Chương 5 : Biến đổi Z

Töông töï nhö phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng, neáu khoâng thoâng tin gì theâm thì noùi chung phöông trình treân seõ toàn taïi moät hoï nghieäm. Ñeå giaûi [r]

BIẾN ĐỔI Z

6.1 TỪ LAPLACE ĐẾN BIẾN ĐỔI Z

6.1.1 Tín hiệu rời rạc, hệ thống rời rạc

6.1.1.1 Khái niệm về tín hiệu rời rạc

Là tín hiệu có biến độc lập rời rạc theo thời gian, hàm tín hiệu có giá trị ở

những thời điểm nhất định Ta có thể thu nhận được tín hiệu rời rạc bằng cách lấy

mẫu tín hiệu liên tục nên tín hiệu rời rạc còn được gọi là tín hiệu lấy mẫu

Ví dụ sau đây minh họa sự rời rạc hóa tín hiệu bằng cách lấy mẫu một tín

hiệu tương tự với chu kỳ lấy mẫu là Ts (hay có tần số lấy mẫu là Fs=1/Ts)

Theo định nghĩa, tín hiệu rời rạc có thể được biểu diễn bằng một dãy các giá

trị (thực hoặc phức) với phần tử số thứ n (n nguyên) được ký hiệu là x(n)

{ }

{ , ( 2 ), ( 1 ), ( 0 ), ( 1 ), ( 2 ), }

) (

x x x x x x

n n

6.1.1.2 Một số dãy tín hiệu rời rạc đặc biệt

0 0

) (

n

nn

0 0

) (

n

n

n u

) 1 (

) ( )

Nó có dạng suy giảm khi 0< a <1

Nó có dạng tăng khi a >1

Ngoài ra ta còn định nghĩa tín hiệu phức j f n

e n

x( ) = (σ 2π )

- Tín hiệu rời rạc được gọi là tuần hoàn với chu kỳ N nếu x(n)=x(n+N)

- Tín hiệu hình sin có chu kỳ N là:

) (

2 sin )

N n

… -2 -1 0 1 2 …

1

u(n )

Ta có thể lấy mẫu tín hiệu hình sin liên tục có tần số ω= 2πf và với tần số lấy mẫu Fs bằng cách thay t=n.TS, θ = ωt0 = ωn0TS

) 2

2 sin(

6.1.1.3 Các phép toán đối với tín hiệu rời rạc

- Phép nhân hai tín hiệu rời rạc

{ , ( 1 ) ( 1 ), ( 0 ) ( 0 ), ( 1 ) ( 1 ), }

) ( ), (

y x y x y x

n y n x y x

x x

x

n x x

αα

y x y x y x

n y n x y x

+ +

− +

−

=

+

= +

- Phép dịch

Dãy x được dịch sang phải n0 mẫu thành dãy y như minh họa sau:

Với việc dịch phải tín hiệu ta còn gọi là làm trễ tín hiệu Khối làm cho tín hiệu bị trễ ta thường ký hiệu là khối D (Delay) Sau đây là ký hiệu khối

trễ một chu kỳ lấy mẫu:

Như vậy, tín hiệu x(n) có thể biểu diễn:

x( ) ( ).δ( )

x(n)

y(n) x(n).y(n)

- Ngược lại với tín hiệu xác định ta có tín hiệu ngẫu nhiên Đó là tín hiệu mà ta không thể dự đoán trước các giá trị của nó, nó được đặc trưng bằng các tham số thống kê và tần số

- Năng lượng của tín hiệu chính là tổng bình phương các Mođun

2

) (

6.1.1.4 Hệ thống rời rạc

Là hệ thống xử lý các tín hiệu rời rạc Tín hiệu vào x(n) gọi là tác động Tín

hiệu ra y(n) gọi là đáp ứng của hệ xử lý Ta có thể biểu diễn một hệ xử lý tín hiệu

rời rạc như sau:

)()(n T x n

y =

- Một hệ gọi là tuyến tính nếu nó thỏa mãn nguyên lý chồng chất tức là:

) ( ) ( ) ( )

( )

( ) (

) ( ) ( ) (

2 1

2 1

2

x T

n y a n x T a n x a T

+

= +

= +

x( ) ( ).δ( ) Vì vậy đối với hệ tuyến tính thì:

k

n h k x k

n T k x k

n k x T n

Trong đó h k(n) =T[δ(n−k)] gọi là đáp ứng xung của hệ Đó là đáp ứng của

hệ đối với tác động là xung δ(n−k),(đây là xung một mẫu tại thời điểm k)

Như vậy nếu hệ chỉ là tuyến tính thì hk(n) còn phụ thuộc vào thời điểm k tác

động Hay nói khác hơn, đáp ứng của cùng một nguồn tác động nhưng xét tại các

thời điểm khác nhau thì nó sẽ khác nhau Trong trường hợp này gần như ta chưa

phân tích được hệ Ta chỉ xét hệ trong trường hợp có thêm điều kiện bất biến theo

thời gian

T[ ]

• Hệ tuyến tính bất biến

- Một hệ gọi là bất biến theo thời gian nếu như đáp ứng của hệ đối với tác

động x(n) là y(n) thì đáp ứng của hệ đối với tác động là x(n-k) sẽ là y(n-k) Nói cách

khác, nếu nguồn tác động bị dịch đi một đoạn k thì tín hiệu ra cũng bị dịch đi một

đoạn là k, nếu xung tác động bị dịch đi k mẫu thì đáp ứng xung cũng dịch đi k mẫu

Như vậy, mọi hệ tuyến tính và bất biến đều được đặc trưng hoàn toàn bằng

đáp ứng xung h(n) Tức nếu biết được h(n), ta hoàn toàn có thể tính được y(n) của

tín hiệu vào x(n) bằng công thức chập sau:

) (

* ) ( ) ( ) ( )

Vì vậy, ta chỉ xét các hệ này Bên cạnh đó, ta còn dựa vào độ dài của đáp

ứng xung để phân ra hai loại:

+ Hệ có đáp ứng xung hữu hạn (FIR - Finite Impulse Respone System): là hệ

có đáp ứng xung với độ dài hữu hạn Hệ này ta hoàn toàn có thể dùng công thức

chập để tính đáp ứng xung vì số phép tính trong thực tế sẽ là hữu hạn

+ Hệ có đáp ứng xung vô hạn (IIR - Finite Impulse Response System): là hệ

có đáp ứng xung với độ dài vô hạn Để tính đáp ứng của hệ này, ta phải dùng

phương pháp khác

• Hệ không tuyến tính gọi là hệ phi tuyến (ta không xét hệ này)

• Hệ có nhớ - Hệ không nhớ - Hệ đồng nhất:

- Hệ không nhớ là hệ mà tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào tại

cùng thời điểm

- Hệ có nhớ là hệ mà tín hiệu ra phụ thuộc vào tín hiệu vào không chỉ ở

thời điểm hiện tại, mà còn phục thuộc vào những thời điểm khác

- Hệ đồng nhất là hệ mà tín hiệu ra bằng tín hiệu vào y(n)=x(n)

0,0

0,)

6.1.2.5 Các hệ thống tuyến tính bất biến

Do tính khả thi của hệ tuyến tính bất biến về cả lý thuyết lẫn thực hành nên

chúng ta chỉ xét các hệ tuyến tính bất biến, còn các hệ phi tuyến và các hệ thay đổi

theo thời gian ta sẽ không đề cập đến do tính phức tạp của chúng

6.1.2.5.1 Tính chất chập của hệ thống tuyến tính bất biến

k n x k h n

x n h k n h k x n

h n x n

y( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( )

+ Tính phân phối

x(n)*[h1(n)+h2(n)]=x(n)*h1(n)+ x(n)*h2(n)

6.1.2.5.2 Hệ nhân quả:

Các hệ có tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào trong quá khứ và hiện tại được gọi là hệ nhân quả Nghĩa là nếu:

0kk,0)n(

Giả sử ta xét hai tác động x1(n) và x2(n) hoàn toàn giống nhau ∀n <n0 và

khác nhau ∀n>n0 Ta có:

Nếu hệ là nhân quả ta phải có y1(n)=y2(n), ∀n<n0 Ta có thể phân chia phép

( )

( ).

( )

1 1 1

n k n

k

k n h k x k

n h k x n

( )

( ).

( )

1 2 2

n k n

k

k n h k x k

n h k x n

y

Theo giả thiết x1 (k) −x2 (k) ≠ 0 ∀n>n0 Vì vậy để thỏa mãn biển thức này ta

cần phải có h(n-k)=0 ∀n<n0 và k ≥ n0

Đặt m=n-k ta có

0 m , 0 ) m (

h ==== ∀ <<<<

Ta có thể chứng minh điều ngược lại nghĩa là nếu đáp ứng xung h(n) của một

hệ tuyến tính bất biến bằng 0 ∀n< 0 khi đó hệ sẽ là nhân quả

Đối với hệ nhân quả, dạng chung của công thức chập sẽ được viết lại như

( )

(

k

k h k n x n

( )

(

N

k

k h k n x n

y

Ngoài ra, chúng ta có thể mở rộng định nghĩa tính nhân quả cho tín hiệu: Tín

hiệu nhân quả là tín hiệu khác 0 từ thời điểm 0

0 0

) (

n

n n

x

6.1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Hệ tuyến tính bất biến đóng vai trò hết sức quan trọng trong nhiều ứng dụng

thực tiễn Một lớp hệ con của hệ tuyến tính bất biến là các hệ có tín hiệu vào và ra

thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dưới dạng:

k y n k b x n r a

) ( )

(

Trong đó các hệ số ak và br đặc trưng cho hệ tuyến tính bất biến

6.1.2.2 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Ta có thể tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dưới

dạng công thức truy hồi : ∑ ∑

k n y a

a k

n x a

b n

y

)()

()

(

Tương tự như phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, nếu không thông tin

gì thêm thì nói chung phương trình trên sẽ tồn tại một họ nghiệm Để giải được

phương trình này bằng phương pháp thông thường, ta bắt buộc phải nhẩm ra dạng

nghiệm của nó, đây cũng là nhược điểm của phương pháp này; nói chung, không

phải lúc nào ta cũng làm được

Các bước giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng:

0

0 ) (

Trong đó yh sẽ có N +1 hệ số bất định

Bước 2:

Tìm nghiệm riêng yp của phương trình có vế phải

Nghiệm tổng quát sẽ là tổng của nghiệm của phương trình đồng nhất và nghiệm riêng:

y(n)=yp(n)+yh(n)

Bước 3:

Xác định các hệ số bất định trong nghiệm tổng quát thông qua các điều kiện đầu là các giá trị ban đầu của y(n-k)

Lưu ý: Phương pháp này chỉ có tính chất lý thuyết hơn là thực tiễn nhằm

tìm ra nghiệm dưới dạng giải tích Trong thực tế, ta sẽ hay dùng các phép

biến đổi như biến đổi z để tìm nghiệm này, lúc đó quá trình làm sẽ đơn

giản hơn

n y n

y n

y − − + ( − 2 ) = 5−

6

1 ) 1 ( 6

5 )

1 6

n

a a

a

0 6

1 6

⇒ ( ) 1.2 2.3 , với c1, c2 là hai hằng số tùy ý

Bước 2: Tìm nghiệm riêng tương tứng với phương trình có vế phải Ta cũng

giả thiết nghiệm có dạng:

n n

c  − − − − + 65− − =5−

1 5

p h

c c

y n y n y

)()(

2 1

Bước 3: Từ điều kiện ban đầu y(-2)=25 và y(-1)=6 ta có hệ phương trình sau:

3

2

; 2 3

1 3 2

0 9 4

2 1

2 1 1

= +

c c

c c

3 )

Lưu ý: Ví dụ trên là chỉ để cho ta thấy sự vất vả của việc dùng phương

pháp này, trong thực tế cũng như lý thuyết, ta không bao giờ sử dụng nó

6.1.3 Xây dựng phép biến đổi z

6.1.3.1 Biến đổi Laplace của hàm δ ( t − nT )

0 0

0 0

1)()

()

()

6.1.3.2 Biến đổi z của hệ nhân quả (Biến đổi z một phía)

Xét một tín hiệu rời rạc là dãy tín hiệu nhân quả gồm các mẫu như sau:

f(0), f(T), f(2T),…, f(n),…

Tương ứng tại các thời điểm t=0, T, 2T,…,nT,…

Hàm trên có thể được biểu diễn lại dưới dạng tổng : ∑∞

=

−

0

) (

).

(

n

nT t nT

).

( )

( ).

(

n

s nT n

e nT f nT

t nT

) (

) 2 ( )

( ) 0 ( ).

( )

(

n

n n

z nT f z

T f z T f f

z nT f z

Ký hiệu: x ( n ) ← →z X ( z )

Định nghĩa (1) còn được gọi là biến đổi z hai phía do biến n chạy từ -∞ đến +∞

Trường hợp đặc biệt đối với tín hiệu nhân quả thì

(

n

n

z n x z

Định nghĩa (2) gọi là biến đổi z một phía

6.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z

Công thức (1) là một chuỗi, do đó phải xét đến tính hội tụ của nó Đối

với tín hiệu x(n), miền giá trị z thỏa mãn chuỗi (1) hội tụ gọi là miền hội tụ

(ROC, Region Of Convergence)

- Để tìm miền hội tụ, chúng ta sử dụng tiêu chuẩn Cosi

- Điều kiện để chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cosi là lim < 1

∞

→

n n

( )

( )

(

n n

z X z X z n x z

n x z

X

Áp dụng tiêu chuẩn Cosi cho chuỗi X2(z)

1

) ( lim ).

Khi đó X2(z) sẽ hội tụ đối với z >R x− Tương tự đối với X1(z), ta dùng

phương pháp đổi biến m=-n và dễ dàng chứng minh được X1(z) hội tụ đối với

m x

)(lim1

Kết hợp hai điều kiện trên, ta đi đến kết luận sau:

Miền hội tụ của biến đổi z hai phía là một hình vành tròn trên mặt phẳng z,

tâm là gốc tọa độ, có đường kính trong là R x- và đường kính ngoài là R x+

0≤R x− < z <R x+ ≤+∞

+ Trường hợp đặc biệt: Đối với tín hiệu nhân quả (tức biến đổi z thiếu

X1(z), miền hội tụ của biến đổi z là miền nằm ngoài đường tròn Rx-

+ Lưu ý:

• Miền hội tụ không chứa các điểm cực vì tại đó, X(z) không hội tụ

• Với dãy có độ dài hữu hạn, biên độ hữu hạn tức ∑

=

−

= 21

) ( )

(

n

n n

n

z n x z

miền hội tụ sẽ là toàn bộ mặt phẳng z trừ 2 điểm z=0 và z =∞ ta phải xét riêng

+ Nếu n1 và n2 đều dương:

X(z) sẽ không hội tụ đối với z=0 ngay cả khi x (n) <∞ với n1<n<n2

+ Nếu n1 âm và n2 dương:

X(z) sẽ không hội tụ đối với z=0 và z =∞ ngay cả khi x (n) <∞với n1<n<n2

+ Nếu n1 và n2 đều âm:

X(z) sẽ không hội tụ đối với z= ∞ ngay cả khi x (n) <∞ với n1<n<n2

↑

= 1 , 2 , 5 , 7 , 0 , 1 )

(n

x

Tín hiệu x(n) được biểu diễn như hình vẽ

5 3 2

1

5 4 3 2

1

75

21

075

21)

++

=

++

++

+

=

z z z

z

z z z z

z z

(n

x

Tín hiệu x(n) được biểu diễn như hình vẽ

3 1 1

2

3 2 1 0

1 2

7521

07521)(

=

++

+++

=

z z z

z

z z z z z z z X

n x(n)

n x(n)

Ví dụ 3: Tìm biến đổi z và miền hội tụ của tín hiệu x(n)=u(n)

1 : 1

1

1 ) (

z z

X

n n

u a n

x( ) = ( )

1

).

( )

(

n

n n

n n n

n n

z a z

a z

a z

n u a z

X

a z ROC: >

Ví dụ 5: Tìm biến đổi z và miền hội tụ của tín hiệu n

a n

f( ) = −

với các khoảng cách thời gian lấy mẫu là ∆t=T, bắt đầu ở tại t=0

Giải: Tín hiệu lấy mẫu trên có thể biểu diễn lại thành chuỗi như sau:

, , , ,

e e

Biến đổi z là

aT aT

n naT aT

aT

e z

z z

e z

e z

e z e z

+ +

+

1

1

1 ) (

aT n

n naT

e e

6.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỔI Z

Y n

± ; ROC:ROC X ∩ROC y =R− < z <R+

- Trong đó R− = max(R x−,R y) :R+ = min(R X+,R y+)

- Nếu có điểm cực thì các điểm cực cũng bị bỏ

- Nếu tổ hợp tuyến tính đưa vào có các điểm không khử đi điểm cực thì miền

hội tụ sẽ được mở rộng

x a

Im(z)

Re(z) ROC

6.3.2 Dịch chuyển trong miền thời gian

n n

n

z n n x z

z n n x z

n y z

) ( )

−

=

z n

u Z

) 1 (

1 1

1 )

n u

Nhận xét:

- Việc dịch đi n0 mẫu sang phải tức tạo ra tín hiệu trễ đi n0 mẫu, lúc đó trong

miễn z sẽ tương ứng với việc nhân với n0

z− trong phép biến đổi z

- Với n0=1, ta có toán tử z-1 tương ứng với toán tử trễ đi một mẫu Toán tử này

sẽ được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu số

- Miền hội tụ có thể bị thay đổi nếu việc nhân n0

z− với X(z) có thể gây triệt tiêu hoặc đưa vào một số điểm cực tại z= ∞ hoặc điểm không tại z=0

Lưu ý: Nếu tín hiệu là nhân quả tức ta có biến đổi z một phía, khi đó kết quả sẽ

khác đi đôi chút như sau:

( 0

0

) ( 0

0

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) ( )

(

0

0 0

0

0 0

n

n n

n

n n n n

n n n n

n

n n n n

n n

z n n x z

X z

z n n x z

n n x z

z n n x z

z n n x z

n y z

1

) ( 1

)()

()

()

()

(

n

r

n n n

n

r

n r n

z n x z

X z z

r x z

X z z Y

6.3.3 Chập của hai dãy

Chứng minh:

) ( ) ( )

(

* ) ( )

n k

z k n x k x z

k x k n x z

Đặt m=n-k, lúc đó

) ( ).

(

) ( )

( )

Ta biết rằng trong hệ tuyến tính bất biến, tín hiệu ra y(n) là chập của đáp ứng

xung h(n) với tín hiệu vào x(n), ta có y(n)=h(n)*x(n)

) (

) ( ) ( )

( ).

( ) (

z X

z Y z H z

X z H z

⇒

Lúc đó H(z) ta còn gọi là hàm truyền đạt của hệ tuyến tính bất biến Ta thấy

qua phép biến đổi z, phép chập sẽ trở thành phép tính nhân đơn giản Từ kết quả

Y(z) ta có thể tìm lại được y(n) nhờ biến đổi z ngược

Ví dụ: Xét hệ tuyến tính bất biến có phương trình sai phân bậc nhất

) ( ) 1 ( )

y − − = Với a <1: y(n)=0 khi n<0 Tìm y(n) khi cho tín hiệu vào là x(n)=b n.u(n) khi b <1

Giải:

+ Từ phương trình sai phân tuyến tính đã cho, thay x(n) =δ(n) sau cho biến

đổi z hai vế để tìm đáp ứng xung H(z)

) ( ) 1 ( )

1 ) ( )

b z

X

n

n n

Giả sử a < b nên

) )(

( 1

1 1

1 ) ( ).

( ) (

2 1

1

b z a z

z bz

az z

X z H Z Y

1

1 1

1 )

b az

b a

a z Y

Từ Y(z), dùng biến đổi z ngược (sẽ đề cập sau) ta tìm được:

) ( )

( )

a b

b n u a b a

a n

6.3.4 Định lý giá trị đầu của dãy

Nếu x(n)=0 với n<0 thì x(0)= lim ( )

1 X z

z→

6.3.5 Định lý giá trị cuối

x

z n

6.3.6 Đảo trục thời gian

ROC z

X n

(

Ví dụ:

1 : 1

1 )

−

z n

u

z

1 : 1

1 )

R a z R a ROC a

z X n

X sẽ có điểm cực tại z=a.z1

6.3.8 Vi phân trong miền z

z dX z n

e n n

u( ) . −α

Ta có [ ]

1 )

1 1

) (

z dz

d z n u n Z

Áp dụng tính chất thay đổi thang tỷ lệ

2 2

) 1 (

)

1 /

(

/ ).

(

α α

e z

e z e

z

e z e

n u n

x

z X v X j z X n

x n x n

2

1 ) ( )

( ) ( ) (

π

Trong đó C là đường cong kín bao quanh gốc tọa độ và nằm trong miền hội tụ của X1(x) và X2(1/v)

6.4 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

Về mặt lý thuyết, ta có thể tìm lại hàm x(n) từ định lý Cosi như sau:

x ( ) 12

1)(

π

Biểu thức trên chính là biến đổi z ngược, thỏa mãn với mọi n Đường cong

(C) phải là đường cong kép kín nằm trong miền hội tụ và chạy theo chiều dương là

chiều ngược kim đồng hồ Trong thực tế, ta có nhiều cách biến đổi z ngược thuận

tiện hơn

Các phương pháp biến đổi z ngược

6.4.1 Phương pháp 1: Khai triển thành chuỗi luỹ thừa Do X(z) là hàm giải

tích của z trong miền hội tụ nên ta hoàn toàn có thể khai triển thành chuỗi

X

!

1 )

n

n n

6.4.2 Phương pháp 2: Khai triển theo phép chia

5 0 5 1 1

1 )

z

a/ ROC: z >1 b/ ROC: z <0.5

a/ ROC là z >1: lúc đó x(n) phải là tín hiệu nhân quả tức x(n)=0, ∀n< 0

Chia tử cho mẫu ta được:

16

31 8

15 4

7 2

3 1

5 0 5 1 1

4 3

2 1

2 1

+ +

+ +

z z

z z