Tài liệu Chương 5 - Biến đổi fourier của tín hiệu ppt

CHƯƠNG V BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA TÍN HIỆU Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009... Hàm X ω được gọi là phổ Fourier của tín hiệuxt theo tần số.. Hàm biểu diễn phổ bi

CHƯƠNG V BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA TÍN

HIỆU

Lê Vũ Hà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ

2009

Xem xét một tín hiệu liên tục không tuần hoàn

x(t), ta có thể coi x(t) như một tín hiệu tuần

có thể biểu diễn được bằng chuỗi Fourier như sau:

x(t) = lim

ω0→0

+∞

X

k=−∞

c k e jkω0t

ở đó:

c k = lim

ω0→0

1

T

−T /2

x(t)e −jkω0t dt

Vì ω0 → 0 nên ω = kω0 là một biến liên tục, ta có thể viết lại các biểu thức ở trang trước như sau:

x(t) = lim

ω0→0

1

−∞

c(ω)e jωt d ω

ω0→0

−∞

c(ω)

ở đó, c(ω) là một hàm theo tần số liên tục và

được xác định như sau:

c(ω) = lim

ω0→0

ω0 2π

−π/ω0

x(t)e −jωt dt

Đặt X (ω) = 2πc(ω)/ω0, chúng ta có được công

thức của biến đổi Fourier của tín hiệu x(t):

X (ω) = F [x(t)] =

−∞

x(t)e −jωt dt

và công thức của biến đổi Fourier nghịch:

x(t) = F−1[X (ω)] = 1

2π

−∞

X (ω)e jωt d ω

Cách biểu diễn khác của biến đổi Fourier của tín

hiệu x(t), với biến tần số f thay cho tần số góc

ω:

X (f ) =

−∞

x(t)e −j2πft dt

và công thức của biến đổi Fourier nghịch tương ứng:

x(t) =

−∞

X (f )e j2πft df

Hàm X (ω) được gọi là phổ (Fourier) của tín hiệu

x(t) theo tần số.

Hàm biểu diễn

phổ biên độ của tín hiệu x(t) theo tần số.

Hàm φ(ω) = arctan[Im[X (ω)]/Re[X (ω)]] được gọi là phổ pha của tín hiệu x(t) theo tần số.

Điều kiện để các biến đổi Fourier thuận và

nghịch của tín hiệu x(t) tồn tại là x(t) phải là tín

hiệu năng lượng, nghĩa là:

−∞

Điều kiện để tín hiệu khôi phục từ biến đổi

Fourier của x(t) hội tụ về x(t) tại mọi điểm

(ngoại trừ tại các điểm không liên tục) (điều kiện Dirichlet):

R +∞

−∞ |x(t)|dt < ∞.

Số điểm cực trị của x(t) là hữu hạn.

Số điểm không liên tục của x(t) là hữu hạn.

Tính tuyến tính:

Dịch thời gian:

Dịch tần số:

Co giãn trục thời gian:

a



Đạo hàm:

dt



= jωX (ω)

Tích phân:

F

−∞

x(τ )d τ



= X (ω) jω

Biến đổi Fourier của tích chập:

F [f (t) ∗ g(t)] = F (ω)G(ω)

Biến đổi Fourier của tích thường (điều chế):

2πF (ω) ∗ G(ω)

Công thức Parseval:

−∞

2π

−∞

x(t) → hàm biểu diễn |X (ω)|2 theo tần số ω cho

ta biết phân bố năng lượng của tín hiệu x(t) và được gọi là phổ mật độ năng lượng của x(t).

Chú ý: phổ mật độ năng lượng của tín hiệu

không tuần hoàn là một hàm theo tần số liên tục

Tính đối xứng:

Phổ mật độ năng lượng của x(t) là một hàm chẵn, nghĩa là: ∀ω : |X (ω)|2= |X (−ω)|2.

Nếu x(t) là tín hiệu thực: ∀ω : X (ω) = X∗(−ω).

Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: X (ω) cũng là hàm chẵn, nghĩa là ∀ω : X (ω) = X (−ω).

Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: X (ω) cũng là hàm lẻ, nghĩa là ∀ω : X (ω) = −X (−ω).