Hệ phương trình Ax=0 có thể thu gọn về một hệ phương trình tuyến tính tương đương mà có số phương trình ít hơn. Chẳng hạn, khi Ax=0 có hai phương trình giống nhau, ta có thể loại đi một phương trình.Ta muốn tìm hiểu xem Ax=0 có thể thu gọn về ít nhất bao nhiêu phương trình. Ngoài ra ta muốn tìm tiêu chuẩn để Ax = b có nghiệm.
Trang 14.3 HẠNG CỦA MA TRẬN
Hệ phương trình Ax=0 có thể thu gọn về một hệ phương trình tuyến tính tương đương mà có số phương trình ít hơn Chẳng hạn, khi Ax=0 có hai phương trình giống nhau, ta có thể loại đi một phương trình.Ta muốn tìm hiểu xem Ax=0 có thể thu gọn về ít nhất bao nhiêu phương trình Ngoài
ra ta muốn tìm tiêu chuẩn để Ax = b có nghiệm
Trong 1.3 ta có thể đưa ma trận A về ma trận U có dạng bậc thang nhờ những phép toán hàng
sau đây (xem lại 1.3):
(i) Đổi chỗ 2 hàng nào đó
(ii) Thay hàng bởi hiệu của hàng ấy với bội của hàng khác
Ngoài ra, để đơn giản hóa các tính toán, đôi khi ta còn dùng thêm phép toán hàng sau
(iii) Nhân một hàng với một số khác không
Định nghĩa Cho một ma trận A Dùng những phép toán hàng ta biến đổi A về ma trận bậc thang
U Số tất cả các trụ trong U được gọi là hạng của A, ký hiệu là r(A)
Chú ý
1) r(A) = 0 khi và chỉ khi A = O
2) Nếu A là ma trận m×n thì r(A) ≤ min{m, n}
Ví dụ 1
A =
13 10 3 10 3 3
8 2 2
2 1 1
→
4 4 3 4 0 0
4 0 0
2 1 1
→ U =
0 4 3 0 0 0
4 0 0
2 1 1
,
nên r(A) = 2
Mối quan hệ giữa hạng và đđđđịnh thức
Định nghĩa Cho ma trận A Giữ lại một số hàng và một số cột của A, bỏ đi những hàng và cột
còn lại, ta có một ma trận được gọi là một ma trận con của A Nếu một ma trận con của A là ma trận vuông, thì định thức của nó được gọi là một định thức con của A
Định lý 4.3.1 A là ma trận có r(A) = r > 0 khi và chỉ khi A có một định thức con khác 0 cấp r nào
đó, còn mọi định thức con cấp lớn hơn r của A (nếu có) đều bằng 0 Nói cách khác, r(A) bằng cấp
cao nhất của định thức con khác không của A
Trang 2Chứng minh Thật vậy, r(A) = r >0 khi và chỉ khi sau các phép toán hàng (i) hoặc (ii) A đưa được
về ma trận bậc thang U có r trụ d1, d2, , d r Ta giữ lại r hàng và r cột của A mà sau khi thực hiện các phép toán hàng sẽ chứa r trụ này Theo tính chất của định thức, ma trận gồm r hàng và r cột này
có định thức bằng ±d1d2 ⋅⋅⋅ d r ≠ 0 Như vậy A có một định thức con khác 0 cấp r Giả sử M là một
ma trận con k×k của A với k > r Khi A đưa được về U thì M đưa được về M' là một ma trận con của
U U có hàng r+1cho đến hàng cuối cùng chứa toàn 0, trong khi M' có số hàng vượt quá r , nên M' phải có một hàng toàn 0 Suy ra detM' = 0 Theo tính chất của định thức ta có detM = detM', nên detM = 0 ☺
Nhận xét
1) Nếu A là ma trận n×n thì r(A) = n khi và chỉ khi detA ≠ 0, bởi vì định thức con cấp n của A chính
là detA
2) Nếu ma trận A là ma trận con của ma trận B thì r(A) ≤ r(B) Thật vậy, nếu r(A) = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Còn nếu r(A) > 0 thì theo Định lý 1 A có định thức con detM khác không với cấp bằng r(A) A là ma trận con của ma trận B nên detM cũng là một định thức con của B Vì vậy, theo Định lý 1 r(A) ≤ r(B)
3) r(A) = r(AT) bởi vì mọi định thức con detM của A cũng là định thức con detMT của AT
Thu gọn hệ thuần nhất
Định nghĩa Một hàng (cột) của A được gọi là một hàng trụ (cột trụ, tương ứng), nếu sau các
phép toán hàng để đưa A về ma trận bậc thang nó chứa một trụ
Trong Ví dụ 1 hàng 1 và hàng 2 là hai hàng trụ, cột 1 và cột 3 là hai cột trụ
Định lý 4.3.2 Nếu r(A) = r, thì Ax = 0 tương đương vớiBx = 0, trong đó B gồm tất cả các hàng trụ
của A
Ví dụ 2 Cho hệ
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
2x1 + 2x2 + 8x3+10x4 = 0
3x1 + 3x2 +10x3+13x4 =0
Do các hàng 1 và 2 sau những phép toán hàng chứa trụ là 1 và 4 nên theo Định lý 2 hệ này tương đương với hệ
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
2x1 + 2x2 + 8x3+10x4 = 0
Trang 3Tiêu chuẩn có nghiệm của Ax = b
Định lí 4.3.3 (Định lý Kronecker - Capelli) Nếu A là ma trận m×n và r(A) = r, thì điều kiện cần
và đủ để Ax = b có nghiệm là: sau các phép toán hàng đưa được [A b] về ma trận bậc thang có m - r hàng cuối cùng toàn số 0 Nói cách khác, Ax = b có nghiệm khi và chỉ khi r(A) = r([A b])
Leopold Kronecker (1823 - 1891)
Ví dụ 3 Tìm điều kiện của b1, b2, b3 để hệ sau có nghiệm
x1 + 2x2 + 3x3+ 5x4 = b1
2x1 + 4x2 + 8x3 + 12x4 = b2 3x1 + 6x2 + 7x3 + 13x4 = b3 Giải
13 7 6 3
12 8 4 2
5 3 2 1
3 2 1
b b
b
→
2 2 5 2 2 3 0 0 2 0 0 1
−
−
− 1 3
1 2 1
3
2
b b
b b
b
→
0 2 5 0 2 3 0 0 2 0 0 1
− +
−
1 2 3
1 2 1
5
2
b b b
b b
b
Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi
b3 + b2 - 5b1 = 0
Hệ quả 4.3.4 Giả sử A là ma trận m×n Nếu r(A) = m, thì Ax = b có nghiệm với mọi b thuộc Rm Chứng minh A là ma trận con của [A b] nên m = r(A) ≤ r([A b]) ≤ số hàng của [A b] = m, nên
r(A) = r([A b]) = m
Theo Định lý trên, Ax = b có nghiệm ☺
Trang 44.4 CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = 0
Đối với hệ thuần nhất Ax = 0, trong quá trình đưa ma trận mở rộng [A 0] về ma trận bậc thang ta
thấy rằng cột cuối luôn luôn là 0 nên ta chỉ cần làm việc với A
Ví dụ Giải hệ
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
2x1 + 2x2 + 8x3 +10x4 = 0
3x1 + 3x2 +10x3 +13x4 =0
Giải
A =
13 10 3 10 3 3
8 2 2
2 1 1
→
4 4 3 4 0 0
4 0 0
2 1 1
→
0 4 3 0 0 0
4 0 0
2 1 1
nên hệ ban đầu tương đương với hệ
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
4x3 + 4x4 = 0
Biến trụ là x1 và x3, biến tự do là x2 và x4 Chuyển các số hạng chứa x2 và x4 sang vế phải
x1 + 2x3 = -x2 - 3x4
4x3 = -4x4
Cho x2 và x4 giá trị thực bất kỳ rồi bằng phép thế ngược tìm giá trị của x1 và x3
x3 = -x4, x1 = -x2 - x4 Mọi nghiệm của hệ có dạng
x =
−
−
−
4 4 2
4 2
x x x
x x
Nhận xét Trong Ax = 0, số biến trụ = r(A), số biến tự do = (số cột của A) - r(A)
Định nghĩa Khi giải Ax = 0, cho một biến tự do bằng 1, và cho các biến tự do còn lại bằng 0, ta
được một nghiệm gọi một nghiệm đặc biệt
Trong ví dụ trên, cho x2 = 1, x4 = 0, thu được nghiệm đặc biệt
s1 =
−
0 0 1
1
Cho x2 = 0, x4 = 1, thu được nghiệm đặc biệt
s2 =
−
−
1 1 0 1
Trang 5Mỗi nghiệm của hệ có thể tách như sau
x =
−
−
−
4 4 2
4 2
x x x
x x
=
−
0 0 2
2
x
x
+
−
−
4 4
4 0
x x x
= x2
−
0 0 1
1
+ x4
−
−
1 1 0
1
= x2s1 + x4s2
Nghiệm bất kỳ của Ax = 0 là tổ hợp tuyến tính của s1 và s2: x = x2s1 + x4s2
Định nghĩa Nếu s1, , s k là tất cả các nghiệm đặc biệt của Ax = 0, gọi
c1s1+⋅⋅⋅+c k s k,
với c1, , c k là những số thực bất kỳ, là nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát của Ax = 0
Nghiệm tổng quát của hệ trong ví dụ trên là x = x2s1 + x4s2
Định lý 4.4.1 Cho Ax = 0 là hệ n ẩn
* Nếu r(A) = n, thì hệ có nghiệm duy nhất (N(A) = {0})
* Nếu r(A) < n, thì hệ có tất cả n - r(A) nghiệm đặc biệt s1, , s n-r(A) và N(A) gồm tất cả những
tổ hợp tuyến tính của s1, , s n-r(A) (Trường hợp này hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n - r(A) biến
tự do)
Hệ quả 4.4.2 Nếu Ax = 0 có số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì nó có vô số nghiệm
Chứng minh Giả sử A là ma trận m×n Theo giả thiết, m < n, nên min{m, n} = m Mặt khác, r(A) ≤
min{m, n}, nên r(A) < n Từ định lý trên suy ra Ax = 0 có vô số nghiệm.☺
4.5 CẤU TRÚC NGHIỆM CỦA Ax = b
Nghiệm riêng
Định nghĩa Một nghiệm nào đó của Ax= b được gọi là một nghiệm riêng
Trang 6Cách tìm một nghiệm riêng
Dùng phép khử để đưa [A b] về dạng bậc thang [U c] Trong hệ Ux = c, ta gán 0 cho những biến tự
do rồi giải ra các biến trụ, sẽ tìm được một nghiệm riêng
Ví dụ 1
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1
2x1 + 2x2 + 8x3 +10x4 = 6
3x1 + 3x2 + 10x3 +13x4 =7
Giải Thực hiện phép khử trên ma trận
[A b]=
13 10 3 3
10 8 2 2
3 2 1 1
7 6
1
được
[U c]=
0 4 1 0 0 0 0
4 4 0 0
3 2 1 1
Gán 0 cho x2 và x4, ta nhận được x1 = -1 và x3 = 1 Vậy một nghiệm riêng là
x p = (-1, 0, 1, 0)
Nghiệm đầy đủ
Định lý 4.5.1 Giả sử Ax = b có nghiệm riêng là x p Khi ấy, tập nghiệm của Ax = b là {x = x p +
x n | x n ∈N(A)}
Chứng minh Với x = x p + x n, do
Ax = Ax p + Ax n = b + 0 = b, nên x = x p + x n là nghiệm của Ax = b
Ngược lại, nếu x là một nghiệm của Ax = b, ta đặt x n = x - x p Do
Ax n = Ax - Ax p = b - b = 0, nên x n ∈N(A) ☺
Định lý này là cơ sở cho định nghĩa sau đây
Định nghĩa Nếu x p là nghiệm riêng của Ax = b, x n là nghiệm đầy đủ của Ax = 0, ta gọi x = x p +
x n là nghiệm đầy đủ hay nghiệm tổng quát của Ax = b
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1
2x1 + 2x2 + 8x3 + 10x4 = 6
Trang 73x1 + 3x2 +10x3 +13x4 = 7
có nghiệm đầy đủ là
x = x p + x n = x p + x2s1 + x4s2
=
−
0 1 0
1
+x2
−
0 0 1
1
+x4
−
−
1 1 0
1
=
−
−
−
−
4 4 2
4 2
1 1
x x x
x x
Hệ quả 4.5.2 Giả sử A là ma trận m×n và Ax = b có nghiệm x p nào đó
* Nếu r(A) = n, thì x p là nghiệm duy nhất của Ax = b
* Nếu r(A) < n, thì Ax = b có vô số nghiệm phụ thuộc n - r(A) biến tự do
Chứng minh
Xét hệ Ax = 0 Do Định lý 4.4.1:
* Nếu r(A) = n, thì Ax = 0 có nghiệm đầy đủ là x n = 0
* Nếu r(A) < n, thì Ax = 0 có tất cả n - r(A) nghiệm đặc biệt s1, , s n-r(A) nên nghiệm đầy đủ
là x n = c1s1+ ⋅⋅⋅ + c n -r(A) s n-r(A)
Ký hiệu x p là một nghiệm của Ax = b Từ Định lý 1 suy ra nghiệm đầy đủ của Ax = b trong hai
trường hợp tương ứng là
* x = x p + 0 = x p Tức là Ax = b có nghiệm duy nhất
* x = x p + c1s1+ ⋅⋅⋅ + c n -r(A) s n-r(A) Tức là Ax = b có vô số nghiệm phụ thuộc n - r(A) biến tự do ☺
NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN 5
Trang 8
NỘI DUNG ÔN TẬP TÍN CHỈ 1
I Giải hệ phương trình tuyến tính
* Phương pháp khử Gauss
* Qui tắc Cramer
* Tiêu chuẩn có nghiệm (Định lý Kronecker - Capelli)
* Biện luận hệ phương trình tuyến tính: Khi nào vô nghiệm Khi nào có nghiệm duy nhất Khi nào có vô số nghiệm
* Cấu trúc nghiệm của hệ tuyến tính Ax = 0 và Ax = b
II Ma trận
* Các phép toán ma trận và tính chất
* Ma trận nghịch đảo và cách tìm Tiêu chuẩn để một ma trận khả nghịch
* Ma trận khử, ma trận hoán vị Phân tích ma trận: A = LU
III Định thức
* Các tính chất của định thức
* Cách tính gián tiếp định thức dựa vào các tính chất của định thức
* Cách tính trực tiếp định thức theo Công thức Phần phụ đại số hoặc Công thức Quan trọng
* Áp dụng của định thức trong việc tính ma trận nghịch đảo và trong giải hệ tuyến tính
IV Không gian vectơ
* Định nghĩa không gian vectơ và định nghĩa không gian con
* Bốn không gian con chủ yếu liên quan đến một ma trận
* Hạng của ma trận và cách tính