Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân.. HƯỚNG DẪN GIẢI DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC 9 CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG... Dễ dàng chứng minh được tứ giác AEHF là hình chữ nhật
Trang 1Dự án phát triển hình học 9 Chương I
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Gọi M là trung điểm của BC Kí hiệu P ABC;S ABC theo thứ tự là chu vi và diện tích tam
giác ABC
1) Chứng minh rằng
2 2
AE HC
2) Chứng minh rằng BE BA. CF CA BC .
3) Chứng minh rằng AB2 AC2 HB2 HC 2
4) Chứng minh rằng 2 2 2
ABC HBA HAC
5) Chứng minh rằng AB3AC3 2AB2AC2 BC AH
6) Chứng minh rằng
3
3
7) Chứng minh rằng AB2AC2BE2CF2 2BC2 2AH 2
8) Chứng minh rằng BE CF BC EF . . 3
9) Giả sử S ABC 2S AEHF Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân
3
2 2
2
ABH
AB AC S
và
AHC AHF ABC
11) Chứng minh BE CH CF BH. . AH BC .
12) Lấy điểm S trong tam giác ABC sao cho MAB SAC Chứng minh rằng
2 2
SAB SAC
13) Giả sử các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn BC2 2BC AC. 4AC2 Tính số đo góc ABC 14) Gọi I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác Gọi , , D G Q lần lượt là hình chiếu của
I trên các cạnh BC AC AB Gọi L là trung điểm cạnh , , AC Đường thẳng LI cắt AB tại N , đường
thẳng DQ cắt đường cao AH tại P Chứng minh tam giác ANP là tam giác cân
HƯỚNG DẪN GIẢI
DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC 9 CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Trang 2Dự án phát triển hình học 9 Chương I
F
E
C B
A
1) Chứng minh rằng
2 2
AE HC
Tam giác ABC vuông tại A có đường có AH nên ta có AB2 BH BC và . AC2 CH BC
Do đó ta có
2 2
Từ giác AEHF là hình chữ nhật nên AEF ACB nên AEF ” ACB suy ra
AC AF .
Từ đó ta được
2 2
AE HC
2) Chứng minh rằng BE BA. CF CA BC .
Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABH ACH ta có ; BE BA BH CF CA CH 2; 2
Do đó BE BA. CF CA. BH2 CH2 BH CH BC.
3) Chứng minh rằng AB2 AC2 HB2 HC 2
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên ta có AB2 BH BC và . AC2 CH BC Áp dụng
định lý Pythago cho các tam giác vuông ABH và ACH ta có HB2 AB2 AH và 2 HC2 AC2 AH 2
Do đó ta được AB2 AC2 AB2 AH2 AC2AH2 AB2 AH2 AC2 AH2
Do đó ta được AB2 AC2 HB2 HC2
4) Chứng minh rằng 2 2 2
ABC HBA HAC
Ta dễ dàng chứng minh được các tam giác ABC HBA HAC đồng dạng với nhau nên ta có, ,
HBA
HAC
Do đó suy ra 2 2 2
ABC HBA HAC
5) Chứng minh rằng AB3AC3 2AB2AC2 BC AH
.
Trang 3Dự án phát triển hình học 9 Chương I
Từ đó kết hợp với định lý Pythago ta có AB2AC2 AB AC BC. 2 AH BC .
Suy ra AB3AC3 BC BC AH AB AC .
nên suy ra AB AC BC 2.
Từ đó AB3AC3 2BC BC AH2 2AB2AC2 BC AH
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xẩy ra khi tam giác ABC vuông cân tại A
6) Chứng minh rằng
3
3
Theo như trên ta đã có
2
2
AC HC , do đó suy ra
4 2
Áp dụng hệ thức lượng cho các tam giác vuông ABH và ACH ta có HB2 AB BE và HC2 AC CF
Do đó suy ra
4 4
AC AC CF hay
3
3
AC CF Do đó
Để ý rằng BEH ” HFC và
7) Chứng minh rằng AB2AC2BE2CF2 2BC2 2AH 2
Áp dụng định lý Pythago cho các tam giác vuông ta được
2 2 2; BE2 2 2; 2 2 2
Do đó ta được AB2AC2 BE2CF2 BC2AB2AC2 2AH2 2BC2 2AH 2
8) Chứng minh rằng BE CF BC EF . . 3
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên AH2 HB HC và . AH BC AB AC
Tam giác AHB vuông tại H có đường cao BE nên BH2 BE AB .
Tam giác ACH vuông tại H có đường cao CF nên CH2 CF CA .
Từ đó ta được AH4 BH HC2 2 BE AB CF AC BE CF AB AC BE CF BC AH .
Suy ra AH3BE CF BC . .
Dễ dàng chứng minh được tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH EF.
Do đó suy ra BE CF BC EF. . 3
9) Giả sử S ABC 2S AEHF Chứng minh rằng tam giác ABC vuông cân
Tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM nên 2
BC AM
Từ giác AEHF là hình chữ nhật nên S ADHE 2S ADH Mà ta lại có S ABC 2S ADHE
Trang 4Dự án phát triển hình học 9 Chương I
Do đó S ABC 4S ADH hay
1 4
ADH ABC
S
Ta lại chứng minh được DAH” ABC nên
1 4
ADH
ABC
Kết hợp các kết quả trên ta được AH AM hay tam giác ABC vuông cân tại A
10) Chứng minh rằng
3
2 2
2
ABH
AB AC S
và
+ Tam giác ABH vuông tại H nên
2
ABH
AH BH S
Khi đó áp dụng định lý Pythago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có
2
2
ABH
S
Hệ thức cuối cùng đúng do tam giác ABC vuông tại A Vậy ta có điều cần chứng minh.
+ Ta có AHC” BHA nên ta có
AHC AHB
P AB và AHF” HCF nên
AHF HCF
Do đó kết hợp với hệ thức lượng trong tam giác vuông ta được
AHC AHF AHB HCF
Ta có
AF AB nên HFE” AEF” ACB nên
2 2
ABC HEF
Lại do ABC” HCF nên
HF AH Kết hợp các kết quả trên ta được
11) Chứng minh BE CH CF BH. . AH BC .
Lời giải 1 Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao nên AC2 CH CB , suy ra ta được.
2
2
CB CB Chứng minh tương tự ta cũng có
BC BC Đến đây ta suy ra được
CH BH BE CA CF BC
CB BC BC Dễ thấy hai tam giác BEH ” BAC nên
BA BC , hai tam
Trang 5Dự án phát triển hình học 9 Chương I
giác CFH ” CAB nên
CA CB Đến đây thì ta suy ra được 1
BE AC CF AB AB AC BC AH
Kết hợp các kết quả lại ta được
CH BH BE CA CF BC BC AH
đến BE CH CF BH. . AH BC Đây chính là kết quả cần chứng minh..
Lời giải 2 Dễ thấy tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AF EH và AE FH Ta có
2 2
2 2 2 2
Ta có AH2 BH CH Dễ thấy hai tam giác EBH. ” FHC nên ta có
BE FC FH EH AE AF
EH HC FC BH
BE HC FH BH
Từ đó ta được
CF BH CF EH HC CF AF HC HF HC
Như vậy ta có
2
AE HB AE AF A H AF HC 2 0 AE HB AF HC2 2 2AE AF AH
Hai tam giác BEH ” HEA nên ta có
EA HA hay AE BH EH HA
Hai tam giác AHF ” HCFnên ta có
HC HF hay AF HC AH HF .
Từ đó ta được AE BH AF HC2. 2. AE AF HA AF AH AE. . . . 2.AE AF AH. .
Vậy BE CH CF BH AH BC
12) Lấy điểm S trong tam giác ABC sao cho MAB SAC Chứng minh rằng
2 2
SAB SAC
Trang 6Dự án phát triển hình học 9 Chương I
S A
Do MAB SAC nên ta được BAS CAM
Khi đó ta có
.AS.sin AS AS
.sin
SAB PAC
.AS AS.sin
PAB SAC
Do AM là đường trung tuyến nên ta được S MAB S MAC
Do đó ta được
SAB PAB PAC SAC
2 2
SAB SAC
13) Giả sử các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn BC2 2.BC.AC 4AC 2 Tính số đo góc ABC + Lời giải 1 Ta đi chứng minh bài toán phụ Cho tam giác ABC có ABC2ACB Khi đó ta luôn có
2 2
Chứng minh Kẻ tia phân giác của BD của tam
giác ABC, khi đó DBC DCB ABD và tam
giác BCD cân tại D Từ đó ta được
A B DBC DCBD 2ACB ABC
D
C B
A
Hai tam giác ABC ” ADB vì ABCADB và ABD ACB , do đó
AC AB hay AB2 AC AD
Mặt khác theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có
AD CD AB BC nên
ta được
AB AC AD
AB AC
Như vậy ta có
AB AC
AB AB suy ra AC2 AB2AB AC
Trở lại bài toán Từ giả thiết BC2 2.BC.AC 4AC 2 ta được
2
2 2 4 0
Trang 7Dự án phát triển hình học 9 Chương I
Đặt BC 1
AC thì ta có phương trình t2 2t 4 0 , giải phương trình ta được t 1 5 Từ đó ta
được 1 5
BC
AC Để ý rằng tam giác ABC vuông tại A nên ta có
sin
4
AC ABC
BC
+ Ta đi chứng minh
0 5 1 sin18
4
Thật vậy, xét tam giác MNP cân tại M 360, khi đó ta có
720
N P và N 2M Gọi I là trung điểm của PN, khi đó
MI là đường trung trực của NP nên NMI PMI180 Trong
tam giác MNI vuông ta có
0 sin18
2
NI NP
NM MN Theo bài toán
phụ trên thì ta có MN2 NP2MN NP nên suy ra.
2
1 0
P I
N
M
Hay ta được
2
MN MN Đến đây ta có phương trình 4sin 182 02sin180 Giải 1 0
phương trình thì ta được
0 5 1 sin18
4
Như vậy ta tính được ABC180.
T
A
+ Lời giải 2 Do M là trung điểm của cạnh BC Theo giả thiết ta có
2
AC
Trang 8Dự án phát triển hình học 9 Chương I
Suy ra ta được
CM AC MC Kẻ phân giác trong AT của tam giác ACM Theo tính chất của đường
Kết hợp hai kết quả ta được
AC CM AC MC Suy ra ACT” MC A và ACT cân tại A
Lại có
Do đó
1
180
2 ACB ACB ACB nên ACB720
Từ đó suy ra ABC180.
14) Gọi I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác Gọi , , D G Q lần lượt là hình chiếu của I
trên các cạnh BC AC AB Gọi L là trung điểm cạnh , , AC Đường thẳng LI cắt AB tại N, đường
thẳng DQ cắt đường cao AH tại P Chứng minh tam giác ANP là tam giác cân.
Q
L
G
I K
P N
A
Ta có IG song song với AC nên theo định lí Thales ta có
GI GL
1 2
AN
Ta có tứ giác AGIH là hình vuông nên AG GI Vì , ,D G Q lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh
, ,
1 2
2
Lại có BC AB CD AQCG AG 2AL AG 3 (3)
Thay 2 và 3 vào hệ thức 1 ta được
2 2
.G
AC AB CA BC
AC I AN
BC AB
Trang 9Dự án phát triển hình học 9 Chương I
Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt DQ tại K , khi đó tam giác APK vuông tại A
Ta có BD BQ do đó ta có AK AQ AG và 0
1
2
Trong tam giác AKP có
2
AP
ID
BD
AP
Từ * và ** ta được AN AP nên tam giác ANP cân tại A