CÁCH TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ( TOÁN CAO CẤP 1 & 2, TÍNH NGẮN MẠCH ) CÁCH TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ( TOÁN CAO CẤP 1 & 2, TÍNH NGẮN MẠCH ) CÁCH TÍNH MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ( TOÁN CAO CẤP 1 & 2, TÍNH NGẮN MẠCH )
Trang 1MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1 Dùng ma trận phần phụ đại số
* Cho Anx n có D=det(A) và Dij là định thức con của D bỏ đi hàng i cột j
* Ma trận Anx n khả đảo Û det(A)≠0
T
nn n
n
n n
A A
A
A A
A
A A
A
A
A
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
=
-L
M M M M
L L
2 1
2 22
21
1 12
11
1
) det(
Dij
Ví dụ: Cho ma trận
ú ú ú û
ù ê
ê ê ë
é
-=
4 0 2
2 0
3 2 1
m
Giải
2 4 2 2 4 0
2 0
3 2 1
4 0 2
2 0
3 2 1 )
-=
-=
A
* Nếu m= -1 thì det(A)=0 không tồn tại A-1
* Nếu m≠ -1 thì det(A) ≠0 Þ A-1
tồn tại, nên ta tính các phần phụ đại số Aij
ú ú ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê ê ê
ë
é
+
-+
+
+
-+
-+
+
+ +
-+
-= Þ
-¹ ú ú ú û
ù ê
ê ê ë
é
-+
-+
= ú ú ú û
ù ê
ê ê ë
é
-+
-+
= Þ
-=
-=
-=
-= +
=
-=
=
-=
-=
=
-=
-=
=
-=
=
-=
-=
-=
-) 1 ( 2
1 1
1 1
1
) 1 ( 4 ) 1 ( 2
1 )
1 ( 2
) 1 ( 2
3 1
2 1
2
) 1 ( 2 4
4
2 2
6 2 8 8 4 4 1 2
6 2
4 2 8
4 2 8 4 4 1
2 2 0
2 1 0
3 1 6
2 2
3 2
4 0 2
2 1 2
4 2
3 1 8
4 0
3 2
4 0 2
2 0 2
4 2
0 8
4 0 2
1
1
33 32
31
23 22
21
13 12
11
m m
m
m
m m
m m
m
m m
m A
m m m
m m
m m
m m
A
A m m A
m m A
A A
A
A m
m A
m A
T
Trang 2
2 Dùng phép biến đổi sơ cấp
Nếu det(A)≠0 ta tính A-1 bằng các rút gọn ma trận [Anx n : In ] ® [ In : A-1] với I là ma trận đơn vị
Ví dụ Cho
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
1 2 3 1
Giải
* Vì A là ma trận tam giác trên nên det(A)=1≠0 Þ tồn tại A-1
* Ta tìm A-1 bằng rút gọn theo dòng ma trận [A:I] sao cho A thành I thì I thành A-1
[A : I]=
ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
-ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
é
-®
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 3 1
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
4 5 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
1 2 3 1
2 3 1
h
ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
-ú ú ú ú ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
-®
-®
+
®
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 5 3 1
1 0 0 0
3 1 0 0
2 0 1 0
11 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 3 1
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
4 5 0 1
3 5 1 1
3 2 2
h h h
h h h
ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
é
-ú ú ú ú ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
-®
+
®
-®
+
-®
1 0 0 0
3 1 0 0
2 1 1 0
11 5 3 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 5 3 1
1 0 0 0
3 1 0 0
2 0 1 0
11 0 0 1
4 11 1 1
4 2 2 2
4 3 3 3
h h h
h h h
h h
h
=[I : A-1]
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
-1 0 0 0
3 1 0 0
2 1 1 0
11 5 3 1 1
A
Ta có thể rút gọn ma trận bằng cách nhân ma trận Cj như sau:
Xét ma trậnA=[aij] Để rút gọn cột j của ma trận A thành cột j của ma trận đơn vị ta dùng ma trận Cj
là ma trận đơn vị và ta thay cột j bằng cột j của A chia cho phần tử trụ là ajj ¹0 trừ ajj, sau đó đổi dấu các phần tử trên cột j khác vị trí hàng j, cột j:
jj jj j jj
kj kj j
a C và j k khi a
a
cột j ¯
ú ú ú ú ú ú ú ú ú ù
ê ê ê ê ê ê ê ê ê é
-=
0
0
1 0 0
0
0
0 1 0
0
0
0 0 1
3 2 1
ij j ij j ij j
a a a a a a
M M M M M M M M
Trang 3Ví dụ Cho
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
1 2 3 1
Giải
* Cột 1 của A là cột 1 của ma trận đơn vị, nên không cần rút gọn
* Rút gọn cột 2, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trận
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
-=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 3 1 2
C2 [ A : I ] [ A 1 : I 1 ]
ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
-® ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
é
-ú
ú ú ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
-®
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 3 1
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
4 5 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
1 2 3 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 3 1
* Rút gọn cột 3, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trận
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
-=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 5 0 1 3
C3 [ A 1 : I 1 ] [ A 2 : I 2 ]
ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
-® ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
-ú
ú ú ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
-®
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 5 3 1
1 0 0 0
3 1 0 0
2 0 1 0
11 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 3 1
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
4 5 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 5 0 1
* Rút gọn cột 4, ta nhân ma trận [A : I] cho ma trận
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
1 0 0 0
3 1 0 0
2 0 1 0
11 0 0 1 4
C4 [ A 1 : I 1 ] [ A 2 : I 2 ]
ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
é
-® ú ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê ê
ë
-ú
ú ú ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-®
1 0 0 0
3 1 0 0
2 1 1 0
11 5 3 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 5 3 1
1 0 0 0
3 1 0 0
1 0 1 0
4 0 0 1
1 0 0 0
3 1 0 0
2 0 1 0
11 0 0 1
Trang 4
3 Dùng định lý Haminton-Cayley
a) Đa thức đặc trưng của ma trận A n x n=[aij] là: f(x)=det(xI-A)
· Tổng quát: Tính đa thức đặc trưng của ma trận A là f(x) bằng công thức Bocher như sau: · Đặt Sp= tr(Ap) với tr(Ap) = tổng phần tử trên đường chéo chính của Ap
· Tính a1= -S 1= -å
=
n
k kk a
1
( )
2
1
2 1 1
3
1
3 2 1 1 2
………
n 1(a n 1S1 a n 2S2 a1S n 1 S n)
n
· Đa thức đặc trưng của A: f(x)= xn
+ a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an-1x + an
· Trường hợp riêng
û
ù ê ë
é
d c
b a
d x c
b a x
-+ +
-=
-) ( 2
Þ f(x) = x2 -tr(A)x + det(A)
Nếu A3x3=
ú ú ú û
ù ê
ê ê ë
é
3 3 3
2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
c b a
thì
3 3
3
2 2 2
1 1
1 )
(
c x b a
c b x a
c b
a x x f
-=
3 3
2 2
3 3
1 1
2 2
1 1 2 3
A x
c b
c b c a
c a b a
b a x A tr x x
-ø
ö çç
è
æ
+ +
+
-= Þ
(3 định thức cấp 2 theo đường chéo A)
Ví dụ Tính đa thức đặc trưng của
ú ú ú û
ù ê
ê ê ë
-=
5 4 3
3 0 1
0 1 2
A
* Tính Sp:
ú ú ú û
ù ê
ê ê ë
-=
5 4 3
3 0 1
0 1 2
A Þ S1= tr(A)=2+0+5= 7
A2=
ú ú ú û
ù ê
ê ê ë
-37 17 25
15 11 11
3 2 3
Þ S2=tr(A2)=3+11+37= 51
ù
Trang 5-b) Định lý Cayley-Hamilton
Nếu f(x) là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A thì f(A)=0
Giả sử cho A khả đảo (det(A)≠0) có đa thức đặc trưng f(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an thì
An + a1An-1 + a2An-2 +…+ an-1A + an= O và a n =(-1) ndet(A) ≠0, ta nhân 2 vế cho A-1 được:
An-1 + a1An-2 + a2An-3 +…+ an-1I + anA-1 = O Þ 1 1 (A 1 a1A 2 a2A 3 a 1I)
a
n
Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
1 2 3 1
A
Giải
* det(A)=1≠0 nên tồn tại A-1
) 1 ( 1 0
0 0
3 1 0
0
1 1 1 0
1 2 3 1
-=
-x x
x x x
Þ f(x) = x4 -4x3
+6x2 -4x +1
* Tính A-1 : 1 ( 3 4 2 6 4 )
I A A A
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-= Þ
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é + ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-+
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-= Þ
-1 0 0 0
3 1 0 0
2 1 1 0
11 5 3 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 4 1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
1 2 3 1 6 1 0 0 0
6 1 0 0
5 2 1 0
5 1 6 1 4 1 0 0 0
9 1 0 0
12 3 1 0
3 3 9 1
1 1
A A
Trang 64 Dùng ma trận khối
Giả sử ma trận Enxn khả đảo (det(E)≠0) với n³4, ta tìm ma trận nghịch đảo E-1 như sau:
Đầu tiên ta chia E thành ma trận khối ú
û
ù ê ë
é
=
D C
B A
E với Amxm, Dkxk ; m+k=n và A khả đảo
Tiếp theo, ta tìm E-1 dưới dạng ú
û
ù ê
ë
é
=
-N M
L K
E 1 trong đó K, N là ma trận vuông có cấp m, k
) ( ) 4 (
) 3 (
) 2 (
) 1 (
1
I I
ND MB
O LD KB
O NC MA
I LC KA
I O
O I D C
B A N M
L K I
E E
k
m
k
m n
ï
ï î
ï
ï í ì
= +
= +
= +
= + Û ú û
ù ê
ë
é
= ú û
ù ê ë
é ú û
ù ê
ë
é Û
=
-(i) Nếu C=O thì hệ (I) cho:
ï
ï î
ï
ï í ì
=
-=
=
= Þ ï
ï î
ï
ï í ì
=
= +
=
= Þ ï
ï î
ï
ï í ì
= +
= +
=
=
-1
1 1 1
1 1
D N
BD A L
O M
A K
I ND
O LD B A
O M
A K
I ND MB
O LD KB
O MA
I KA
k k
m
(ii) Nếu B=O thì hệ (I) cho: K =A-1 ; M =-D-1CA-1 ; L=O ; N =D-1
¯ nhân A-1
và D-1 hai bên B
û
ù ê
ë
é
-= ú û
ù ê ë
é ú
û
ù ê
ë
-= ú û
ù ê ë
é
-1 1 1
1 1
1
1 1 1
1
D CA D
O A
D C
O A D
O
BD A A
D O
B A
- nhân D-1
và A-1 hai bên C
Áp dụng:
Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo của ma trận tam giác trên
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
1 2 3 1
* det(E)=1 Þ tồn tại E-1
* Ta chia thành ma trận khối như sau:
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
1 0 0 0
3 1 0 0
1 1 1 0
1 2 3 1
E
Þ =êé - úù =êé - úù - =êé- úù
ú û
ù ê ë
é
=
= ú û
ù ê
ë
é
-= ú û
ù ê ë
é
=
1 0
3 1 1
1
1 2 1
0
3 1
1 1 1
1
BD A và D
A
D và O C B
A
Trang 7Ví dụ:Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận tam giác dưới:
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
1 3 1 2
0 1 1 3
0 0 2 4
0 0 0 1
E
* det(E)= -2 nên tồn tại E-1
*
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
1 3 1 2
0 1 1 3
0 0 2 4
0 0 0 1
ú û
ù ê
ë
é
-=
-ú û
ù ê ë
é-= ú
û
ù ê
ë
é
-= Þ
ú û
ù ê
ë
é-= ú
û
ù ê ë
é
=
= ú û
ù ê ë
é
=
-2 3
5 , 0 1 1
3
0 1 5
, 0 2
0 1
1 3
0 1 1
2
1 3 2
4
0 1
1 1 1
1
CA D và D
A
D và C
O B A
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-= ú û
ù ê
ë
é
-=
-1 3 2 3
0 1 5 , 0 1
0 0 5 , 0 2
0 0 0 1
1 1 1
1 1
D CA D
O A
E
(iii) Trường hợp tổng quát B và C khác O thì:
û
ù ê
ë
é ú û
ù ê
ë
é
-= ú û
ù ê ë
é
-k
m I C D
O I D O
B C BD A D C
B A
1
1
(tích 2 ma trận tam giác)
* Dùng kết quả:
1 1
1
1
1
-ú û
ù ê
ë
é -ú û
ù ê
ë
é
= ú û
ù ê ë
é
D O
B C BD A I
C D
O I D
C
B A
k
m
Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo của
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
5 4 2 2
3 2 1 1
0 0 1 0
3 1 1 1
E
* Phân tích E=E1E2 với E1, E2 là 2 ma trận tam giác:
û
ù ê
ë
é
=
-ú û
ù ê
ë
é
-1 0
5 , 0 5 , 0
; 0 0
5 , 0 5 ,
1
C BD A C
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
-= Þ ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-= ú û
ù ê
ë
é
-=
-11 1 11 2 22 3 22 5
11 3 11 17
1 1 1
1
0 0
0 0
0 0 1 0
1 2
5 4 0 0
3 2 0 0
0 0 1 0
3 1 5 , 0 5 , 0
E D
O
B C BD A E
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-= Þ ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
= ú û
ù ê
ë
é
-1 0 0 0
0 1 5 , 0 5 , 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 5 , 0 5 , 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 2 2
1 2
I C D
O I E
*
ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-= ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
-ú ú ú ú
û
ù
ê ê ê ê
ë
é
-=
=
-11 1 11 2
11 3 11 17
11 1 11 2 22 3 22 5
11 3 11 17
1 1 1 2 1
0 0
0 1 0 1
0 0 1 0
1 2
0 0
0 0
0 0 1 0
1 2 1 0 0 0
0 1 5 , 0 5 , 0
0 0 1 0
0 0 0 1
E E E