Trên cạnh CD lấy điểm N bất kì và Q là giao điểm của AN với đường chéo AC.. 6 Xác định vị trí của N để tam giác CMN có diện tích lớn nhất.. 7 Tìm vị trí của các điểm N sao cho đoạn thẳn
Trang 1Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm
Bài 1 Cho hình vuông ABCD có cạnh a không đổi Trên cạnh CD lấy điểm N bất kì và
Q
là giao
điểm của AN với đường chéo AC Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của
Q
trên AB và AD 1) Chứng minh rằng các đường thẳng
, ,
DE DF BE
đồng quy
2) Tìm vị trí của N để tích
QE QF
có giá trị lớn nhất
3) Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho CN BG
Tìm vị trí điểm N để độ dài đoạn NG ngắn nhất
4) Gọi I là giao điểm của giao điểm của CQ với EF Chứng minh rằng
QE QF QI
5) Trên các cạnh BC lấy điểm M sao cho
� 450
MAN
Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi
6) Xác định vị trí của N để tam giác CMN có diện tích lớn nhất
7) Tìm vị trí của các điểm N sao cho đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất
8) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN
9) Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và
Q
Chứng minh rằng các đoạn thẳng , ,
BP PQ QD
là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông
10) Gọi O là giao điểm của NP với
MQ
Chứng minh rằng AO vuông góc với MN 11) Chứng minh rằng đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích bằng nhau 12) Chứng minh rằng
QA QB QC QD � 2
DỰ ÁN PHÁT TRIỂN HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG I:
TỨ GIÁC
Trang 2Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm
HƯỚNG DẪN GIẢI
1) Chứng minh rằng các đường thẳng
, ,
DE DF BE
đồng quy
Ta có tứ giác
AEQF
là hình chữ nhật nên
AF QE
và
QF AE
Các tam giác
QEB
và
QCF
vuông
cân nên
QF DF
và
QE BE
Suy ra AE FD
và AFBE
Từ
ta được
CE BF
và từ
ta được
DE CF
và
DECF
Lại có
QC QA EF
nên
nên
QCF FED
Mà ta có
� � 900
FED CFE
nên suy ra
QCF CFE
Gọi giao điểm của
CQ
với EF là I , khi đó ta có
� 900
CIF
hay
CQEF
Như vậy
, ,
DE DF BE
là các đường cao của tam giác CEF nên
, ,
DE DF BE
đồng quy tại một điểm 2) Tìm vi trí của N để tích
QE QF
có giá trị lớn nhất
Ta có tứ giác
AEQF
là hình chữ nhật nên đặt
;
AF QE x AE QF y
với
x y a
Ta có
x y �xy
nên
2 2
1
a
xy� x y
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
x y
Do đó tích
QE QF
có giá trị lớn nhất là
2
4
a
khi
N
trùng với đỉnh
C
của hình vuông
ABCD
3) Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho
CN BG
Tìm vị trí điểm
N
để độ dài đoạn
NG
ngắn nhất
Trang 3Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm
Đặt BG x
khi đó ta được GC a x
Tam giác CNG vuông tại C nên theo định lí Pythago ta được
2
2
GN CG NC a – x x 2x – 2ax a
� � � � � � �
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
1 0
a
x a � x
Suy ra ta được
2 2
a
GN �
Do đó NG đạt giá trị nhỏ nhất là
2 2
a
khi 2
a
x Vậy khi
N
là trung điểm của
CD
thì MN nhỏ nhất
4) Gọi I là giao điểm của giao điểm của CQ với EF Chứng minh rằng
QE QF QI
Theo chứng minh như trên ta có
QI EF
Do đó ta có
2S QEF QE QF EF QI
và
EF QE QF
Suy ra
1
EF
QI QE QF
hay
Vậy ta có điều cần chứng minh
5) Trên các cạnh BC lấy điểm M sao cho
� 450
MAN
Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi
Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AM , đường thẳng này cắt đường thẳng CD tại K
Khi đó ta có
KAD MAB
Hai tam giác vuông ADK và ABM có
KAD MAB
và AD AB
Do đó ADK ABM
, suy ra
;AM
và
DAE MAB
Từ đó ta được
� 450
KAN
Xét
hai tam giác AMN và AKN có
AM AK MAN KAN
và AN là cạnh chung Suy ra AMN AKN
nên ta được MN NK
Gọi
CMN
p
là chu vi tam giác
CMN
, khi đó ta có
2
CMN
p CM MN CN CM KN CN CM CN BM CN BC CD a
Trang 4Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm
Do đó chu vi tam giác CMN không đổi
6) Xác định vị trí của N để tam giác CMN có diện tích lớn nhất
Đặt
;
CM x CN y
Theo định lí Pythago ta có
MN x y
nên ta được
MN x y
Do tam giác CMN có chu vi không đổi nên ta có
x y x y a
Từ đó ta có
1 2
CMN
với
x y x y a
không đổi
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có
2
x y � xy
và
x y � xy
Do đó ta được 2a x y x2 y2 � xy2 2
nên xy a� 2 2 1
Do đó ta được 2
2
2 2 1
nên 2
CMN
Dấu bằng xẩy ra khi x y a 2 2 1
hay BM CN a 2 2 1
Vậy tam giác CMN có diện tích lớn nhất là 2
khi M và N thoả mãn
2 2 1
7) Tìm vị trí của các điểm N sao cho đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất
Như chứng minh trên ta đã có
2
MN CM CN a
không đổi Đặt
; ;CN
MN x MCy z
Áp dụng bất đẳng thức 2 2 2
2 a b �a b
và định lí Pythago cho tam giác CMN được
1 2
a
y �z y z x a x x a x x x a
Vậy ta có Min MN 2 2 2 a
, đạt được tại
2 2
2
x
y z a
Khi đó
,
AM AN
theo thứ tự là
phân giác của góc
�
DAC
và
�
BAC
8) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN
Trang 5Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm
Đặt
BM x DN y �x y a�
Khi đó ta có
Hay ta được
ax
AMN
S a �� ay a x a y �� a xy
Mặt khác từ tam giác vuông CMN có
2 2 2
MN a x a y
Từ đó suy ra
x y a ax x a ay y � xy a a x y �a x y a xy
Do vậy
AMN
S a x y at
với
t x y
Đến đây ta nhận thấy nếu t lớn nhất thì diện tích tam giác
AMN
lớn nhất và ngược lại Như vậy ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của t
+ Để ý là ta đang có
x y t
và
2
x y a at
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc ta có
2
2
1
x y
�
Do đó
Ta được
2
4
a at� t �t at a � � t a �a
Do đó ta suy ra được t�۳2a 2 2a t 2a 2 1
Dấu bằng xẩy ra khi
2 2 1
t
x y
�
�
�
Vậy ta được
1 2 2 1 2 1 2
AMN
S
+ Lại có
xy a at �at a xy
nên suy ra
2
at a�
nên t a�
Điều này có nghĩa là M t aax
, khi đó
2
1
AMN
S
a
Trong trường hợp này ta được
; 0
x a y
hoặc
0;
x y a
hay
;
M �B N C�
hoặc
;
M �C N �D
9) Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và
Q
Chứng minh rằng các đoạn thẳng
, ,
BP PQ QD
là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông
Trang 6Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm
Vẽ AH MN
tại H Xét hai tam giác AMN và AKN có AN chung, AM AK
và MN KN Suy ra
nên ta được
�AKN �AMN �AMB
và
AND ANH
Xét hai tam giác vuông AND và ANH có AN chung và
�AND�ANH
Suy ra AND ANH
nên ta được
;
DN HN AD AH AB
Do đó ta được HM MN HN DN MB DN MB
Như vậy AM là đường trung trực của HB, nên ta được PB PH
và
�AHP �ABP450
Hoàn toàn tương tự ta được
QD QH
và
QHN QDN
Từ đó ta được
QHP PHM QHN
Do đó tam giác
QHP
vuông tại H nên ta có
PQ QH HP
Do đó ta được
PQ DQ PB
hay các đoạn thẳng
, ,
BP PQ QD
là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông
10) Gọi
O
là giao điểm của
NP
với
MQ
Chứng minh rằng
AO
vuông góc với
MN
Theo chứng minh trên thì
,
AM AN
theo thứ tự là trung trực của
,
BH DH
nên
,
AM AN
theo thứ tự là
phân giác của góc
� ,�
BAH DAH
Lại có
KAD MAB
nên suy ra
AQ
là phân giác của góc vuông
�
KAM
Lấy điểm T đối xứng với A qua điểm Q thì ta có tứ giác AMTK là hình vuông với AT là đường chéo
Khi đó ta có
nên suy ra Q là trung điểm của MK Do đó suy ra ba điểm
, ,
M Q K
thẳng hàng và
MQ AQ
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có NP AP
Tam giác AMN có hai
đường cao
,
NP NQ
nên O là trực tâm Do đó ta được AOMN
11) Chứng minh rằng đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích bằng nhau
Kẻ
PLMQ
tại Lvà
PJ AQ
tại J Ta có các tam giác
APN AQM NQH MPH MPL
vuông cân
Trang 7Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm
Lại có 2 2
nên
APQ
PN
Áp dụng định lý Pythago ta có cho tam giác vuông
NQH
ta có
NH QH NQ NQ
, suy ra
2
NO
NQ
Áp dụng tương tự ta có
2
PO
PL
1
2 2
APQ
Như vậy ta có
1 2
12) Chứng minh rằng
QA QB QC QD � 2
+ Lời giải 1 Do ABCD là hình vuông có cạnh bằng a nên
AC BD a
Do
Q
là điểm nằm trong hình vuông
ABCD
nên
QA QC �AC
Từ đó ta được
2
2
a
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta được
QB QD �a
Do đó suy ra
QA QB QC QD � 2a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Q
là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, khi đó điểm M trùng với điểm B và N trùng với điểm C
Trang 8Giáo Viên Biên Soạn: Nguyễn Lợi Thơm + Lời giải 2 Dễ thấy
2S AOB �QA.QB
Ta thấy
QA QB � �QA QB �QA B
Do đó ta được
4 QAB
QA QB � S
Chứng minh được tự ta được
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
2 QA QB QC QD �4 S QABS QCBS QCDS QAD 4S ABCD 4a
QB QD �a
Do đó suy ra
QA QB QC QD � 2a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Q
là giao điểm của hai đường chéo
AC
và BD, khi đó điểm M trùng với điểm B và
N
trùng với điểm
C