Bất đẳng thức Bunhia copxkyI.Kiến thức cơ bản.. Một số ví dụ: 1Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác... Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhấ
Trang 1Bất đẳng thức Bunhia copxky
I.Kiến thức cơ bản.
Định lý: Với mọi số a1, a2, …an, b1, b2 , …., bn ta luôn có:
(a1b1 +a2b2 + +a n b n)2 ≤ (a2
1+a2
2+…+a2
n)(b2
1 +b2
2+…+b2
n) Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
n
n b
a b
a b
a
=
=
=
2
2 1 1
Chứng minh:
(a1t-b1)2 ≥0
(a2t-b2)2 ≥0
………
(ant-bn)2 ≥0
1
2
a +….+ 2
n
1
2
b +….+ 2
n
b )≥0
1
2
a +….+ 2
n a
B=ab+ab+ab
C= 2 +
1
2
b +….+ 2
n b
A[(t-B)2
-A
AC B
4
II Một số ví dụ:
1)Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác.
Ví dụ 1 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng:
a
c c
b b
a a
c
c
b
b
a22 + 22 + 22 ≥ + +
với a, b, c > 0 ta có : a+b+c ≥ 3 3 abc (bất đẳng thức Cosi)
a2+b2+c2 ≥
3
1 (a+b+c)2 Cosi-Bunhia
Hay
c
b b
a a
c c
b
b
3
1 (
2
2 2
2
2
2
)2 ≥
3
1 (
a
c c
b b
a
+ + ) 3 3
a
c c
b b
a =
a
c c
b b
a
+ + (đpcm)
Ví dụ 2 Cho a2+b2+c2=1 và m2+n2 = 1
Chứng minh rằng: am+bn+c ≤ 2
Ta có: m2+n2+1 = 2 do đó: (am+bn+c)2 ≤ (a2+b2+c2)( m2+n2+1)=1.2 (áp dụng BĐT Bunhia a,b,c và m,n,1)
⇔ (am+bn+c)2 ≤2
Trang 2Ví dụ 3
Cho ba số a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1
Chứng minh rằng a2+b2+c2 ≥
3 1
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 và a,b,c ta có:
(12+12+12)( a2+b2+c2) ≥(1 a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1
⇔3( a2+b2+c2) ≥1
⇔ a2+b2+c2 ≥
3 1
Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c=
3 1
2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Ví dụ 4 Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x4+y4+z4
Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho 6 số
a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x
ta có:
1=(xy+yz+zx)2 ≤ (x2+y2+z2)( x2+y2+z2) ⇔ ( x2+y2+z2 ) ≥ 1
Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x2; b2=y2; b3=z2
1 ≤ (x2+y2+z2)2 ≤ (1+1+1) (x4+y4+z4) ⇒ ( x4+y4+z4 ) ≥
3 1
Dấu đẳng thức xẩy ra khi:
x
z z
y y
x
=
= và x2=y2=z2 ⇒ x=y=z=
3
3
±
Vậy Pmin =
3
1
Ví dụ 5:
Cho các số dơng a,b,c và các số dơng x,y,z thay đổi sao cho:
1
=
+
+
z
c
y
b
x
a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+z Giải:
z
c y y
b x x
a c b
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( a + b+ c )2 ≤ ( )(x y z)
z
c y
b x
a + + + +
Trang 3⇔( a+ b+ c)2 ≤ x+y+z
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
z z
c y y
b
x
x
a
: :
⇔
+ +
+ +
=
=
=
y x
c b a z
c y
b
x
a
=1:( a+ b+ c )
Đến đây dễ dàng suy ra:
x= a( a+ b + c)
y= b( a+ b + c)
z= c( a + b+ c)
Khi đó
Amin=( a + b+ c )2
3.Dùng bất đẳng thức cosi-bunhia copxky vào giải
ph-ơng trình
I Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình x−4+ x−6=x2 - 10x + 27
Giải: Đk:4≤x≤6
Ta có VP= x2 - 10x + 27= x2 - 10x + 25+2=(x-5)2+2≥2
VT2=( x− 4+ x− 6)2 ≤(12+12) { ( x− 4)2 +( x− 6)2 }
(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1,1 và x−4, x−6 )
Măt khác : ( x−4)2 +( x−6)2=x-4+6-x=2
Suy ra : VT2 ≤ 2.2 ⇔VT≤2(vì VT= x−4+ x−6 ≥0)
Ta thấy VP≥2, VT≤2 nên phơng trình có nghiệm khi VT=VP=2
5
=
⇔ x
Vậy phơng trình có môt nghiệm x=5
Ví dụ 2 Giải phơng trình 41−x2 + 41+x+ 41−x =3
Giải: Đk : -1≤x≤1
Theo bât đẳng thc Cô-si ta có:
41 x− 2 =4 ( 1 −x)( 1 +x) ≤
2
1 x− +
2
1 x+ (1) 4 + =
1 x 4 1 ( 1 +x) ≤
2
1
1 + +x
(2)
= − ≤1+ 1−x (3)
Trang 4Tõ (1),(2),vµ(3) ta cã : 41 x− 2 +41 x+ +41 x− ≤1+ 1 +x+ !−x
≤1+
2
1
1 + +x+
2
1
1 + −x=3
DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi
1+x= 1−x
1+x=1
x
−
⇔x=o
KiÓm tra l¹i ta thÊy x=0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh