Tuy nhiên, với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua một điểm, qua một đờng thẳng“ thì không đợc trình bày trong sách giáo khoa, ở rải rác các sách tham
Trang 1I Đặt vấn đề
Trong chơng trình Toán THPT những bài toán về hàm số rất đa dạng và phong phú, đã có nhiều cuốn sách viết về các chuyên đề xung quanh hàm số Tuy nhiên, với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua một
điểm, qua một đờng thẳng“ thì không đợc trình bày trong sách giáo khoa, ở rải rác
các sách tham khảo, một số tác giả đã viết một số bài tập với lời giải dựa trên công thức đổi trục toạ độ, với phơng pháp này học sinh phải nhớ công thức đổi trục toạ độ, nhớ đợc tính chất của hai hàm số đối xứng nhau qua gốc toạ độ, qua trục hoành, qua trục tung
Với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua một điểm, qua một đờng thẳng” Nếu chỉ dừng lại ở cách giải thông thờng nhờ phơng pháp đổi trục toạ độ thì đó là điều bình thờng ở đây ta hãy nhìn vấn đề dới góc độ khác, cách giải quyết khác để giải quyết bài toán hiệu quả hơn và có thể mở rộng sang các bài toán phức tạp hơn
Trong bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp về “Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua một điểm, một đờng thẳng“.
Tôi hy vọng phơng pháp này sẽ giúp các em học sinh giải quyết tốt các bài tập cùng dạng trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng và khích lệ tinh thần say mê sáng tạo trong học tập của các em, góp phần nâng cao chất lợng cho học sinh Tỉnh nhà
II Nội dung 1/ Lý thuyết: Xét trong hệ trục toạ độ Oxy.
+ Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua I(x0; y0)
⇔I là trung điểm của AB
⇔
= +
= +
0 2 1
0 2 1
y2 y y
x2 x x
+ Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đờng thẳng x = a
⇔ I là trung điểm của AB; với I(a; y1)
⇔
=
= +
2 1
2 1 y y
a2 x x
+ Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đờng thẳng y = b
⇔ I là trung điểm của AB; I(x1; b)
Trang 2
= +
=
b2 y y
x x
2 1
2 1
+ Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đờng thẳng (d):
y = ax + b (a ≠ 0)
⇔ I là trung điểm của AB; I(x0; y0) là hình chiếu của A trên đờng thẳng (d)
⇔
= +
= +
0 2 1
0 2 1
y2 y y
x2 x x
2/ Các bài toán.
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối
xứng với (C) qua điểm I(x1; y1)
Bài giải :
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I
⇔ I là trung điểm của AB
⇔
= +
= +
1 0
1 0
y2 y y
x2 x
x
⇔
−
=
−
=
y y2 y
x x2 x 1 0
1 0
) y y 2
; x x 2 (
A 1 − 1 −
⇒
Mà A ∈ (C) ⇔ 2y1 – y = f(2x1 – x)
⇔ y = g(x)
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Ví dụ 1: Cho y = x3 – 3x + 1 (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1)
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I
⇔ I là trung điểm của AB
Trang 3
=
= +
=
=
+
2 y2 y y
2 x2 x x
I 0
I 0
⇔
−
=
−
=
y 2 y
x 2 x 0
0
) y 2
; x 2 (
⇒
Do A ∈ (C) ⇔ 2 – y = (2 – x)3 – 3(2 – x) + 1
⇔ y = x3 – 6x2 + 9x - 1
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = x3 – 6x2 + 9x – 1
Ví dụ 2: Cho y = 2xx−+11 (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1)
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I
⇔ I là trung điểm của AB
⇔
=
= +
=
=
+
2 y2 y y
4 x2 x x
I 0
I 0
⇔
−
=
−
=
y 2 y
x 4 x 0
0
) y 2
; x 4 (
⇒
Do A ∈ (C) ⇔ 2 – y =
1 x 4
) x 4 ( 2
−
−
− ⇔ y =
3 x
3
−
Kết luận: Hàm số cần tìm là y =
3 x
3
−
* Ngay cả với những đờng cong không là đồ thị của một hàm số, ta cũng giải quyết bài toán dễ dàng nhờ công thức trung điểm; Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho (E):
4
y 9
x 2 2
Tìm phơng trình của đờng cong (C) mà (C) đối xứng với (E) qua điểm I(3;2)
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (E)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I
⇔ I là trung điểm của AB
Trang 4
= +
=
+
4 y y
6 x x
0
0
⇔
−
=
−
=
y 4 y
x 6 x 0
0
) y 4
; x 6 (
⇒
4
) y 4 ( 9
) x 6
=
− +
−
Kết luận: Đờng cong cần tìm có phơng trình 1
4
) 4 y ( 9
) 6 x
=
− +
−
Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x), (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = b
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C) I(x0; b)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = b
⇔ I là trung điểm của AB
⇔
= +
=
b2 y y
x x
0
0
⇔
−
=
=
y b2 y
x x 0
0
) y b 2
; x (
⇒
Mà A ∈ (C) ⇔ 2b – y = f(x)
⇔ y = g(x)
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = 1
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C) I(x0; 1)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = 1
⇔ I là trung điểm của AB
⇔
= +
=
2 y y
x x
0
0
⇔
−
=
=
y 2 y
x x 0
0
) y 2
; x (
⇒
Mà A ∈ (C) ⇔ 2 – y = x3 – 3x2 + 2
⇔ y = -x3 + 3x2
Trang 5Kết luận: Hàm số cần tìm là y = -x3 + 3x2.
Ví dụ 2: (Học viện kỹ thuật quân sự – 1999).
Cho hàm số y =
2 x
2 x
x 2
−
− + (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C) I(x0; 2)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = 2
⇔ I là trung điểm của AB
⇔
= +
=
4 y y
x x
0
0
⇔
−
=
=
y 4 y
x x 0
0
) y 4
; x (
⇒
Mà A ∈ (C) ⇔ 4 – y =
2 x
2 x
x 2
−
− +
⇔ y =
x 2
6 x
x 2
−
+
−
Kết luận: Hàm số cần tìm là y =
x 2
6 x
x 2
−
+
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x); (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x = a
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C) I(a; y0)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = a
⇔ I là trung điểm của AB
⇔
=
=
+
y y
a2 x x
0
0
⇔
=
−
=
y y
x a2 x 0
0
) y
; x a 2 (
⇒
Mà A ∈ (C) ⇔ y = f(2a-x)
⇔ y = g(x)
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Trang 6Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x=-1
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C) I(-1; y0)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = -1
⇔ I là trung điểm của AB
⇔
=
−=
+
y y
2 x x
0
0
⇔
=
−
−=
y y
x 2 x 0
0
) y
; x 2 (
A − −
⇒
Mà A ∈ (C) ⇔ y = (-2 – x)3 – 3(-2 – x)2 + 2
⇔ y = -x3 – 9x2 – 24x - 18
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = -x3 – 9x2 – 24x - 18
Ví dụ 2: Cho hàm số y =
2 x
1 x 2
−
+ (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x = 1
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C) I(1; y0)
B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = 1
⇔ I là trung điểm của AB
⇔
=
=
+
y y
2 x x
0
0
⇔
=
−
=
y y
x 2 x 0
0
) y
; x 2 (
⇒
Mà A ∈ (C) ⇔ y =
2 x 2
1 ) x 2 ( 2
−
−
+
−
⇔ y =
x
5 x
2 −
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = 2xx−5
Bài toán 4: Cho hàm số y = f(x); (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng (d):
y = ax + b (a ≠ 0)
Trang 7Bài giải:
+ Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C)
+ Viết phơng trình đờng thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d)
y =
a
1
− (x – x0) + y0 (Δ)
+ Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ:
+
−
−
=
+
=
0
0) y x
x(
a
1 y
b ax y
⇔
=
=
I
I y x
+ B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) ⇔ I là trung điểm của AB
⇔
= +
= +
I 0
I 0 y2 y y
x2 x
x
⇔
−
=
−
=
y y2 y
x x2 x
I 0
I 0
⇒A(2xI – x; 2yI – y)
+ Do A ∈ (C) ⇔ 2yI – y = f(2xI – x)
⇔ y = g(x)
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Ví dụ 1: (Đại học lâm nghiệp – 2001).
Cho hàm số y =
3 x
1 x 3
− + (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng (d):
x + y – 3 = 0
Bài giải:
+ Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C)
+ Phơng trình đờng thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là:
y = (x – x0) + y0 (Δ) + Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ:
Trang 8
+
−
=
+
−=
0
0 y x x y
3 x
y
⇔
+
−
=
− +
=
2
y x 3 y
2
y x 3 x
0 0 I
0 0 I
+ B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) ⇔ I là trung điểm của AB
⇔
+
−
=
= +
− +
=
= +
0 0 I
0
0 0 I
0
y x 3 y2 y y
y x 3 x2 x
x
⇔
−
=
−
=
x 3 y
y 3 x 0 0
⇒A(3-y; 3-x)
+ Do A ∈ (C) ⇔ 3 - x = 3
y
10 3
y 3
1 ) y 3 ( 3
+
−
=
−
−
+
−
⇔ y =
x 10
Kết luận: Hàm số cần tìm là y =
x
10
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x2 + 2x + 3 (C)
Tìm phơng trình của đờng cong (P) mà (P) đối xứng với (C) qua đờng thẳng (d): y = x – 1
Bài giải:
+ Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C)
+ Phơng trình đờng thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là:
y = - (x – x0) + y0 (Δ) + Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ:
+ +
−=
−
=
0
0 y x x y
1 x
y
⇔
+ +
−
=
+ +
=
2
y x 1 y
2
y x 1 x
0 0 I
0 0 I
+ B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) ⇔ I là trung điểm của AB
Trang 9
+ +
−=
= +
+ +
=
= +
0 0 I
0
0 0 I
0
y x 1 y2 y y
y x 1 x2 x
x
⇔
−
=
+
=
1 x y
1 y x 0 0
⇒A(y + 1; x - 1)
+ Do A ∈ (C) ⇔ x - 1 = (y + 1)2 + 2(y + 1) + 3
⇔ x = y2 + 4y + 6
Kết luận: Đờng cong cần tìm có phơng trình x = y2 + 4y + 6 (P)
* (C) là Parabol có đỉnh tại điểm M(-1; 2) và có trục đối xứng là đờng thẳng x = -1; (P) là Parabol có đỉnh tại điểm N(2; -2) và có trục đối xứng là đờng thẳng y = -2.
Chú ý: Các bài toán 1, 2, 3 đều có thể giải đợc bằng phơng pháp đổi trục toạ
độ; Ta lấy một ví dụ: (Học viện kỹ thuật quân sự – 1999)
Cho hàm số y =
2 x
2 x
x 2
−
−
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2
Bài giải:
+ Đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY gốc I(0; 2) theo công thức:
+
=
=
Y 2 y
X x
+ Hàm số đã cho trở thành 2 + Y =
2 X
2 X
X 2
−
− +
⇔ Y =
2 X
2 X
X2
−
+
− = F(X)
+ Do hàm số cần tìm đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2 (trục hoành đối với hệ IXY) nên hàm số cần tìm có dạng: Y = - F(X)
⇔ Y = -
2 X
2 X
X 2
−
+
−
⇔ y – 2 = -
2 x
2 x
x2
−
+
−
⇔ y =
x 2
6 x
x 2
−
+
−
2 − +
Trang 10Nhận xét 1: Bạn đọc tự so sánh cách giải này với cách giải dùng tính chất trung điểm
(Bài toán 2 – ví dụ 2) để thấy đợc tính ngắn gọn trong việc trình bày; sử dụng tính chất trung điểm, học sinh không phải dùng đến các tính chất khác của hàm số
Nhận xét 2: Sử dụng phơng pháp đổi trục toạ độ còn có hạn chế thứ 2 đó là: chỉ giải
quyết đợc khi (C) là đồ thị của hàm số; khi đờng cong đã cho không là đồ thị của một hàm số mà muốn sử dụng phơng pháp đổi trục toạ độ ta phải tách đờng cong ra từng phần sao cho đờng cong trong mỗi phần đó ứng với một hàm số xác định sau đó mới áp dụng công thức đổi trục
Ta xét một ví dụ: (E)
4
y 9
x 2 2
+ = 1 (1)
Rõ ràng đơng cong (E) không là đồ thị của hàm số (vì tồn tại đờng thẳng song song với Oy mà cắt (E) tại hai điểm) Để tìm một đờng cong đối xứng với (E) qua một điểm hay qua một đờng thẳng theo phơng pháp đổi trục toạ độ ta phải làm nh sau:
+ (1) ⇔ y = 36 4 x 2
3
1
−
±
Khi đó ta có hai hàm số:
y = f(x) = 36 4 x 2
3
1
−
y = g(x) = 36 4 x 2
3
1
−
−
Sau đó ta áp dụng công thức đổi trục toạ độ cho từng hàm số, cuối cùng hợp lại ta đợc đờng cong cần tìm
Vậy phơng pháp đổi trục toạ độ đối với những đờng cong không là hàm
số thì lời giải rõ ràng dài dòng và phức tạp Trong khi đó nếu sử dụng tính chất trung điểm ta có lời giải quá ngắn gọn và hiệu quả (xem bài toán 1 “ ví dụ 3) 3/ Bài tập luyện tập.
Bài 1: Cho hàm số y = x2 + 2x – 5 (P)
1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua điểm I(-1; 1)
2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng x=3
3, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng y = -1
4, Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng x + y + 2 = 0
Bài 2: Cho y = x + x1−1 (C)
1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1)
2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng x = -1
Trang 113, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2.
4, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = x + 3
Bài 3: Cho (E) 1
9
y 16
x 2 2
= +
Tìm phơng trình các đờng cong (E1), (E2), (E3), (E4) sao cho
1, (E1) đối xứng với (E) qua điểm I(4; 5)
2, (E2) đối xứng với (E) qua đờng thẳng x = 5
3, (E3) đối xứng với (E) qua đờng thẳng y = -3
4, (E4) đối xứng với (E) qua đờng thẳng x – y = 0
III Kết luận.
+ Nếu nhìn nhận bốn bài toán trên theo cách nhìn thông thờng (đổi trục toạ
độ) thì đó là 4 bài toán riêng biệt: Đối xứng qua gốc toạ độ, đối xứng qua trục hoành,
đối xứng qua trục tung (xét trong hệ toạ độ mới) Xong nếu sử dụng tính chất trung
điểm thì bốn bài toán trên đợc xem nh là một, nh vậy tính chất trung điểm đã là
ph-ơng pháp chung cho cả bốn bài toán đó, học sinh vận dụng dẽ dàng và đạt hiệu quả tốt trong quá trình làm bài Hơn nữa phơng pháp trung điểm còn khắc phục đợc những khó khăn của phơng pháp đổi trục toạ độ đối với các đờng cong cha là đồ thị của hàm số
+ Trong quá trình giảng dạy ngoài việc đổi mới phơng pháp giảng dạy, giáo viên cũng phải thờng xuyên làm giàu thêm chi thức của mình thông qua các hoạt
động chuyên đề, dự giờ v.v Mỗi nét thông minh sáng tạo của học trò, những lời giải hay, những câu hỏi tởng trừng ngớ ngẩn v.v… Tất cả những điều đó đều giúp ngời thày tự điều chỉnh phơng pháp cũng nh nội dung để kết quả giảng dạy ngày một cao hơn
+ Chuyên đề này tôi đã áp dụng giảng dạy trong nhiều năm, nhất là các em học sinh lớp 12, các em tỏ ra rất hào hứng tiếp thu – vận dụng tốt và giải quyết có hiệu quả các bài tập dạng này; Tuy nhiên tôi không bỏ qua việc giới thiệu phơng pháp đổi trục toạ độ để kiến thức của các em hoàn chỉnh hơn ở mọi phơng diện; qua
đó các em cũng thấy đợc tính t duy mềm dẻo và sáng tạo trong toán học là điều rất cần thiết và tăng thêm tính say mê, tìm tòi, sáng tạo trong học tập của các em
+ Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý cho chuyên
đề này