Chia hai đa thức một biến đã sắp xếp (Cơ bản – nâng cao)

Tìm thương và phần dư.. Tìm thương và phần dư.[r]

toanth.net

CHIA HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP Một số định nghĩa

+ Cho hai đa thức P x Q x ,   Khi chia P x  cho Q x  ta được

       

P x Q x H x R x

Trong đó H x  ta gọi là đa thức thương, R x  ta gọi là đa thức dư (hay phần dư)

Đa thức P x  chia hết cho đa thức Q x  khi và chỉ khi đa thức dư

  0

R x  Khi đó ta kí hiệu P x Q x 

+ Định lí Bezu Đa thức P x  khi chia cho đa thức xa thì có số dư là

 

P a

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho đa thức   3 2

P x  x  ax x a Tìm a để P x  chia hết cho

đa thức x 2

Giải

 

P x chia cho x 2 có số dư là   3 2

2 2 2 2 2 3 10 5

Để P x  chia hết cho x 2 thì số dư P 2  0 10 5 a 0 a2

Ví dụ 2 Cho đa thức   4 3 2

P x  x  x  ax bx Tìm a b, để P x  chia hết cho đa thức x2x1

Giải

Đa thức P x  chia cho x 2 có số dư là P 2 8a2b1

Đa thức P x  chia cho x 1có số dư là P 1 2a b 4

toanth.net

Vì P x  chia hết cho x2x1 nên P x  cũng chia hết cho x 2 và

x 1 nên ta có: 2a b    4 0 b 2a4 và 8a2b 1 0

Thay b2a4 vào ta có: 8 2 2 4 1 0 12 9 3

4

a a    a   a 

5

2

b

 

Vậy 3, 5

a  b là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 Tìm số nguyên n để   3

P x m  m chia cho Q x m2 có giá trị là một số nguyên

Giải

Ta có: P x   m23 6m22 14m211

Do đó  :    22 6 2 14 11

2

m



Vì m là số nguyên nên m 2 cung là số nguyên Do đó để P x :Q x  nhận giá trị nguyên thì m 2 phải là ước của 11, nghĩa là m   2  11; 1;1;11 

m   m 

m   m

m  m

m  m

Vậy m  9;1;3;13 là các giá trị cần tìm

Bài tập

toanth.net

Bài 1 a) Thực hiện phép chia đa thức   2

P x  x  x cho đa thức

  2

Q x  x Tìm thương và phần dư

b) Thực hiện phép chia đa thức   4 3 2

P x  x  x  x  cho đa thức

  2

3

Q x  x  Tìm thương và phần dư

c)Thực hiện phép chia đa thức   4 3 2

P x  x  x  x  cho đa thức

  2 1

Q x  x Tìm thương và phần dư

Bài 2 Thực hiện phép chia đa thức cho đa thức, tìm thương và phần dư

a)  3 2   

x  x x c)  3 2   

4x  4x  5x x  x 2 : 4x  x 2 e)  2 3   

5x  2x   2 9x : x 3 g)  3 4 2   

2x  4x  10x  4x 1 : x 2 h)  4 5 2 3   2 

i)  3 3  2 2  2  

Bài 3 Tìm thương và phần dư của các phép chia sau

a)  2   

x x  x  x x  x c)  4 6 3 2   3 

x  x  x e)  4 3 2   2 

8x  4x  12x 6 : x  x 4

Bài 4 Một đa thức P x  khi chia cho x 1 dư 3, khi chia cho x 2 dư

5 Tìm phần dư khi chia P x  cho x1x2

P x  x  x  x kx chia hết cho x 3 Tìm k

Bài 6 Cho   4 2

2

P x  x ax bx chia hết cho x1x2 Tìm a b,

toanth.net

P x  x  x  x  x và a Q x  x 5.Tìm a để

   

P x  Q x

Bài 8 Cho   3 2

P x  x  x bx và Q x 2x1 Tìm b để P x Q x   

Bài 9 Tìm số nguyên n sao cho  3 2   

A n  n  n n là một số nguyên

Bài 10 Tìm số nguyên m sao cho  3   

B m  m m nhận giá trị nguyên

Bài 11 Chia   50 31

1

P x x x  chia cho   2

1

Q x x  Tìm đa thức dư