Phân tích đa thức thành nhân tử (nâng cao)

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao... Cho số tự nhiên n.[r]

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao.

Các ví dụ.

Ví dụ 1 Phân tích thành nhân tử đa thức a3b3c3 3abc

Ta áp dụng: A B 3A33A B2 3AB2B3 A3B33AB A B  

Ta có : a3b3c3 3abca b 3 3ab a b   c3 3abc

a b3 c3 3ab a b c 

a b c3 3a b c a b c   3ab a b c 

a b c  a b c2 3a b c 3ab

a b c a  2 b2 c2 ab bc ca

Vi dụ 2 Cho các số , ,a b c Chứng minh

a b 3b c 3c a 33a b b c c a        Đặt A a b B b c C c a  ,   ,   ta có : A B C a b b c c a        0

Áp dụng kết quả câu a) ta có :

    hay a b 3b c 3c a 3 3a b b c c a       

Ví dụ 3 Phân tích thành nhân tử đa thức x1 x2 x3 x4  3

Nhận xét : x1 x4 x2 5x4

x2 x3 x25x6

Đặt t x 2 5x 4 x1 x4 x2 x3  t 2

Thay vào đa thức trở thành :

 2 3 2 2 3 2 3 3  1 3 1  1  3

t t   t  t t  t t t t  t  t t

Do đó x1 x2 x3 x4 3x25x3 x25x7

Nhận xét : Ta có thể đặt t x 25x hoặc t x 25x hoặc 6 t x 25x 5 quan trọng là có chứa phần biến x25x là được

Ví dụ 4 Cho số tự nhiên n Chứng minh n n 2 3  n4  n n2 3 n2 chia hết cho 6

Ta có: n n 2 3  n4 n n2 3 n2 n n 2  3n4  2n3

 1  2

Vì ,n n1,n là ba số tự nhiên liên tiếp nên phải có ít nhất một số chia hết cho 2,2

ít nhất một số chia hết cho 3 và do 2;3  nên 1 n n 1 n2 chia hết cho 6

Bài tập.

Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)a b c2   b c a2   c a b2  

b) a b c ab bc ca        abc

c) ab a b   bc b c   ca a c  

d) a b 2 c2 b c 2a2 c a 2b2 2abc

e) a b a   2 b2 b c b   2 c2 c a c   2 a2 g) a b c3   b c a3   c a b3  

h) a c b3  2 b a c3  2 c b a3  2 abc abc  1

i) a a 2b3 b a b2  3

j) a b c   2 b c  b c a   2 c a c a b   2 a b  k) a b c  3b c a  3c a b  3

l) a b a b2 2  b c b c2 2  c a c a2 2  

m) a b 2c2b c 2a2 c a 2b2  2abc a 3 b3 c3

n) a b c4  b c a4   c a b4  

o) a3b3c3 3abc

p) abc ab bc ca    a b c    1

Bài 2 Cho , , ,a b c d là các số Chứng minh

ac bd 2ad bc 2 a2 b2 c2d2

Bài 3 Cho , , ,a b c d thỏa a b c d    Chứng minh0

3 3 3 3 3

a b c d  ab cd c d 

Bài 4 Phân tích thành nhân tử

a)x 2 x1 x3 x650

b)x1 x3 x5 x712

c)x 1 x 2 x 3 x 4 8

Bài 5 Cho n là số tự nhiên Chứng minh 4n n 12  n n 1 3  n5 chia hết cho 6

Bài 6 Cho m là một số nguyên tùy ý Chứng minh

a)3m4  14m321m2 10m24 b)m5 5m45m35m2 6 120m

Bài 7 Cho m là một số nguyên lẻ Chứng minh

a)m33m2 m 3 48 b)m12 m8 m4  1 512

Bài 8 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên TP.HCM năm 2010-2011)

Cho hai số dương ,a b thỏa a100 b100 a101b101 a102 b102

Tính giá trị biểu thức P a 2010 b2010

Bài 9 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004-2005)

Cho các số thực ,a b dương thỏa a100 b100 a101b101a102 b102

Tính giá trị biểu thức P a 2004 b2004

Bài 10 (Đề thi học sinh giỏi giải thưởng Lê Quí Đôn, Trường THCS Lê Quí Đôn,

Quận 3, TP.HCM, năm học 2001 - 2002)

Cho , , ,a b c d thỏa mãn a b c d   và a2b2 c2d2

Chứng minh a2002b2002 c2002 d2002