HẠNG của MA TRẬN ppt _ TOÁN CAO CẤP

Ma trận và các phép toán tuyến tính Định thứcPhương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trận Phương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo Ch

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành dược hay nhất” ;

https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916

Ma trận và các phép toán tuyến tính Định thức

Phương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo Hạng của ma trận

Phương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo

Chương 2 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Bài 5 HẠNG CỦA MA TRẬN

1 Khái niệm định thức con của ma trận

2 Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

3 Định thức con cơ sở của ma trận

1 Phương pháp định thức bao quanh

2 Phương pháp biến đổi ma trận

Với ma trận hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A).A = a ij m nx

I Khái niệm hạng của ma trận

ĐN: Hạng của một ma trận là hạng của hệ vectơ cột của nó.

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

Giữ nguyên s dòng và s cột ở trên, những dòng và những cột còn lại được xóa hết, ta sẽ thu được một ma trận vuông cấp s

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

Ví dụ 1: Xét ma trận

1 Khái niệm định thức con của ma trận

Khi đó, giá trị một số định thức con của A là:

14 13

1 4

= 6-1 2

3 2

= 11-4 1

124 123

-2 4 3

3 2 5 = -85-4 1 3

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

Định lý: Hạng của một ma trận bằng cấp cao nhất của các định

thức con khác 0 của ma trận đó.

Nxét 1: r(A) = r  trong A có ít nhất 1 định thức con cấp r là khác

0 và tất cả các định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) đều bằng 0

Nxét 2: r(A) = r  trong A có ít nhất 1 định thức con cấp r là khác

0 và tất cả các định thức con cấp r +1 (nếu có) đều bằng 0

2 Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

Hệ quả 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận.

   

r A = r A

Hệ quả 2: Hạng của ma trận bằng hạng của hệ vectơ dòng của nó.

Hệ quả 3: Điều kiện cần và đủ để một định thức bằng 0 là hệ vectơ

dòng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính

  ?

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

ĐN: Định thức con khác 0 cấp cao nhất của một ma trận A được

gọi là một định thức con cơ sở của ma trận đó

3 Định thức con cơ sở của ma trận

Ta chứng minh được nếu là một định thức con cơ sở của A thì:

 Hệ r cột của ma trận A có chỉ số j1, j2,…, jr là một cơ sở

của hệ vectơ cột của A;

NX: Nếu r(A) = r thì mỗi định thức con cấp r khác 0 của A là một

định thức con cơ sở của A

Một ma trận có thể có nhiều định thức con cơ sở

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

Định thức bao quanh:

1 Phương pháp định thức bao quanh

Giả sử A là ma trận cấp mxn, xét định thức con cấp r của A:

Định thức con cấp 2 là có các định thức con cấp 3 bao quanh nó là:

23 13

D

123 123

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

Ta chứng minh được:

1 Phương pháp định thức bao quanh

Nếu ma trận A có một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp r + 1 bao quanh nó (nếu có) đều bằng 0 thì hạng của ma trận A bằng r

Áp dụng để thực hành tìm hạng của ma trận A (với r(A) ≥ 2):

Bắt đầu từ một định thức con cấp hai D và khác 0 của A;

Tính mọi định thức con cấp 3 bao quanh D:

●

 Nếu mọi định thức con cấp 3 đó đều bằng 0  r(A) = 2;

 Nếu gặp định thức con D' cấp 3 bao quanh D khác 0

Tính mọi định thức con cấp 4 bao quanh D':

●

 Nếu mọi định thức con cấp 4 đó đều bằng 0  r(A) = 3;

 Nếu gặp định thức con D" cấp 4 bao quanh D' khác 0

● ● ●

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

1 Phương pháp định thức bao quanh

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

1 Phương pháp định thức bao quanh

123D

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

1 Phương pháp định thức bao quanh

1234 1234

D = A = = -104k -12

 Nếu k ≠ -3/26 thì r(A) = 4

 Nếu k = -3/26 thì r(A) = 3

Từ đó suy ra:

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

2 Phương pháp biến đổi ma trận

Trong đó s ≤ n và bii ≠ 0 với mọi i = 1, 2, ,s

Rõ ràng là ma trận B có hạng s, với định thức con cơ sở chính là:

12 s 12 s 11 22 ss

D = b b b

Giống như khử Gauss Biến đổi sơ cấp trên dòng & cột

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

2 Phương pháp biến đổi ma trận

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

2 Phương pháp biến đổi ma trận

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

2 Phương pháp biến đổi ma trận

-2 3 -4

D = 3 -2 5 = 16

4 1 2 => là một đt con cơ sở123

123D

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

IV Các bất đẳng thức liên quan đến hạng ma trận

Điều này có được do một trong 2 kết quả sau:

 Các vectơ dòng của AB luôn biểu diễn tuyến tính qua các vectơ dòng của B

 Các vectơ cột của AB luôn biểu diễn tuyến tính qua các

vectơ cột của A

( xem chứng minh ở trang 164 giáo trình)

r(AB) r(A)r(AB) r(B)

IV Các bất đẳng thức liên quan đến hạng ma trận

VD2: CMR hạng của một ma trận A không thay đổi nếu ta nhân vào

bên phải hoặc bên trái nó một mtrận vuông không suy biến B

Giải:

Xét ma trận AB, trong đó B là một ma trận vuông không suy biến

 Trước hết ta có r(AB) ≤ r(A) (1)

 Mặt khác A = ABB-1 nên r(A) = r[(AB) B-1 ] ≤ r(AB) (2)

Từ (1) và (2) ta có r(A) = r(AB)

( Chứng minh tương tự cho trường hợp ma trận không suy biến được nhân vào bên trái của ma trận A)

VD1: CM nếu r(A) < r(B) thì phương trình ma trận AX = B vô nghiệm

Giải: ( phản chứng): Giả sử có ma trận X sao cho AX = B Khi đó

ta có r(AX) = r(B) ≤ r(A) Điều này mâu thuẫn với giả thiết

V Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ

Xét hệ gồm m vectơ n chiều X1, X2,…, Xm

 Hệ đó độc lập hay phụ thuộc tuyến tính?

 Nếu phụ thuộc thì hạng của nó là bao nhiêu? Và hãy chỉ ra một cơ sở của hệ vectơ đó.

Trước hết hãy tìm hạng của hệ vectơ X1, X2,…, Xm: Việc tìm hạng này được thực hiện bằng cách lập ma trận A với các dòng (hoặc các cột) là các vectơ X1, X2,…, Xm Ta có r(A) = r({X1, X2,…, Xm}), r(A) tìm được bằng một trong hai phương pháp đã biết

●

Giả sử r(A) = r({X1, X2,…, Xm }) = r, ta kết luận theo kết quả sau đây:

●

 r = m  hệ vectơ X1, X2,…, Xm độc lập tuyến tính;

 r < m  hệ vectơ X1, X2,…, Xm phụ thuộc tuyến tính;

(Cơ sở của {X 1 , X 2 ,…, X m } được tìm theo định thức con cơ sở của A)

Các câu hỏi đặt ra là:

V Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ

Ví dụ 1: Hệ vectơ sau độc lập hay phụ thuộc tuyến tính

Trước hết ta tìm hạng của hệ vectơ trên thông qua tìm hạng của

ma trận A nhận các vectơ trong hệ lần lượt là các dòng

V Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ

Ví dụ 2: Tìm hạng của hệ vectơ sau và chỉ ra một cơ sở của nó

Trước hết ta tìm hạng của hệ vectơ trên thông qua tìm hạng của

ma trận A nhận các vectơ trong hệ lần lượt là các dòng

V Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ

123 123

D = -63

Suy ra một hệ cơ sở của hệ 5 vectơ trên là {X1, X2, X3}

Ta có nên là một định thức con cơ sở của A

D

V Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ

Ví dụ 3: Tìm hạng của hệ vectơ sau theo tham số k

đã cho đltt và nó là 1 cơ sở của R4)

Nếu det(A) = -17k + 68 = 0  k = 4 thì hạng của hệ vectơ là 3 (khi đó hệ vectơ đã cho pttt)

V Dùng hạng của ma trận để khảo sát hệ vectơ

Một số kết quả cần chú ý

KQ 1: Cho A là một mt vuông cấp n thì các mệnh đề sau là t/đương:

1)Det (A) ≠ 0

2)r(A) = n

3)Hệ véc tơ dòng và cột của A độc lập tuyến tính

4)Hệ véc tơ dòng và cột của A là một cơ sở của kgian vectơ Rn

5)Ma trận A là ma trận không suy biến (hay ma trận A khả nghịch)

KQ 2: Cho A là một mt vuông cấp n thì các mệnh đề sau là t/đương:

1)Det (A) = 0

2)r(A) < n

3)Hệ véc tơ dòng và cột của A phụ thuộc tuyến tính

4)Hệ véc tơ dòng và cột của A không là một cơ sở của kgian vtơ Rn5)Ma trận A là ma trận suy biến (hay A không có mtrận nghịch đảo)

VD1: Cho ma trận A cấp mxn và ma trận B cấp nxm CMR nếu m ≠ n thì hoặc det(AB) = 0 hoặc det (BA) = 0.

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử m > n Khi đó AB là ma trận vuông cấp m

Mặt khác ta có r(AB) ≤ r(A) ≤ n < m => det(AB) = 0

VD2: Cho ma trận