ĐẠO hàm và VI PHÂN (PHẦN 2) (GIẢI TÍCH)

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Miền xác định của hàm là tất cả các giá trị của x,y làm biểu thức của hàm có nghĩa Miền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thể

GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN

• CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

• CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI

• CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

• CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT

• CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA

CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

• §1: Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

• §2: Đạo hàm riêng

• §3: Khả vi và Vi phân

• §4: Đạo hàm riêng và vi phân hàm hợp

• §5: Đạo hàm riêng và vi phân hàm ẩn

• §6: Công thức Taylor – Maclaurint

• §7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị

có điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đóng

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Miền xác định của hàm là tất cả các giá trị của (x,y) làm biểu thức của hàm có nghĩa

Miền giá trị của hàm là tập các giá trị mà hàm có thể nhận được

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

f(x,y)

(x,y)

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

 Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt S, khác với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong

Cho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D Đồ thị của f là tập tất cả các điểm M(x, y, z)∈R3, với (x, y)∈D, z = f(x, y)

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Điểm trong : M gọi là điểm trong của D nếu tồn tại

ít nhất r>0 sao cho r- lân cận của M là B(M,r) nằm hoàn toàn trong D

Điểm biên : M gọi là điểm biên của D nếu với mọi r>0, hình cầu mở B(M,r) chứa những điểm thuộc D

và những điểm không thuộc D

Điểm tụ : Điểm M gọi là điểm tụ của D nếu với

mọi r>0, hình cầu mở B(M,r) đều chứa ít nhất 1

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

• Chú ý :

1 Như vậy điểm trong của D chắc chắn thuộc A, còn điểm biên của D thì có thể không thuộc D

2 Điểm biên chắc chắn là điểm tụ, nhưng điểm tụ thì

có thể không là điểm biên

Định lý : Điểm M là điểm tụ của tập D khi và chỉ khi tồn tại dãy điểm Mn (Mn≠M) tiến về M, tức là khi n→∞ thì d(Mn,M) →0

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Tập D được gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó Tập các điểm biên của D gọi là biên của D

Tập D được gọi là tập mở nếu R2\D là tập đóng, khi đó, mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D không chứa bất

kỳ điểm biên nào

Như vậy, có những tập chỉ chứa 1 phần biên mà

không chứa toàn bộ biên nên sẽ là tập không mở,

không đóng.

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Ví dụ : Cho D là phần hình cầu

{( , , ) 3 : 2 2 2 4}

D = x y z Î R x + y +z <

Biên của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đó

D không chứa bất kỳ điểm biên nào tức là mọi điểm thuộc D đều là điểm trong Vậy D là tập mở

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

B

O

B

A

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Biên của D là 3 đoạn OA,

OB, AB Miền D không

chứa đoạn AB tức là D

không chứa mọi điểm biên

nên D không là tập đóng

Tuy nhiên, D không là tập mở vì D chứa các điểm

biên thuộc đoạn OA, OB

Tập D là tập bị chặn vì ta có thể lấy đường tròn ngoại tiếp D chứa D (đường tròn tâm I là trung điểm AB, bán kính r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hình cầu mở

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Ví dụ : Trong R2 cho miền D

{( , ) 2 : 3, 0, 0}

D = x y Î R x + <y x ³ y ³

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Lưu ý: Định nghĩa trên tương tự như giới hạn của

hàm f(x), khi M dần đến M0 (không trùng M0), nếu f(M) dần về a thì ta cũng nói giới hạn của f(M) bằng a

Khi ấy, ta viết

0 0

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Một cách đơn giản hơn, ta định nghĩa giới hạn hàm cho riêng hàm 2 biến x, y theo đường cong như sau

Như vậy: Nếu M dần đến M0 theo 2 đường cong

L1,L2 khác nhau và f(M) dần đến 2 giá trị a1≠a2 thì ta nói không tồn tại giới hạn của hàm f(M) khi M→M0

Khi điểm M dần đến M0 theo mọi đường cong L,

mà hàm f(M) luôn dần về 1 giá trị a thì ta cũng có

0 0

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Giải: Đặt t = xy →0 thì

3 3

-Giải: Ta cho (x,y) →(0,0) theo 2 đường y = x và y = 2x

Vậy giới hạn đã cho là không tồn tại

sin( )lim

1 1

x y

xy xy

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Các tính chất giới hạn của tổng, tích, thương

1 lim(f(x,y)+g(x,y)=a+b

2 lim f(x,y).g(x,y) = a.b

3 lim C.f(x,y) = C.a

f(x,y)

g(x,y)

a b b

§1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục

Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f (x0,y0) xác định và

Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục

Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ

Hợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục

Quy tắc: Khi tính đạo hàm riêng của hàm f(x,y)

theo biến x, ta coi y là hằng số

-§2 : Đạo hàm riêng

0

( ,0) ( ,0) ( ,0) 0 li m 0

f x

x

f f

3 0

§2 : Đạo hàm riêng

Ví dụ : Tính các đhr của hàm f(x,y,z) = ( y / x ) z

Giải: Ta tính 3 đhr của hàm 3 biến

Để tính đhr của f theo x hoặc y, ta viết lại

f(x,y,z) = y z x -z

rồi tính đạo hàm bình thường

Lấy đhr theo x: y z , z là hằng số nên: f’ x = y z (-z)x -z-1

Tương tự: f’ y = zy z-1 x -z

Cuối cùng, tính đhr theo z thì ta sẽ để nguyên hàm ban đầu vì y / x là hằng số nên : f’z = (y/x)zln(y/z)

f(x,y,z) = y z x -z

rồi tính đạo hàm bình thường

Để tính đhr của f theo x hoặc y, ta viết lại

f(x,y,z) = y z x -z

rồi tính đạo hàm bình thường

§2 : Đạo hàm riêng

Định lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) và các đạo hàm

riêng f’x, f’y, f”xy, f”yx tồn tại và liên tục trong miền mở chứa (x0,y0) thì f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0)

Ghi chú :

1 Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lý

Schwartz đúng tại các điểm tồn tại đạo hàm

2 Định lý Schwartz còn đúng cho các đạo hàm riêng

từ cấp 3 trở lên Tức là các đạo hàm riêng hỗn

hợp bằng nhau khi số lần lấy đạo hàm theo mỗi biến bằng nhau, mà không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm theo các biến

§2 : Đạo hàm riêng

Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau

(không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến)

Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz Tính đạo

Định lý 1: Hàm khả vi tại (x0,y0) thì liên tục tại đó

Định lý 2: (Điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f(x,y) khải

vi tại (x0,y0) thì nó có các đạo hàm riêng theo x, y tại (x0,y0) và tương ứng bằng A, B trong định nghĩa vi

phân

§3 : Khả vi và Vi phân

Định lý 3: (Điều kiện đủ khả vi) Cho f(x,y) xác định trong miền mở chứa (x0,y0) và các đạo hàm riêng liên tục tại (x0,y0) thì hàm khả vi tại (x0,y0)

Từ 2 định lý 2, 3 ta có biểu thức của vi phân

§3 : Khả vi và Vi phân

Ví dụ: Cho hàm f(x,y) = 2x2y – 3xy2 Tính df(2,-1)

Giải:

Tính đạo hàm riêng f x¢= 4xy - 3 ,y f2 y¢= 2x2 - 6xy

Thay vào công thức vi phân df(2,-1) = -11dx + 20dy

Ví dụ : Tính vi phân hàm f(x,y) = (xy)z

Tương tự như hàm 2 biến, ta có vi phân hàm 3 biến

æ¶ ¶ ö÷ç

Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y)

Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z)

3 3