Đề thi học sinh giỏi

Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trên một đường tròn.. Xác định hình dạng tứ giác ADHE.[r]

TRƯỜNG THCS YÊN GIẢ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TRƯỜNG Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát

đề)

Ngày thi: 31/12/2015.

Bài 1: (3,0 điểm)

Cho a, b, c > 0 Chứng minh:

a b

b a 

b)

Bài 2: (3,0 điểm)

Cho biểu thức A=

:

a) Rút gọn A

b) Tìm x sao cho A < 1

Bài 3: (4,0 điểm)

Giải phương trình

a) x 6 x9 2

b)

x x x x x x

Bài 4: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n  41 là hai số chính phương

Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh đa thức sau.

A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n

Bài 6: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, đường cao AH Đường tròn đường kính BH cắt cạnh AB tại điểm D và đường tròn đường kính CH cắt cạnh AC tại điểm E Gọi I,J theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH

a Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trên một đường tròn Xác định hình dạng

tứ giác ADHE

b Chứng minh DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn

c Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng DE?

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1: (3,0 điểm)

a) Do a b , 0

(0,25điểm)

2 2

ab



(0,25điểm)

 a2b2 2ab 0

(0,25điểm)

 

2

0

a b

   bất đẳng thức này đúng => 2

a b

b a 

(0,25điểm)

b)

vt 

b c c a a b  

(0,25điểm)

=

(0,5điểm)

Áp dụng câu a, ta có:

2

a b

(0,25điểm)

2

a c

(0,25điểm)

b c

(0,25điểm)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được điều phải chứng minh (0,5điểm)

Bài 2: (3,0 điểm)

a) Với x > 0 thì

x  x x

và

x x  x x

(0,25điểm)

Thực hiện biến đổi

A=

:

=

:

(0,5điểm)

 2

.

3

x x

x





(0,5điểm)

=

.

3

x



(0,5điểm)

=

2

3

x

x 

(0,25điểm)

b) A 1 khi

2

1 3

x

x  * vì x 0 x 3 0 (0,25điểm)

Do đó *  2 x x3

(0,25điểm)

 x 9

(0,5điểm)

Bài 3: Giải phương trình (4,0 điểm)

a) Điều kiện x 0

(0,25điểm)

x x 

 x 32 2

(0,25điểm)

3 2

x

(0,25điểm)

3 2

x

   hoặc x  3 2

(0,25điểm)

25

x

  hoặc x 1

(0,25điểm)

b)

x x x x x x

(1)

                

(1,0 điểm)

        

(0,5điểm)

17 15 13 11 9 7

  (0,5điểm)

do

0

17 15 13 11 9 7

 x19 0  x 19

(0,75điểm)

Bài 4 : (2,5 điểm)

Số n 18 và n  41 là hai số chính phương  n18p2và n 41q p q2 , N

(0,5điểm)

 p2 q2 n18  n 41 59  p q p q     59

(0,5điểm)

Nhưng 59 là số nguyên tố nên:



(0,5điểm)

Ta có : n18p2 302 900 suy ra n 882

(0,5điểm)

Thay vào n  41, ta được 882 41 841 29   2 q2

(0,5điểm)

Vậy với n 882 thì n 18 và n  41 là hai số chính phương

(0,5điểm)

Bài 5: (1,5 điểm) A = n3 + 3n2 + 2n

A = n(n2 + 3n +2)

(0,25điểm)

= n (n+1)(n+2)

(0,5điểm)

Trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà ƯCLN(2,3)=1

(0,25điểm)

 A = n (n+1)(n+3)  6 với mọi số nguyên n

(0,25điểm)

Vậy A = n3 + 3n2 +2n 6 với mọi số nguyên n

(0,25điểm)

Bài 6:

(6,0 điểm )

- Vẽ hình đúng

0,25 điểm

Ta có D E   900

 Hai điểm D, E nằm trên đường tròn đường kính AH

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.(Tứ giác có 3 góc vuông)

0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra A1 E1

Ta lại có : A1 C (cùng phụ với A2 )

C E  3 (EJCcân)

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

D

2

1 2 3

E 1

J I

B

A

C H

 E E1  2  900  DˆEJ  90 0

 DE JE

DE là tiếp tuyến tại E của đường tròn (J)

Chứng minh tương tự, ta có DE là tiếp tuyến tại D của đường tròn (I) hay DE

là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (I) và (J)

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm Trong tam giác vuông ABC, áp dụng định lí Pytago ta có :

2 6 2 8 2

10

BC

BC

 

AB2 = BH.BC

2 36

3,6 10

AB

BH

BC

CH= 10 – 3,6 = 6,4

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên

DE = AH; AH2 = CH BH = 3,6 6,4

36.64 3,6.6, 4 4,8

100

DE

0,5 điểm 0,25 điểm

0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm