4.6]:

- Thứ nhất, THHT phải thể hiện mục tiêu bài dạy

- Thứ hai, trong quá trình DH sử dụng THHT trên lớp, cần đảm bảo mối quan hệ biện chứng giữa hoạt động hướng dẫn của GV với hoạt động học tập chủ động, tích cực và sáng tạo của HS

- Thứ ba, DH sử dụng THHT cần được tổ chức với các hình thức và phương pháp dạy học phong phú, đa dạng

- Thứ tư, đảm bảo các mối quan hệ hợp tác chặt chẽ trong quá trình DH sử dụng THHT

- Thứ năm, DH sử dụng THHT trong quá trình học tập trên lớp cần đảm bảo tính hệ thống

- Thứ sáu, việc sử dụng THHT trong quá trình DH trên lớp cần phải được quy định về mặt thời gian

2.2 Tích cực nhận thức

Tính tích cực nhận thức là tính khát khao tìm kiếm kiến thức, khám phá những điều chưa biết, từ đó cố gắng nỗ lực suy nghĩ để chiếm lĩnh tri thức [13]

Biểu hiện của tính tích cực nhận thức [8,11-13]:

- Biểu hiện bên ngoài:

+ Biểu hiện qua thái độ, hành vi và hứng thú: chú ý lắng nghe, quan sát, mong muốn đóng góp

với thầy, với bạn, hăng hái tự nguyện tham gia các hoạt động học tập, nêu thắc mắc, đặt câu hỏi

+ Biểu hiện qua kết quả học tập: các chiến lược sử dụng để giải quyết vấn đề, phương án tối

ưu, giao tiếp với các bạn trong lớp và GV

- Biểu hiện bên trong: sự chuyển biến, phát triển về tư duy, thành thạo và sáng tạo hơn trước

2.3 Quy trình thiết kế THHT

Căn cứ vào chương trình dạy học,vai trò của THHT, nguyên tắc sử dụng THHT, chúng tôi đề xuất quy trình xây dựng THHT trong quá trình DH trên lớp như sau [5,7,11,12]:

Bước 1: Xác định mục tiêu bài học

Mục tiêu bài học là những điều mà HS cần phải hiểu, nắm vững và đạt được sau mỗi bài học

về cả ba mặt kiến thức, kỹ năng và thái độ Đây là giai đoạn quan trọng của DH bằng TH vì ở đó diễn ra sự định hướng ủy thác của GV

Bước 2: Xác định kiến thức cơ bản và lôgic hình thành kiến thức

Kiến thức cơ bản là những kiến thức tạo thành nội dung chính của bài học, những kiến thức vạch ra được bản chất của sự vật, hiện tượng Thông qua quá trình hình thành những kiến thức

cơ bản mà thực hiện các nhiệm vụ khác của bài học như phát triển năng lực sáng tạo, hình thành thế giới quan khoa học,…

Trên cơ sở kiến thức cơ bản và trọng tâm, GV sắp xếp các kiến thức đó theo một trình tự lôgic để từ đó lựa chọn phương tiện, phương pháp thích hợp nhằm tổ chức hình thành các kiến thức cho HS

Bước 3: Xác định điều kiện vật chất của việc DH (đặc điểm, số lượng HS, tài liệu, phương tiện, thiết bị DH), thời gian học tập, trình độ nhận thức, kĩ năng hành động, đặc điểm tâm lý-xã hội của HS cũng như năng lực, thói quen, kinh nghiệm của bản thân người GV

Bước 4: Xây dựng và lựa chọn THHT phù hợp với nội dung bài học Công việc này của GV thực sự khó khăn, cần mất nhiều thời gian, trí lực cũng như tâm huyết

- Xác định nhiệm vụ, vị trí các phương tiện DH hỗ trợ trong quá trình DH sử dụng TH, xây dựng hệ thống câu hỏi định hướng HS giải quyết TH đặt ra THHT và hệ thống câu hỏi phải xây dựng một cách cẩn thận và thu hút được hứng thú học tập, tìm tòi, sáng tạo của HS, nghĩa là làm phát huy được tính tích cực nhận thức của HS THHT phải chứa đựng kiến thức mới mà HS cần lĩnh hội

- Tiến hành soạn thảo tiến trình DH của bài và tổ chức các hoạt động, dự tính được khả năng của HS để có những hướng dẫn, giúp đỡ khi cần thiết GV cần chú ý hoạt động của HS khi thiết

kế quy trình lên lớp, xác định mức độ khó khăn, trở ngại trong THHT mà HS cần vượt qua để có

sự can thiệp hiệu quả

Bước 5: Xin ý kiến đánh giá, góp ý của các GV DH môn Toán về ý tưởng và tính khả thi của THHT, trên cơ sở đó điều chỉnh những nội dung cần thiết

Bước 6: Thử nghiệm dạy học và hoàn thiện

2.3 Thiết kế một số tình huống học tập

a) Tình huống học tập liên quan đến các tính chất của Cn k

Bước 1: Nghiên cứu nội dung, mục tiêu DH, định hướng HD các tính chất của k

n

C cùng với những thuận lợi và khó khăn mà HS gặp phải khi DH những tính chất này

Qua quá trình khảo sát HS và GV chúng tôi nhận thấy đặc điểm tâm lý nhận thức của học sinh khi học chủ đề giải tích tổ hợp là HS có thói quen học tập với cách dạy truyền thống của nhiều GV (thuyết trình, giảng giải,…) nên luôn chờ đợi các thông báo vàtri thức được truyền thụ

từ GV mà không chủ động và không tích cực tìm ra tri thức mới Các em luôn cố gắng chứng minh một kết quả hơn là việc phát hiện, tìm tòi tại sao có kết quả đó Những điều đó phần nào ảnh hưởng đến khả năng tư duy, tính tích cực nhận thức và niềm tin vào khả năng giải quyết vấn

đề của bản thân các em khi học toán Do đó cần thiết phải khơi dậy niềm tin và khả năng khám phá toán củabản thân các em thông qua các THHT

Bước 2: GV thiết kế tình huống học tập

Tình huống: Tìm số đường đi từ đỉnh A đến đỉnh C của hình chữ nhật ABCD cấp mn ô vuông

Quy ước: Số bước đi là số cạnh ô vuông đi qua Mỗi đường gấp khúc tạo bởi các cạnh của ô vuông là một đường đi và chỉ được đi lên hay qua phải

Giả thuyết đặt ra là sau khi giải quyết được TH này, HS có thể tìm ra được mối quan hệ của

k

n

C với Cn n k (0  k n) và k1

n

C với Cn k, Cn k1 (1 k n) Ở đây, như quan điểm nêu trên, THHT này ưu tiên việc tìm ra tính chất hơn là việc chứng minh các tính chất đó

Màn 1: Gợi động cơ Trước khi đến với TH tổng quát này, GV sẽ hướng dẫn các em đến với

TH hình chữ nhật có các kích thước m n xác định

GV: Ở các tiết trước chúng ta đã biết cách đếm, xác định số kết

quả có thể xảy ra với một nhiệm vụ, công việc thỏa mãn điều kiện cho

trước bằng cách sử dụng các quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp và tổ

hợp Vận dụng các kiến thức đã học hãy xét xem với hình chữ nhật

cấp mn xác dịnh thì có bao nhiêu đường đi từ A đến C mà mỗi bước

di chuyển chỉ được lên một bước hay qua phải một bước

Chia lớp thành nhiều nhóm nhỏ, mỗi nhóm gồm 4 HS Phát mỗi nhóm một phiếu học tập 1

có hình chữ nhật cấp mn xác định, cụ thể là cấp 2  1; 1  3; 2  3, 3  4 GV chỉ một đường

đi thỏa mãn yêu cầu mà bài toán đặt ra

Phiếu học tập 1

Với mỗi hình chữ nhật cấp m  n xác định có bao nhiêu đường đi từ A đến C mà mỗi bước di

chuyển chỉ được lên một bước hay qua phải một bước?

Quy ước: Số bước đi là số cạnh ô vuông ta đi qua Mỗi đường gấp khúc tạo bởi các cạnh của

ô vuông là một đường đi và chỉ được đi lên hay qua phải

B

D A

C

D

B

A

C B

C

Hãy đếm số đường đi đối với hình chữ nhật cấp 2  1; 1  3; 2  3, 3  4 và dự đoán kết quả

đối với hình chữ nhật cấp m  n và điền vào bảng dưới

HCN cấp 2  1 HCN cấp 1  3 HCN cấp 2  3 HCN cấp 3  4 HCN cấp m  n

HS trả lời vào phiếu học tập các câu hỏi mang tính chỉ dẫn của GV, các em thảo luận, đưa ra kết quả và điền vào phiếu học tập sau 2 phút

Màn 2: Sau 2 phút GV phát phiếu học tập 2

Phiếu học tập số 2

Với HCN cấp 3  4

+ Để đi từ A đến C cần phải đi bao nhiêu bước? Bao nhiêu bước lên?

Bao nhiêu bước qua phải?

+ Nếu kí hiệu 1 bước di chuyển lên là U, 1 bước qua phải là R Hãy

viết lại 5 cách đi mà nhóm tìm được? Ví dụ 1 đường đi đúng đối với

hình chữ nhật cấp 3  4 là RRUURUR

+ Với mỗi lựa chọn hướng đi, ta ở một vị trí nhất định trên lưới ô vuông hình chữ nhật Hãy tính xem có bao nhiêu đường đi từ A đến điểm đó (sử dụng kiến thức về

giải tích tổ hợp)? Ghi số các đường đi đếm được lên mỗi điểm tương

ứng trên hình chữ nhật cấp 3  4

+ Viết các kết quả tìm được dưới dạng C n k tương ứng về số đường

GV: Dự kiến việc kết luận số đường đi từ A đến C:

A

C B

D

A

C B

D

35 20 15

10 10 6 4 3

3 2

1 1

1 1

5 4

1 1 1

Hình chữ nhật cấp 3  4: Việc đếm số đường đi dễ dẫn đến kết quả không chính xác Kết quả mong đợi là HS sẽ nghĩ đến việc vận dụng các kiến thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp để giải quyết Như xếp 7 kí tự - vào 7 vị trí có 7! cách xếp, trong đó có 3 kí tự U giống nhau và 4 kí tự R giống nhau nên có 4!3! cách sắp xếp bị trùng nhau Do đó có

! 4

! 3

! 7 cách sắp xếp các kí tự xuất

hiện trong dãy RRUURUR hay có

! 4

! 3

! 7 con đường đi thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí xếp chữ U có 3

7

C cách, các vị trí còn lại xếp chữ R , tương tự chọn 4 vị trí trong 7

vị trí xếp chữ R có C74 các vị trí còn lại xếp chữ U

GV không khẳng định kết quả nào đúng sai, mà từng bước giúp các em kiểm chứng cũng như khám phá điều đặc biệt để đi đến với trường hợp tổng quát Bảng kết quả mong muốn nhận được

từ HS là hình bên

Màn 3: Các nhóm cử đại diện lên trình bày kết quả của nhóm mình lên bảng GV hướng dẫn

HS khám phá

Viết các kết quả tìm được dưới dạng Cn k tương ứng bên cạnh

số đường đi tìm được đến mỗi điểm

Khi kích thước hình chữ nhật càng tăng, việc đếm số đường đi

càng khó khăn

GV: Yêu cầu học sinh phát biểu kết quả cho trường hợp tổng

quát hình chữ nhật cấp m  n

Màn 4: Áp dụng Tính số đường đi từ điểm A (0;0) đến điểm C (m;n)

Phát cho học sinh phiếu học tập tiếp theo như hình vẽ

3 3

C

2 2

C

1 1

C

3 4

C C53 C63 C73

2 3

C C42 C52 C62

1 2

C C13 C41 C51

A 0

2

C 0

3

C 0

4

C 0

5

C

Phiếu học tập số 3

+ Số đường đi thỏa mãn yêu cầu bài toán trong trường hợp tổng quát

hình chữ nhật cấp m  n?

+ Tính số đường đi từ điểm A(0;0) đến điểm C(m;n) và C’(n;m)

+ So sánh số đường từ điểm A đến 2 điểm C và C’

+ Hãy xét xem có các số liệu trên có gì đặc -biệt? Mối quan hệ giữa số đường đi của một ô bất kì với các ô liền trước và liền dưới nó? Tại sao lại có quy luật

trên? Hãy đưa ra quy luật tính số đường đi cho các ô còn lại?

+ Xem xét mối quan hệ của Cn k với Cn n k (0 k n) và k1

n

C

với Cn k, Cn k1 (1   k n ). Chứng minh các mối quan hệ đó

3 3

C

2 2

C

1 1

C

3 4

5

6

7

C

2 3

C C42 C52 C62

1 2

C C31 C14 C51

A C20 C30 C40 C50

GV: Câu trả lời mong đợi là:

1 Số đường đi tới điểm có tọa độ bằng số đường đi tới điểm C(m; n) bằng số đường đi tới điểm độ C’(n; m)

2 Số đường đi tới một ô bất kì bằng tổng số đường đi tới ô liền trước và liền dưới nó Màn 5: Thể chế hóa kiến thức

Như vậy số đường đi từ A(0; 0) đến C m n( ; )bằng số đường đi từ điểm A(0; 0) đến điểm

C’(n; m) Tức là ta đã chứng minh được Cm n n  Cn m m hay Cn k  Cn n k (0 k n) Và

1 1

C  C C  ,(0  k n)(đây là quy tắc Pascal)

Màn 6: Chứng minh tính chất (tương tự sách giáo khoa)

Màn 7: Bài tập áp dụng củng cố kiến thức

1/ Điền vào chỗ trống:

2/ Chứng minh rằng: C n k2 C n k2C n k1

Lưu ý: Với nhiệm vụ tìm số đường đi thỏa mãn yêu cầu đặt ra như trên, chúng ta cũng có thể

sử dụng để xây dựng tam giác Pascal cho HS

b) Tình huống học tập khám phá mối quan hệ giữa các hệ số trong khai triển ( )n

a b (Sử dụng khi giới thiệu xong tam giác Pascal cho HS)

Màn 1: GV

A

C B

D

35 20 15

10 10 6 4 3

3 2

1 1

1 1

5 4

1 1 1

- Tìm hệ số thứ 6 trong khai triển (a b )8 ?

- Chỉ ra nhược điểm của các chiến lược mà các em đã sử dụng để giải quyết nhiệm vụ trên? Các chiến lược mong đợi từ HS:

- Sử dụng tam giác Pascal Nhưng chiến lược này chỉ tỏ ra hiệu quả khi việc tìm hệ số trong khai triển (a b )n

với n nhỏ Với n lớn thì việc thực hành theo quy tắc đó sẽ mất thời gian

- Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn

Màn 2: GV

Vậy có cách nào khác giúp chúng ta giải quyết nhanh gọn nhiệm vụ trên hay không? Một HS phát biểu rằng: “Em có một cách khác tìm hệ số bất kì trong khai triển mà không sử dụng các kiến thức về giải tích tổ hợp” Sau đây chúng ta sẽ cùng nhau thảo để tìm ra phát hiện của bạn

HS này

HS sẽ làm việc theo nhóm, mỗi nhóm gồm 4 HS, 2 em bàn trên và 2 em bàn dưới

Phiếu học tập

Xét các hệ số trong hàng thứ 5 của tam giác Paxcan: 1 4 6 4 1

- Hệ số thứ 2 trong dãy số trên có mối quan hệ như thế nào với vị trí của dãy số trong tam giác Pascal

- Điền số thích hợp vào ô trống và chỉ ra mối quan hệ giữa các hệ số liền kề trong một hàng

1; 4 1  ; 6 4 ; 4 6 ; 1 4

- Kiểm tra dự đoán của bạn bằng cách sử dụng quy tắc trên tìm các hệ số thứ 6 trong khai

triển (a + b) 8 và viết các hệ số ở hàng thứ 11 trong tam giác Pascal

Câu trả lời mong đợi:

- Hệ số thứ 2 trong dãy số trên chính bằng số thứ tự của dãy số trong tam giác Pascal trừ đi

1

- Điền số thích hợp vào ô trống và chỉ ra mối quan hệ giữa các hệ số liền kề trong một hàng 1; 4 1 4;

1

2

3

4

 

- Trong khai triển (a + b) n

Hệ số đầu tiên và cuối cùng luôn bằng 1

Hệ số thứ 2 (kí hiệu là u1) chính bằng số thứ tự của dãy số trong tam giác Pascal trừ đi 1 hay

1

1

n

Tổng quát

0

1

1,

, 1

1

u

k n N

n k

u u

k n k









 



.

- Áp dụng quy tắc trên hệ số thứ 6 trong khai triển (a + b) 8 là 56 và các hệ số ở hàng thứ 11 trong tam giác Pascal là: 1; 10; 45; 120; 210; 252; 210; 120; 45; 10; 1

Để khắc phục tình trạng ỷ lại vào người khác của một số HS, ràng buộc trách nhiệm giữa các

cá nhân với tập thể, GV sẽ yêu cầu bất kì một thành viên trong nhóm trình bày kết quả thảo luận của nhóm mình

Lưu ý: Đối với đối tượng HS có lực học khá trở lên GV nên bỏ qua câu hỏi mang tính chỉ dẫn 2 trong phiếu học tập

3 Kết luận

Trên đây chúng tôi phân tích cách thức tổ chức thực hiện hai THHT thể hiện sự vận dụng các THHT theo định hướng giúp HS tích cực suy nghĩ, hứng thú thảo luận để tìm tòi vàphát hiện kiến thức toán học Các GV toán ở trường THPT có thể triển khai thực hiện DH trên lớp và theo quy trình thiết kế đã xây dựng để tiếp tục thiết kế nhiều hơn các THHT cho HS Với kết quả này

hy vọng sẽ góp phần làm sáng tỏ việc vận dụng LTTH để xây dựng các THHT ở các chuyên đề Toán khác

Abstract: The article describes the procedure for creating learning situations based on

situation theory to help students actively engage in cogitive process The writing , also reports

some learning situations in combinatory analysis designed by using this procedure

Key words: Learning situation, actively engage in cognition, combinatory analysis, situation

theory

Tài liệu tham khảo

1 Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactice toán (éléments fondamentaux de điactique des mathématiques), NXB

Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh

2 Nguyễn Hữu Châu (1996), Trao đổi về dạy-học Toán nhằm nâng cao tính tích cực hoạt

động nhận thức của học sinh, Tạp chí Thông tin khoa học giáo dục, Số 55, Trang 26-29

3 Kharlamôp I F (1978), Phát huy tính tích cực học tập của học sinh như thế nào?, Tập

I,II, NXB Giáo dục

4 Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội

5 Hoàng Lê Minh (2013), Hợp tác trong dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm

6 Thái Duy Tuyên (2007), Phương pháp dạy học truyền thống và đổi mới, NXB Giáo dục,

Hà Nội

7 Nguyễn Tiến Trung (2013), Thiết kế tình huống dạy học hình học ở trường Trung học phổ thông theo hướng giúp học sinh kiến tạo tri thức, Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Đại

học Sư phạm Hà Nội

8 Anowar H & Rohani A T (2011) Cognitive and affect outcomes of group learning among secondary learners in Bangladesh, Institute for Mathematical

Research-University Putra Malaysia

9 Brouseau G (2002) Theory of Didactical situations in Mathematics, Edited and

translated by Nicolas Balacheff, Martin Cooper, Rosmund Sutherland and Virginia Warfield, Mathematics Education Library, Kluwer Academic Publishers, USA

10 Denise G (2008) Changer le rapport des élèves aux mathématiques en intégrant l'activité de recherche dans les classes, Université Joseph Fourier, Grenoble

11 Jean L (2003) Cognitionin practice, University of California, Irvine

12 John A M and Peter C S Taylor, Constructivist Interpretation of Teaching and Learning Mathematics, Curtin University of Technlogy Perth, Austraslia

13 Watson A & Winbourne P (Eds) (2008) New directions for Situated Cognition in Mathematics Education, Monash University, Australia