Đề thi học sinh giỏi

Vẽ về một phía của AB hai hình vuông AMCD và MBEF.. a Lấy điểm H thuộc cạnh CD của hình vuông AMCD, tia phân giác của góc AMH cắt AD ở K.. Tính tổng diện tích hai hình vuông AMCD và MBEF

Một số đề thi học sinh giỏi lớp 8

Đề 1:

Câu 1: a) Tìm x, y thoả mãn 2x2 + 2xy + y2 + 9 = 6x – | y+3 |

b) Giải phơng trình x2 - 50x + 2x = 25

Câu 2: Tìm các số tự nhiên m, n sao cho m+ n = m.n

Câu 3: Tính tổng: S = 11.3 + 31.5 + 51.7 + … + 20071.2009

Câu 4: Các số thực x, y thoả mãn đẳng thức 5x2 + 20 y2 = 25xy Tính P4, với P=

y x

y x

2

2

− +

Câu 5: Cho 3 điểm A, M, B thẳng hàng theo thứ tự ấy, độ dài AB = 2 Vẽ về một

phía của AB hai hình vuông AMCD và MBEF

a) Lấy điểm H thuộc cạnh CD của hình vuông AMCD, tia phân giác của góc AMH cắt AD ở K Chứng minh rằng AK + CH = MH

b) Đặt AM = x Tính tổng diện tích hai hình vuông AMCD và MBEF theo x Tìm vị trí điểm M để tổng diện tích đó nhỏ nhất

c) Gọi P, Q là tâm của hai hình vuông AMCD và MBEF, gọi I là trung điểm của

PQ Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển nh thế nào?

Đề 2:

Câu 1: Giải phơng trình: x4 + 2x3 – 4x2 – 2x + 3 = 0

Câu 2: Tìm đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c nếu biết:

a) f(-1) = 0 , f(0) = 1 , f(1) = 4

b) f(x) chia hết cho (x – 2)2 và f(1) = 4

Câu 3: Tính tổng : S = 11.2 +

3 2

1 + 4 3

1 + … +

2008 2007 1

Câu 4: Tìm các số nguyên m, n thoả mãn m =

1

1

2 +

+ +

n

n n

Câu 5: Cho hình vuông ABCD.

a) Lấy điểm E thuộc cạnh AD và điểm F thuộc cạnh DC sao cho AE=DF

Chứng minh rằng BE = AF và BE ⊥ AF

b) Gọi G là trung điểm AD, H là trung điểm DC, I là giao điêm của BG và AH.

Chứng minh rằng BC = IC

c) Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm K, L, M, N sao cho

AK = BL = CM = DN Tứ giác KLMN là hình gì? Vì sao?

Đề 3:

Câu 1: a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a lớn hơn 1, số 4a4 + 1 không thể là

số nguyên tố

b) Rút gọn biểu thức:

(a−b bc)(a−c) + (b−c ca)(b−a) + (c−a ab)(c−b)

Câu 2: Cho trớc số m thoả mãn m2 ≠ 1 Giải phơng trình ẩn x sau:

m x−−11 +

1

) 1 ( 2

4

2

−

−

m

x

1

1 2

m

x

−

− –

m

x

+

− 1

1

Câu 3: Xét các số a, b, c thoả mãn các điều kiện:

abc = 1 , a + b + c =

a

1 +

b

1 +

c

1

Tính giá trị biểu thức : M = ( a29 – 1)(b3 – 1)( c2008 – 1)

Câu 4: Cho hình vuông ABCD cố định Một điểm M di động trên cạnh BC (M khác

B và C) Tia AM cắt tia DC tại N Tia DM cắt tia AB tại I Các đờng thẳng BN và CI cắt nhau tại K

a) Chứng minh rằng biểu thức :

CM

1 –

CN

1

có giá trị không đổi b) Tính góc BKC

Đề 4:

Câu 1:

a) Với x ≠ 0 , hãy rút gọn biểu thức P(x) =

3 3 3

6 6 6

1 1

2 1 1

x

x x x

x

x x x

+ +











 +

−











 +

−











 +

b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dơng của n

Câu 2: Cho 4 số x, y, z, t thoả mãn điều kiện xyzt = 1 Chứng minh rằng biểu thức

sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z, t :

1+x+1xy+xyz + 1+y+1yz+yzt + 1+z+1zt+ztx + 1+t+1tx+txy

Câu 3: Xác định các hệ số a, b, c để đa thức x3 + ax2 + bx + c đợc phân tích thành ( x + a )( x + b )( x + c )

Câu 4: Cho tam giác đều ABC có AB = a Gọi O là trung điểm cạnh BC Một góc

xOy = 60 0 quay quanh đỉnh có các cạnh Ox, Oy lần lợt cắt các cạnh AB và AC của tam giác ở M và N

a) Chứng minh 4BM.CN = a2

b) Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O tới đờng thẳng MN luôn không đổi khi góc xOy quay quanh O nhng hai tia Ox và Oy vẫn cắt các cạnh AB và AC của tam giác