Bài giảng Xử lý số tín hiệu (Digital signal processing) - Chương 5: Biến đổi Z

Bài giảng Xử lý số tín hiệu (Digital signal processing) - Chương 5: Biến đổi Z cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa biến đổi Z, những tính chất cơ bản, miền hội tụ, nhân quả và sự ổn định, phổ tần số, biến đổi Z ngược. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Xử lý số tín hiệu

Chương 5: Biến đổi Z

 Biến đổi Z của tín hiệu rời rạc thời gian x(n):

 Hàm truyền của bộ lọc có đáp ứng xung h(n)

1 Định nghĩa

)

2 ( )

1 ( )

0 ( )

1 ( )

2 (

) ( )

(

2 1

z x

z n x z

X

n

n

n

n

z n h z

H ( ) ( )

2 Các tính chất cơ bản

a. Tính tuyến tính

b. Tính trễ

c. Tính chập

) ( )

( )

( )

1

) (        

z X n

X(z)H(z) (z)

) ( h(n)

y

2 Các tính chất cơ bản

Ví dụ 1 Dùng và tính chất của biến đổi

Z, xác định biến đổi Z của:

a) x(n) = u(n) b) x(n) = -u(-n-1)

Ví dụ 2 Dùng biến đổi Z tính tích chập của bộ lọc và tín hiệu ngõ vào sau:

h = [1, 2, -1, 1]

x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]

) ( )

1 (

)

u

Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) của X(z):

Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n)

Biến đổi Z:

Tổng hội tụ khi

3 Miền hội tụ

)

(z

X C z

ROC

0

1) 5

0 ( )

( ) 5 0 ( )

(

n

n n

n

z X

5 0 1

5

5 0

z C z

ROC

5 0 z

,  5

0 1

1 )

5 0

z

n

n

|z|

ROC

z-plane

z 0.5

Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1)

Biến đổi Z:

 Kết quả:

3 Miền hội tụ

1

1

1

] )

5 0 [(

) 5 0 ( )

(

m

m n

n

z X

5 0

z C z

ROC

5 0 z

,  5

0 1

1 )

1 (

) 5 0

z

n

n

|z|

ROC

z-plane

z 0.5

3 Miền hội tụ

az

n u

an Z ,       z

1

1 )

a az

n u

an Z ,       z

1

1 )

1

|a|

ROC

z-plane

a

|z|

ROC

z-plane

a

|z|

cực

 Tín hiệu nhân quả dạng:

có biến đổi Z là:

Với ROC:

4 Tính nhân quả và ổn định

)

( )

( )

( n A1 p1 u n A2 p2u n

1 1

)

2

2 1

1

1

z p

A z

p

A z

X

i

i p

z max

2

p3

p4

ROC

 Tín hiệu phản nhân quả dạng:

cũng có biến đổi Z là:

Với ROC:

4 Tính nhân quả và ổn định

)

1 (

) 1 (

) ( n A1 p1 u n A2 p2u n

1 1

)

2

2 1

1

1

z p

A z

p

A z

X

i

i p

z min

2

p3

p4

ROC

Ví dụ Xác định biến đổi z và miền hội tụ của

a. x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n)

b. x(n) = (0.8)nu(n) - (1.25)nu(-n-1)

c. x(n) = -(0.8)nu(-n-1) - (1.25)nu(-n-1)

d. x(n) = - (0.8)nu(- n – 1) + (1.25)nu(n)

4 Tính nhân quả và ổn định

x(n) ổn định ROC có chứa vòng tròn đơn vị Các trường hợp:

4 Tính nhân quả và ổn định

2

p3

p4

ROC

vòng tròn đơn vị

2

p3

p4

ROC

vòng tròn đơn vị

5 Phổ tần số

 Biến đổi Z của x(n):

 Biến đổi DTFT của x(n):

 Đặt (Tần số số)



Đây chính là biến đổi Z trên vòng tròn đơn vị

n

fnT j

e n x f

n

n

z n x z

j

e z n

n

e n x

s

f

f

2

5 Phổ tần số

 Đáp ứng tần số của hệ thống h(n) với hàm truyền H(z):

 X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs  X(ω), H(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π)

 DTFT ngược:

j

e z n

n

j H z e

n h

df e

f

X f

d e

X n

S

S

f fn j f

f S

n

2 /

2 /

1 2

1 )

(

6 Phổ tần số

vòng tròn đơn vị ↔ x(n) ổn định

Mặt phẳng Z e

jω

0

Vòng tròn đơn vị

6 Phổ tần số

 Xét X(z):

 X(z) có 1 cực z = p1 và 1 zero z = z1

 Thay z = ejω,

1

1 1

1

1 1

1

1 )

(

p z

z

z z

p

z

z z

X

2

1 1

)

(

z e

z

e X

p e

z

e

j j

j

6 Phổ tần số

1 0

z1

p1

e jω

|z-z1|

|z-p1|

φ1

ω1

ω 0

|X(ω)|

zero

pole

φ1 ω1

7 Biến đổi Z ngược

 Đưa X(z) về dạng

Tùy theo ROC, suy ra x(n)

Ví dụ:

 ROC={z,|z|<0.8}  x(n) = -0.8nu(-n-1)-1.25nu(-n-1)

 ROC={z, 0.8<|z|<1.25}  x(n) = 0.8nu(n) – 1.25nu(-n-1)

 ROC={z, 1.25 < |z|}  x(n) = 0.8nu(n) + 1.25nu(n)

1 1

)

2

2 1

1

1

z p

A z

p

A z

X

1

1 8

0 1

1 )

(

z z

z X

7 Biến đổi Z ngược

 Pp khai triển phân số từng phần:

 Khi bậc của N(z) nhỏ hơn M:

 Với

) 1

) (

1 )(

1 (

)

( )

(

)

( )

2

1

p

z

N z

D

z

N z

X

M

1

1 2

2 1

1

1

1

1 1

)

(

z p

A z

p

A z

p

A z

X

M M

i

p z i