Phân Tích đa thức ra nhân tử Nâng cao

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử làmột nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập.. Để giúp học

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU trang 02

I. Lí do chọn đề tài trang 02

II. Đối tượng nghiên cứu trang 02

III. Phạm vi nghiên cứu trang 03

IV. Phương pháp nghiên cứu trang 03

B NỘI DUNG trang 04

I Cơ sở lí luận trang 04

II Cơ sở thực tiễn trang 05 III Giải quyết vấn đề trang 07

C KẾT LUẬN trang 26

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

A MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử làmột nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập Phươngpháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rútgọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bàitoán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về saunày

Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy họcsinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phảinhững sai sót khi làm bài tập

Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng đượcmột số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhântử, do đó tôi chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ

phân tích đa thức thành nhân tử; cịn “dễ” ở đây là khi giáo viên đã đưa ra các phương pháp

cụ thể cho học sinh thì với mỗi bài tốn cụ thể các em cĩ thể đưa ra phương pháp giải mộtcách chính xác Đĩ là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được tơi tích lũytrong quá trình học và dạy tốn, với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng giải cácdạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp trong chương trình lớp 8 cũng nhưtrong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp

Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Mở đầu, Phần II là Nội dung và Phần III là Kết quả, bài học kinh nghiệm Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương pháp phântích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể, bài tập tự luyện Một số ví dụ nhận định một số sai sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh

II- ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

- Không gian : Học sinh lớp 8A7 Trường THCS Phan Bội Châu

- Thời gian : 2 giai đoạn trong năm học 2012 – 2013

Giai đoạn 1: Từ tháng 10/ 2012 đến thi học kì I

Giai đoạn 2: Từ tháng 01/ 2013 đến giữa học kì II

IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

1 Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan

+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập

+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông

+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán

+ Đổi mới phương pháp dạy học toán

+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8

+ Sách bồi dưỡng năng lực tự học tốn 8

2 Điều tra:

a Dự giờ:

- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ

- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ Qua đó, tôi luôn chú ý đến phươngpháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó giúp tôi tích lũymột số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương pháp dạy học

b Đàm thoại:

- Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các nguyênnhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở từng dạng toán cụthể Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần nào học sinh chưa biết cách trình bày để cóbiện pháp xử lí kịp thời

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

- Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện pháp nângcao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp khác

c Thực nghiệm:

- Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành ngay tạilớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng cố kiến thức ngay tạilớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản mộtcách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh Đồng thời giáo viên phảichú trọng bước hướng dẫn học sinh tự học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thức đãhọc và vận dụng giải các bài tập ở nhà tạo thói quen tự học cho học sinh Ngồi ra đối vớihọc sinh khá giỏi giáo viến nên cĩ thêm những bài tập đỏi hỏi tính tư duy cao

d.Theo dõi các bài kiểm tra:

- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá, giỏicập nhật vào sổ điểm riêng Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp cho từng đốitượng học sinh

B- NỘI DUNGI- CƠ SỞ LÍ LUẬN:

- Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công cụ cho các mônhọc khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán trongchương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thếđược trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kỹnăng và biết ứng dụng toán học vào thực tiễn Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc rèn chohọc sinh có kỹ năng giải bài tập toán có vai trò quyết định trong việc nâng cao chấtlượng học tập của học sinh

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

- Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú,

đa dạng và không đơn giản đối với học sinh THCS Nội dung này được đưa vào chươngtrình toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước với dạng bài toán ngượcáp dụng tích chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên các tập hợp số Vớilượng thời gian phân phối chỉ có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơ sở vậndụng cho các chương sau và lớp sau trong các phần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫusố các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giải phương trình,…”

- Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thứcthành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốtđiều này đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quansát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹ năng giải toán, vận dụng bài toán Tuỳtheo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở cácphương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng thêm các cách giải khác nhằm nâng caochất lượng học tập bộ môn của học sinh

II- CƠ SỞ THỰC TIỄN:

- Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phối chương trình chỉ có 6tiết từ tuần 5 cho đến tuần 7 nên khi học dạng toán này đa số học sinh còn rất lúng túngtrong việc áp dụng phương pháp, đối với học sinh khá giỏi còn nhiều vấn đề chưa đượcđề cập đến Do đó kết quả qua các bài kiểm tra của học sinh còn thấp, còn nhiều họcsinh yếu, kém, số lượng học sinh giỏi thấp

- Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng của học sinh khi giải toán như sau:+ Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ?Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học

+ Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khácnhau

+ Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

- Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa cókỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau :

Đối với giáo viên :

Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiều phương pháp đễ dẫn dắt học sinh tìmhiểu kiến thức nhưng nội dung bài học nhiều không đảm bảo được thời lượng 45 phút nênchưa có được phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng loại đối tượng học sinh

Đối với phụ huynh:

Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đônđốc việc học của học sinh Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường, không kiểmtra được việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp

Đối với học sinh :

+ Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học

+ Đa số học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sát nhận xét, biến đổi và thực hànhgiải toán Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới cộng thêm việckhông chủ động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến chây lười trong học tập.+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫnnại khi gặp bài toán khó

+ Không có thói quen tự học ở nhà : không làm bài, học bài , soạn bài trước khi đếnlớp

+ Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi

- Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh có kỹ năng giảibài toán phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinh yếu kém bộmôn Để giải quyết các vấn đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra những phươngpháp cơ bản, phương pháp nâng cao cho học sinh khá giỏi thông qua những bài tập cụ thể,những tiết dạy bịi dưỡng học sinh giỏi, tiết dạy buổi hai giúp các em hiểu rõ và vận dụng

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

các phương pháp này khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng caochất lượng học tập cho học sinh

III- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

PHẦN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

- Sắp xếp bài toán theo các mức độtừ dễ đến khĩ

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhĩm hạng tử

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

• Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán

• Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành

• Tìm cách giải hay, khai thác bài toán

3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

Phương pháp: Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung

A.B + A.C = A ( B + C)

 Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số)

 Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất)

 Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) 5x x2( − 2y)− 15x x( − 2y)

GV: Tìm nhân tử chung của các hệ số?

HS: Nhân tử chung của các hệ số là 5 vì ƯCLN(5;15) = 5

GV: Tìm nhân tử chung của các biến?

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2

= ( x – y) [9x + 10( x – y)]

= ( x – y)(19x – 10y)

Sai lầm:

- Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2

- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x)2 của tích – 10( y – x)2

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử

- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích

Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Phương pháp: Biến đổi để xuất hiện một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.

Cách giải đúng:

( x – y )2 – ( x + y )2 = [( x – y ) + ( x + y )].[( x – y ) – ( x + y )]

= ( x – y + x + y ).( x – y – x – y )

= 2x.( –2y) = –4xy

Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập dưới

dạng phức tạp hơn

2) 10x− 25 −x2 3) 3 1

8 8

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

- Quy tắc dấu ngoặc

- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác

Bài tập áp dụng:

1) 25a2 − 1 6) 1 3 3

8

8x + y

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhĩm hạng tử.

Phương pháp: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức

 Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm

 Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức

 Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức

Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1) 3x2 − 3xy− 5x+ 5y 2) x2 + 4x y− 2 + 4 3) x2 – 2x – 4y2 – 4yGiải:

1) 3x2 − 3xy− 5x+ 5y

Cách giải sai: 3x2 − 3xy x y− + = 3x x y( − − −) (x y) (= −x y x)3

Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.

Cách giải đúng: 2 ( ) ( ) ( ) ( )

3x − 3xy− 5x+ 5y= 3x x y− − 5 x y− = −x y 3x− 5

2) x2 + 4x y− 2 + 4

Sai lầm: HS khơng biết nhĩm các hạng tử nào với nhau.

GV: Nếu như nhĩm 2 hạng tử khơng được ta nhĩm ba hạng tử

Cách giải đúng: 2 2 2 2 ( )2 2 ( ) ( )

Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.

Cách giải đúng:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

= ( x + 2y )( x – 2y – 2 )Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:

- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử

- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Phương pháp: Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:

 Phương pháp đặt nhân tử chung

 Phương pháp dùng hằng đẳng thức

 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phân tích chưa triệt để.

Cách giải đúng:

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHể ĐẾN DỄ

8xy +x x y− =x 8y + −x y 

Sai laàm: Học sinh thường mắc phải sai lầm là phõn tớch chưa triệt để.

Caựch giaỷi ủuựng:

Qua caực vớ duù treõn giaựo vieõn cuỷng coỏ caực kieỏn thửực cụ baỷn cho hoùc sinh:

- Khi số mũ của phần biến lớn hơn hoặc bằng 2 thỡ ta vẫn cú thể phõn tớch được nữa

Phương phỏp: Thêm, bớt cùng một hạng tử để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức

nhằm xuất hiện nhân tử chung mới hoặc xuất hiện hằng đẳng thức, đặc biệt là xuất hiện hiệu của hai bình phơng

Đõy là một kỹ thuật rất quan trọng liờn quan đến dạng toỏn tỡm Min, Max, do đú GV cần phải hướng dẫn thật kỹ phương phỏp này cho HS

Vớ dụ 5: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:

1) x2 − 2x− 3 2) x2 + 4xy− 5y2

Giải:

1) x2 − 2x− 3

GV: Đối với phương phỏp này cỏc em nờn tỏch để đưa về dạng A2 ± 2AB B+ 2

GV: Theo em ở cõu 1 chỳng ta nờn tỏch hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức?

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1

Cách giải đúng:

Đối với câu 2 thì GV cũng hướng dẫn học sinh như câu 1

Cách giải đúng:

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TỪ KHĨ ĐẾN DỄ

Cách giải đúng:

Dạng 7: Dạng thêm bớt khi số mũ chia 3 dư 1, số mũ chia 3 dư 2

Phương pháp: Ta biến đổi giảm dần số mũ của đa thức để xuất hiện nhân tử chung x2 + +x 1

GV: Bước đầu tiên các em biến đổi giảm dần số mũ như sau: x5 + +x4 x3

GV: Như vậy khi ta thêm x4 +x3 thì ta sẽ bớt x4 +x3 ở phía sau, ta được: x5 + + − −x4 x3 x4 x3GV: Ta lại tiếp tục thêm bớt như vậy cuối cùng ta được:

GV: Đối với câu 2 này các em cũng vẫn thực hiện theo cách trên

Cách giải đúng: