HÀM NHIỀU BIẾN (GIẢI TÍCH)

HÀM NHIỀU BIẾN NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CHƯƠNG 0:... Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến... DÃY ĐIỂM TRONG Rn1 1 , lim 0,0, n Dãy điểm trong Rn là tập hợp các điểm được gán chỉ số

HÀM NHIỀU BIẾN NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

CHƯƠNG 0:

NỘI DUNG

1 Dãy điểm trong Rn

2 Tập đóng, tập mở, tập bị chận, tập compact

3 Hàm nhiều biến

4 Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến

DÃY ĐIỂM TRONG Rn

1 1 , lim (0,0),

n

Dãy điểm trong Rn là tập hợp các điểm được gán chỉ

số trong N, một dãy điểm tương ứng với n dãy số

thực

{Xm} = {X1, X2, …Xm, …}

Xm = (x1m, x2m, …, xnm), m = 1, 2, …

Xm → X0 = (x10, x20, …, xn0) ∈ Rn

⇔ xim → xi0, khi m →∞, i = 1, 2, …, n

2

lim ( n, n ) (0,1)

CÁC DẠNG TẬP HỢP CƠ BẢN

A ⊂ Rn là tập đóng ⇔ mọi dãy trong A có giới

hạn thì giới hạn cũng nằm trong A

(A lấy tất cả các đường biên có thể có)

A ⊂ Rn là tập mở ⇔ phần bù của A trong Rn là đóng

(A không lấy bất kỳ phần nào của biên)

2 2 2

x + y ≤ R

A đóng

x + y < R

A mở

A đóng

A đóng

R ≤ x + y ≤ R

A đóng

A không đóng, không mở

R ≤ x + y < R

(A có thể được bao bọc bởi một mặt cầu (hoặc đường tròn))

A là tập compact ⇔ A là tập đóng và bị chận

A compact A không

compact

A = {(x,y)/ y ≥

0}A không compact

A là tập bị chận ⇔ tồn tại M >0 sao cho ∀x∈ A, ||x|| ≤

x = x + +L x

HÀM NHIỀU BIẾN

Hàm nhiều biến là một ánh xạ biến 1 tập con D

của Rn thành một tập con của R

:

( , , ) ( , , )

n

⊂ →

D gọi là miền xác định của f

VD: 1/ z = f(x,y) = ln(x2 + y2), D = R2 \ {(0,0)}

2/ z = f(x,y) = xy, D = {(x,y)/ x > 0}

3/ F(x,y,z) = xz+z2y + 2 = 0 (hàm ẩn z = z (x,y))

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA HÀM 2 BIẾN

D

Hàm số z = f(x,y) biểu diễn một mặt cong

trong không gian

GIỚI HẠN HÀM 2 BIẾN

0 0

0 0

( , ) ,( , ) ( , ) : lim ( , ) ( , ) lim ( , )

Cho f(x, y), (x,y)∈ D

f hội tụ về a khi (x,y)→ (x0, y0) nếu:

Cách viết giới hạn:

0

( , ) ( , )

lim ( , ) lim ( , )

y y

→

Lưu ý: không lấy giới hạn theo x trước, y sau hoặc

ngược lại.

0 0

0

1 / ( , ) , lim ( , ) ,

x x

y y

→

→

Vì D = R2 và (xn, yn) → (x0, y0)

0 0

0

( , ) , lim ( , ) ,

x x

y y

→

→

⇒ f (xn, yn) = xn → x0, ∀ (xn, yn)

⇔ xn → x0, yn → y0

Vậy

Ví dụ

1 1

2

ln( ) ln 2

x

y

x y

x y

→

→

+

Lấy (xn, yn) → (1,1)

2 ( , )

ln( ) ln 2

n n

f x y

+

+

Ví dụ

• Các phép toán và tính chất của giới hạn hàm 1

biến vẫn còn đúng cho hàm nhiều biến(tổng, hiệu, tích , thương, giới hạn kẹp,…)

• Thay tương đương VCB, VCL, khai triển Taylor,

qtắc L’Hospitale chỉ áp dụng nếu chuyển được sang hàm 1 biến

• Để ý dạng vô định khi tính giới hạn

Một số lưu ý trong tính giới hạn

1 1

3 / lim

1

x

y

x

→

→

−

0 0

 

 ÷

 

( 1) 2( 1)

1

y x

−

( , ) (0,0)

4 / lim

ln(1 )

x y

xy xy

→

+

u u

+ −

+

2 2

5 / ( , ) f x y xy

=

+

Không có ghạn khi (x,y)→ (0, 0)

Chọn 2 dãy điểm:

(0, ) (0,0), ( , ) (0,0)

nhưng

1 lim ( ) 0 lim ( )

2

0

6 / ( , ) x 0

y

x y

f x y

+

2 2

0 | ( , ) | f x y x y x y

vì

nên

0 0

lim ( , ) 0

x y

f x y

→

→

=

2 2

2 2

( x y ) y

+

≤

+

0 0

0

x y

→

= →

HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẤT

f(x, y) liên tục tại (x0, y0) ∈ D

0 0

x x

y y

f x y f x y

→

→

=

• Các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định,

• f liên tục trên tập A đóng và bị chận thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên A

Những tính chất quan trong của hàm số liên tục

Lưu ý: mọi phát biểu trên không gian n chiều cũng tương tự trên không gian 2 chiều