Dự án phát triển bài hình lớp 9 chương III

2 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác 3 Gọi là giao điểm của với.. 7 Gọi là giao điểm khác của đường tròn ngoại tiếp tam giác với đ

Bài 1 Cho tam giác nhọn có nội tiếp đường tròn Gọi là trực tâm của tam giác

và vuông góc với tại , cắt đường tròn tại điểm thứ hai là Gọi là trung điểm của Trên đường tròn lấy các điểm và sao cho (Các điểm

theo thứ tự đó trên đường tròn)

1) Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng

2) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác

3) Gọi là giao điểm của với Chứng minh rằng

4) Trên đoạn thẳng lấy điểm sao cho Chứng minh rằng tứ giác

nội tiếp đường tròn

5) Đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại khác Chứng minh rằng

đi qua trung điểm của

6) Gọi là giao điểm của với và gọi là giao điểm khác của hai đường trong ngoại tiếp hai tam giác và Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng

7) Gọi là giao điểm khác của đường tròn ngoại tiếp tam giác với đường tròn Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng

8) Gọi đối xứng với qua và là giao điểm của với Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp đường tròn

9) Chứng minh rằng

10) Gọi là giao điểm của với Đường thẳng qua vuông góc với cắt và theo thứ tự tại và Chứng minh rằng

11) Dựng các đường cao và của tam giác Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm với nằm giữa Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Lời giải

x

R

L P'

C1

B1

C'

B'

Z

V U

Y

X

T G

L

K

J

I O

H

Q P

N

E D

A

O

M

H

Q

K

F E D

C B

A

X

1) Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Do nên các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và lần lượt nhận

và đường kính Gọi là đường kính của đường tròn Khi đó dễ thấy song song với (vì cùng vuông góc với ) và song song với (vì cùng vuông góc với ), suy ra tứ

2) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam

Ta có đối xứng với qua BC Giả sử các tiếp tuyến tại và của đường tròn ngoại tiếp tam giác

biến đổi góc

Lại có nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Do và đối xứng nhau qua nên là đường trung trực của , từ đó suy ra thuộc đường thẳng Do là tiếp tuyến của đường tròn đường kính nên ta có vuông góc với tại Tam giác

vuông tại có đường cao nên Từ đó suy ra là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngại tiếp tam giác và với tiếp điểm là giao điểm của hai đường tròn Do

đó suy ra hai đường tròn ngại tiếp tam giác và tiếp xúc nhau

3) Gọi là giao điểm của với Chứng minh rằng

Chứng minh Dựng đường tròn tâm bán kính , đường

tròn này cắt các đường thẳng và lần lượt tại và

(khác và ) Khi đó ta có tứ giác nội tiếp đường

tròn nên Do đó ta có biến đổi góc

Q

P

D

M

B A

Từ đó ta suy ra được ba điểm thẳng hàng Từ đó dẽ thấy tam giác và tam giác đồng dạng với nhau Mà và lần lượt là các đường trung tuyến của tam giác và nên ta suy ra được hai tam giác và đồng dạng với nhau, do do vậy Từ đó ta suy ra được đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua đường phân giác

P' O

X

A

F

K

Q

H

M

Trở lại bài toán Như ta đã có là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và nằm trên đường thẳng Do nên suy ra là tiếp tuyến tại với đường tròn ngoại tiếp tam giác Ta có và đối xứng với nhau qua nên suy ra cũng là tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi đó theo bài toán phụ thì và đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc

Như vậy bài toán được chứng minh

4) Trên đoạn thẳng lấy điểm sao cho Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp đường tròn.

L O

M

H

Q

K

F E D

C

Ta có biến đổi góc như sau

Từ đó dẫn đến tứ giác nội tiếp đường tròn Ta lại có biến đổi góc

Do đó tứ giác nội tiếp đường tròn

5) Đường thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại khác Chứng minh rằng

đi qua trung điểm của

I

T N' P

N

M

H

Q

K

F E D

C B

A

X O

Gọi và lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác và Từ đó suy ra ba điểm

thẳng hàng Gọi là trung điểm của Ta đã có bốn điểm thẳng hàng nên , suy ra hai tam giác vuông và đồng dạng với nhau Từ đó suy ra hai tam giác

và đồng dạng với nhau Mà ta lại có và lần lượt là hai trung tuyến của hai tam giác và nên ta được hai tam giác và đồng dạng, suy ra và

Từ đó suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn Ta có biến đổi góc sau

Do đó ba điểm thẳng hàng hay đi qua trung điểm của

6) Gọi là giao điểm của với và gọi là giao điểm khác của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác và Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Trước hết ta phát biểu và chứng minh bài toán phụ:

AB và CD cắt nhau tại M, các cạnh AD và BC cắt nhau

tại N Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam

giác ABN, CDN, ADM, BCM cùng đi qua một điểm E và

ba điểm M, E, N thẳng hàng.

O

E

N

M

D

C B

A

tiếp đường tròn ta có và nên ta được nên tứ giác BCEM nội tiếp đường tròn Vậy đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABN, CDN, ADM, BCM cùng đi qua

hay ba điểm M, E, N thẳng hàng.

Trở lại bài toán Áp dụng bài toán phụ cho tứ giác PQKM nội tiếp đường tròn thì ta được ba điểm N,

N’, T thẳng hàng

7) Gọi là giao điểm khác của đường tròn ngoại tiếp tam giác với đường tròn Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

R

O

X

A

F

K

Q

H

M

N

P

Để ý rằng tứ giác nội tiếp đường tròn, từ đó ta có

Do đó suy ra , do đó ta có biến đổi góc

Dẫn đến điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác Để ý các tứ giác và

nội tiếp đường tròn ta có

Do đó hai tia và trùng nhau hay ba điểm thẳng hàng

nội tiếp đường tròn

G

U S

P N

M

H

Q

K

F

E D

C B

A

X O

Ta có ba điểm thẳng hàng và tứ giác nội tiếp đường tròn nên ta có

Lại do và đối xứng với nhau qua

tròn

9) Chứng minh rằng

Do là điểm đối xứng với qua ta có Lại thấy hai tam giác

và đồng dạng kết hợp với và là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác nên ta được

Đến đây ta suy ra được hai tam giác và đồng dạng với nhau nên suy ra

do S và F đối xứng với nhau qua KH nên ta được nên suy ra tứ giác

nội tiếp đường tròn, suy ra hay nằm trên đường cao Lại có

nên tứ giác nội tiếp đường tròn, do đó ta có Đến đây ta được hai tam giác và đồng dạng với nhau, mà tam giác cân nên ta suy ra

V

V

O

X

F

K

Q

H

M

P

I J

cho hai cạnh AD và BC cắt nhau tại điểm T Đường thẳng qua T vuông góc với OT cắt hai đường chao

Chứng minh Ta xét trường hợp M và N ở vị trí như hình vẽ,

các trường hợp khác chứng minh hoàn toàn tương tự Nối các

đoạn thẳng OM và ON, gọi K và H theo thứ tự là hình chiếu của

O trên AC và BD Khi đó K là trung điểm của AC và H là trung

điểm của BD Dễ thấy các tứ giác THON nội tiếp đường tròn

K J H O

N

B A

Trở lại bài toán Áp dụng bài toán phụ cho tứ giác ta được

C1

B1

C'

B' O

X

A

F

K

Q

H

M

Trong nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm vẽ tia tiếp tuyến với đường tròn Khi đó ta có

Mặt khác ta có nên tứ giác nội tiếp đường tròn Suy ra

Do đó ta được nên suy ra song song với Mà ta có vuông góc với nên

ta suy ra vuông góc với Từ đó suy ra

Ta lại có Từ đó ta được

Kết hợp các kết quả trên ta được

Vẽ tia tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác , tia nằm trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm Khi đó ta có nên ta suy ra được , điều này dẫn đến

là là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác