Chuyen de mu va logarit

Chuyên đề : Phơng trình mũ và phơng trình lôgarítA.. Các dạng phơng trình cơ bản thờng gặp 1.. Ph ơng pháp biến đổi đ a về các PT cơ bản Bài tập: Giải các phơng trình sau 1.. Bài Tập: G

Chuyên đề : Phơng trình mũ và phơng trình lôgarít

A Ph ơng trình mũ

I Các dạng phơng trình cơ bản thờng gặp

1 Phơng trình dạng a f(x) = b ( 1) ( 0 < a ≠ 1 )

- Nếu b ≤ 0 phơng trình vô nghiệm

- Nếu b > 0 (1) ⇔ f(x) = loga b

VD1 : Giải phơng trình : 32x -1 = 6 ( 1)

Giải: (1) ⇔ 2x -1 = log36

⇔ 2x = 1 + log36

⇔ x = 1 +

2

1 log32

2 Phơng trình dạng af(x) = ag(x) (2) ( 0 < a ≠ 1)

(2) ⇔ f(x) = g(x)

VD2 : GPT 5 x2− 1 = (

125

1 )x -1 (1)

Giải :( 1) ⇔ 5 x2− 1 = 5-3x + 3

⇔ x2 -1 = -3x + 3

⇔ x2 + 3x - 4 = 0 ⇔ 





−

=

=

4

1

x x

3 Phơng trình dạng : [ f(x) ]g(x) = [ f(x)]h(x) (3)

(3) ⇔







>

=

−

−

0 ) (

0 )]

( ) ( ].[

1 ) (

[

x f

x h x g x

f

VD3 : Giải các phơng trình:

a, xx + 1 = x x2− 1 b, ( 2 ) 2 2

x x x = ( x -2)11x - 20

19 8 2

+

−

x

x

= ( x -3)2 d, (-4x2 + 2x +1)1 -x = ( − 4 x 2 + 2 x + 1 ) x−1

4 Phơng trình dạng: af(x) = bg(x) (4) ( 0< a, b ≠ 1)

(4) ⇔ f(x) = g(x)logab

VD4: GPT 2 x2 = 3x - 1

1 Ph ơng pháp biến đổi đ a về các PT cơ bản

Bài tập: Giải các phơng trình sau

1 5 2 3 2+ 1 2 ( 5 2− 1 3 2− 2)

−

=

5 10

10

125 ,

+

−

+

x x

x

2 182x.2-2x.3x+1 = 3x –1 4 





















7

1 5

2 4x 1 3x 2

2.Ph ơng pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.

Bài Tập: Giải các phơng trình sau:

1 ( 2 + 3 )x + ( 2 - 3)x = 4 ( ĐHTH.HCM- 94)

2 125x + 50x = 23x + 1 ( ĐHQGB-98)

3 25x + 10x = 22x + 1 ( HVNH-98)

4 8x + 18x = 2.27x ( ĐHQG-97)

5 ( 5 - 21)x + ( 5 + 21)x = 2x + 3 ( ĐHQG-D-97)

6 ( 2 + 3 )x + ( 7 + 4 3).( 2 - 3)x = 4.( 2 + 3) ( ĐHNNHN-98)

7 4 3 2 4 6 5 42 3 7 1

+

=

+

8 43 + 2cosx - 7.41 + cosx - 2 = 0

9 ( 7 + 4 3 )cosx + ( 7 − 4 3 )cosx = 4 (ĐHLuật-99)

10 6.4x - 13.6x + 6.9x = 0 (ĐHBD-A-2001)

11 32x + 1 = 3x + 2 + 3 32 2

6

1 − x+ x+

12 (cos72o)x + (cos36o)x = 3.2-x

13 23x - 6.2x -

23 ( 1 )

1

−

x +

2

12

x = 1 (ĐHYH N-2000)

14 Cho phơng trình : 4x - 4m( 2x -1) = 0

a Giải PT với m = 1

b Với giá trị nào của m thì PT có nghiệm (ĐHNN-97)

15 Cho phơng trình: 4x - m.2x + 1 + 2m = 0

a Giải PT khi m = 2

b Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3

16.(ĐH Ngoại thơng-98) Tìm m để PT sau có bốn nghiệm phân biệt:

4 2 1

3 4

5

1 2

+

−

=











m m

x

x

17.(ĐHNN-2000) Tìm m để PT sau có hai nghiệm trái dấu:

(m + 3).16x + ( 2m -1).4x + m + 1 = 0

18.(ĐHĐL-99) Cho PT: ( 5+ 1)x + a.( 5 - 1)x = 2x

a Giải PT khi a =

4 1

b Tìm mọi giá trị của a để PT có đúng một nghiệm

19.(ĐHGTVT-95) CMR không có giá trị nào của tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu: m.4x + (2m +3).2x - 3m + 5 = 0

20.(ĐHBK-90) .Xác định tất cả các giá trị của tham số a để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

1

2 2

3

1 2

+ +

=











a

x

3.

Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

- Thờng đợc áp dụng đối với PT vừa có ẩn ở hàm số mũ và vừa chứa ẩn ở hệ số

VD1: Giải PT : 9x + 2(x- 2).3x + 2x - 5 = 0 (1) (ĐH Thơng mại- 95)

Giải : Đặt t = 3x ( t >0) ta đợc PT : t2 + 2(x - 2).t + 2x - 5 = 0 (2)

Coi PT(2) là PT bậc hai ẩn t có ∆,

= (x -3)2 ⇒ t t ==5−1−(loai2x )

- Với t = 5 -2x ta có 3x = 5 - 2x (3) Ta thấy VT(3) là hàm đồng biến trên R còn VP(3) là hàm nghịch biến trên

R , do đó PT(3) có không quá 1 nghiệm.Mặt khác ta thấy x = 1 là nghiệm của (3).Vậy (3) có nghiệm duy nhất x

= 1 do đó PT(1) có nghiệm duy nhất là x = 1

Bài tập: Giải các PT sau:

1 25x -2.(3 - x).5x + 2x - 7 = 0 ( ĐHTCKT –97)

2 4x + (2x - 5).2x + 6x - 24 = 0

4.

Ph ơng pháp biến đổi đ a về ph ơng trình tích

VD: Giải phơng trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x (1) (ĐHQG-D-2000)

Giải: (1) ⇔ 8(3x - 3) - 2x.(3x - 3) = 0

⇔ (3x - 3).(8 - 2x) = 0

⇔









=

=

8

3

2

3

x

x







=

=

⇔

3

1

x x

Bài tập: Giải các PT sau:

1 12.3x + 3.15x - 5x +1 = 20 (ĐH Huế-D-2001)

2 x2.2x +1 + 2 x−3+2 = x2.2 x−3 +4 + 2x – 1

3 52x +1 + 7x +1 - 175x - 35 = 0

5.

Các ph ơng pháp không mẫu mực

- Sử dụng 2 phơng pháp chính sau:

+) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

+) Đánh giá cả hai vế

- Ta sử dụng các kết quả sau:

• Xét PT f(x) = a (1) có tập xác định là D ( a là hằng số) Nếu trên D mà f(x) đơn điệu thì nếu (1) có nghiệm trên D thì nghiệm đó là duy nhất

• Xét PT f(x) = g(x) (2) có tập xác định là D Nếu f(x) và g(x) có tính

đơn điệu ngợc nhau ở trên D thì PT(2) nếu có nghiệm trên D thì nghiệm đó là duy nhất trên D

Bài tập: Giải các phơng trình sau:

1 3x = -x + 4

2 2x = 1 + 32

x

( ĐH Kiến trúc TP.HCM-95)

3 ( 3 − 2)x + ( 3 + 2)x = ( 5)x (HVQHQT-97)

4 3x + 4x = 5x

5 2 x2+ 3 x2+ 4 x2 = 2 + 2 x − x2

6 2x + 2-x +2 = 4x -x2

−

− x −x+ x− = x

8 4sinx - 21 + sinx.cos(xy) + 2y

= 0 B: Phơng trình lôgarit

1 Phơng trình dạng : logaf(x) = b (1)

(1) ⇔ f(x) = ab

2 Phơng trình dạng : logaf(x) = logag(x) ( 2) (0< a ≠ 1)

(2)







=

>

⇔

) ( ) (

0 )

(

x g x f

x

f

hoặc







=

>

) ( ) (

0 )

(

x g x f

x g

3.Phơng trình dạng: logf(x)g(x) = logf(x)h(x) (3)

(3)









=

>

≠

<

⇔

) ( ) (

0 ) (

1 ) ( 0

x h x g

x g

x f

hoặc









=

>

≠

<

) ( ) (

0 ) (

1 ) ( 0

x h x g

x h

x f

4.Phơng trình dạng: logaf(x) = logbg(x) (0 < a≠b≠1)

- Cách giải: Đặt t = logaf(x)









=

=

⇒

b

a

t

t

x g

x f

)(

)(

⇒ phơng trình ẩn t

Bài tập : Giải các phơng trình sau:

1 log3(x2 + 4x + 3) = 1

2 log3( x2 - 5x +6) - log3(x - 3) = 0

3 log3(3x - 8) = 2 - x

4 log2(152 + x3 ) = 3log2( x + 2)

5 log2x - 1

1 2

2

4

+

+

x

6 logx +1(x2 + x - 6)2 = 4

7 logx + 3  3 − 1 − 2 x + x2  =

2 1

8 log2( 1 + x ) = log3x

9 log2(1 + 3 x ) = log7x

1 Ph ơng pháp đặt ẩn phụ

VD: Giải phơng trình: log2(4x + 1 + 4).log2(4x + 1) =

8

1

log

2

Giải: (1) ⇔ log24(4x + 1) log2(4x + 1) = 3

⇔ [ 2 + log2(4x + 1) ].log2(4x + 1) = 3

Đặt t = log2(4x + 1), ta có PT: (t + 2).t = 3

⇔ t2 + 2t - 3 = 0 ⇔ 





−

=

=

3

1

t t

- Với t = 1 ⇒ log2(4x + 1 ) = 1

⇔ 4x + 1 = 2

⇔ 4x = 1 ⇔ x=0

- Với t = -3 ⇒ log2(4x + 1) = -3

⇔ 4x + 1 =

8

1 (vô nghiệm)

2 Ph ơng pháp lôgarit hoá.

VD: Giải các phơng trình sau:

1 x log4x 2− = 23 (log4x− 1 )

2 xlgx = 1000x2

3

1 1

1 1

1 1

2

lg2 lg 3 3

+ +

−

− +

= +

+

x x

x

x x

2

lg

−

3 Ph ơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

VD: Giải các phơng trình sau:

1 (x + 2)log2( 1 ) 4 ( 1 ) log3( 1 ) 16 0

2x + x − x + x − =

4 Ph ơng pháp không mẫu mực.

VD: Giải các phơng trình sau:

1 log2(2 - x2) + log3(3 - x2) + log4(4 - x2) = x2 - 4x +7

2 22x +1 + 23 - 2x =

) 4 4 4 (

4

2 3

log x − x +

3 log3(x2 + x +1) - log3x = 2x - x2

4 lg(x2 - x - 12) + x = lg(x + 3) + 5

Bài tập tổng hợp

Giải các ph ơng trình sau:

1 log5x + log3x = log53.log9225 (ĐHYHN-1999)

2 2lg(x - 1) =

2

1 lgx5 - lg x (§H-1970)

4 logx +3(3 - 1 − 2 x + x2 ) =

2

1 ( §HQG-96)

5 log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log23 (§HQG-A-98)

6 log5(5x -1).log25(5x + 1 - 5) = 1 ( §HSP Hµ Néi 2 -98)

7 loga(ax).logx(ax) = log 2(1)

a

a (§HSP Vinh-98)

8 log4(x + 1)2 + 2 = log 2 4 − x + log8(4 + x)3 (§HBK-2000)

9 log2(x2 - x + 1) + log2(x2 + x + 1) = log2(x4 + x2 + 1) + log2(x4 - x2 + 1)

(HVQHQT-D-2000)

10 lg4(x - 1)2 + lg2(x - 1)3 = 25 (§H Y Hµ Néi –2000)

11 log4(log2x) + log2(log4x) = 2 (§H Ngo¹i Ng÷-2000)

12 log27(x2 - 5x + 6)3 =

2

1 2

1

log 3 x− + log9(x - 3)2 (HVCTQG-2001)

2 (

)

2 2

2 2

2 2

x

(§HTS-2001)

14 log2(log3x) = log3(log2x) (§H Ngo¹i Th¬ng HN-95)

15 log2(x - x2− 1).log3(x + x2− 1) = log6(x - x2− 1) (HVKT MËtM·-99)

16 log5x = log7(x + 2) (§HQGHN-B-2000)

17 log7x = log3( x + 2 ) (§H KiÕn Tróc – 2000)

18 log2x + 2log7x = 2 + log2x.log7x (HVNH-2001)

1 log(x+3) = 2 + log2(x + 1) (§HAN –2001)

20 log22 + log2( 4 x ) = 3

21 log3x + 7(9 + 12x + 4x2) + log2x + 3(6x2 + 23x + 21) = 4 ( §HKTQD-2001)

22 log4(x - x2− 1).log5(x + x2− 1) = log20(x - x2− 1) (§HSP Vinh-2001)

23 logx(x + 1) - lg4,5 = 0 (§HNT-94)

16 2

2

= +

x x

+ x

x

2

log log x x = x + ( §HQG-B-96)

=

− + x−

(§HTHHN-94)

28 x + x log23= x log25 (§HNT-96)

29 4lg( 10 ) 6lg 3lg( 100 2)

.

x x

=

− (§H B¸ch khoa Hµ Néi-99)

30 2 log5(x+ 3 ) = log2x (§HTL-99)

31 log2(4x + 4) = x - log

2

1(2x + 1- 3 ) (§HC§-2001)

32 log2(3.2x - 1) = 2x + 1 (§H§N-97)

33 27 log2x+ x log23= 30

( ĐHHP-2001)

x

x

+

=

35 Tìm tích các nghiệm của PT:

x log6(3x)− 36 5 x7 = 0

(ĐH Mỏ-ĐC-2001)

36 log3(x2 + x + 1) - log3x = 2x - x2 (ĐHNT-D-2000)

36 log2( x + 3 log6x) = log6x

37 x log29 x2. log2x x log23

=

38 3.log3(1 + x+3 x) = 2log2 x

C: Bất phơng trình mũ

I: Các bất phơng trình mũ cơ bản

1) Bất phơng trình dạng af(x) > ag(x) (1) ( 0 < a ≠ 1)

- Nếu a > 1 thì (1) ⇔ f(x) > g(x)

- Nếu 0 < a ≠ 1 thì (1) ⇔ f(x) < g(x)

2) Bất phơng trình dạng af(x) > b (2) ( 0 < a ≠1)

- Nếu b ≤ 0 thì bất phơng trình có tập nghiệm là tập xác định của f(x)

- Nếu







>

>

0

1

b

a

thì (2) ⇔ f(x) > logab

- Nếu







>

<

<

0

1

0

b

a

thì (2) ⇔ f(x) < logab

II: Bài tập

Giải các bất phơng trình sau:

1 2x < 32x + 1 (ĐHNT-95)

2 2.2x +3.3x > 6x – 1 (ĐH Y Hà Nội-99)

3 2.14x + 3.49x - 4x ≥ 0 (ĐHGTVT-96)

4 252x−x2 + 1+92x−x2 + 1 ≥34.152x−x2 ( ĐHKT-96)

5 2x + 2x +1 ≤ 3x + 3x-1 (ĐHQG-96)

3

1 3

3

1 2 1 1 >









 +











(ĐHVH-96)

7

1 2

3

1

3 2−  − −











≥

x x x

x

(ĐHBK Hà Nội – 97)

8 3x + 1 – 22x + 1 - 122

x

< 0 (HVCNBCVT-98)

9 32x −8.3x+ x+ 4 −9.9 x+ 4 >0 (ĐHSP – 2000)

2 3

2 3

≤

−

x x

x x

(HVHCQG-2001)

11 9 2 2 7.3 1 2 2 2

≤

− − − + −

− +

−x x x x x x

12 ( 5 + 2)x-1 ≥ ( ) 1

1

2

5 +

−

x

D: Bất phơng trình lôgarit

I) Các bất phơng trình cơ bản

1) Bất phơng trình dạng