Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụChuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng Số hạng tổng quát unx=anx-x0n 1 hoặc unx=anxn 2 phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo tổng quát dạng 2... Chuỗi l
Trang 1§2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn
(2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo
tổng quát dạng (2)
Trang 2§2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Miền HT của chuỗi lũy thừa
1
n n
n�� a x
= là tập D nếu0
" = � chuỗi số 0
1
n n
Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1
Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)
Trang 4§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa
1
n n
Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh
Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây
tức là chuỗi số 0
1
n n
Trang 5§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Định lý Abel :
Nếu chuỗi lũy thừa
1
n n
n� a x
=
� HT tại x0 � thì nó HTTĐ tại0mọi điểm x �-( | x0 |,| x0 |)
thì nó PK với mọi x thỏa |x|>|x1|
Bán kính hội tụ (BKHT):
1
n n
n� a x
=
� HT với mọi x: |x|<R và
Số R>0 sao cho chuỗi
Hệ quả: Nếu chuỗi
1
n n
Trang 6§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa
Đặt: Thì BKHT là R = r1
Đặt:
Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa
Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận
1
lim | |
| |lim
| |
n
n n
n n
n
a a a
Trang 7§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau
n
x nx
Trang 8§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Trang 9§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
2 Chuỗi lũy thừa với
n n
2
0 � < � � -X 2 0 (x 1) < � -2 1 2 < < +x 1 2
Trang 10§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
3 Chuỗi lũy thừa với
Trang 11-§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
4 Chuỗi lũy thừa với a n n n! , X 1
x n
n e n
+
1 1
Trang 12§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
4 Chuỗi lũy thừa với a n n n! , X 1
x n
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi
Vậy BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U(1/e,+ ∞)
Trang 13§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
Tính chất của chuỗi lũy thừa:
Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D
2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
Trang 14§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
x nx
Trang 15§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
Trang 16-§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
3 Dễ dàng thấy R=1, " � -x ( 1,1) ta đặt
2 1 1
Trang 17§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
4 Dễ dàng thấy R=1, " � -x ( 1,1) ta đặt
1( )
x
-1( ) ln(1 ) 1 1, ( 1,1)
Trang 18§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0
Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi
( )
0
0 0
f x
x x n
(0)
!
n
n n
f
x n
Trang 19§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor)
Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa
Trang 20§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Một số chuỗi Maclaurint cơ bản
x x
n n n
x x
n
x e
n
�
� MHT: D R
Trang 21§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
1 1
4 / ln(1 ) ( 1) ,
n n
n
x x
n
n n
n
x x
n x x
2 n 1 1,1
n n
D
x x
Trang 22§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm:
2 2
Trang 23§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Trang 24§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
x x
Trang 252 1
1.3.5 (2 1) ( ) 1 ( 1)
2 !
n n
§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Hàm khai triển được nếu 0 � � �x2 1 1 � �x 1
0( ) x ( ) (0)
f x � f t dt f � Suy ra:
Trang 26§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàm
1( )
Trang 27-§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi
Maclaurint các hàm bình thường Ta còn có thể áp dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa
0
( )
, ( 1,1)( 1)
n n
-Chuỗi trên là chuỗi lũy thừa với ( 1)
( 1)
n n
0
( )( )
( 1)
n n
Trang 28§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
( 1) 1 ( 1)( 1)
1 0
Trang 29§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 1
1
1(2 )!!
n n
n
x n
n x x x
Trang 30§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
1 1
1(2 )!!
n n
n
x n
Trang 31§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu
tích phân bằng chuỗi, tính tích phân
1
0
1ln
1 1
1
n n
n
x x
( )( 1)
n n
Thay vào tích phân trên
Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa
Tổng riêng : S n = u 1 +u 2 +…+u n và tổng S
Trang 32§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Vậy
Trang 33§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Trang 34§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
ln
56 7 14( 2).7
n n
Trang 35§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
3 1 1
( 1) 2.5.8 (3 4)
2 !
n
n n
n n
n n
n n