CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Chú ý sử dụng các công thức của phương trình lượng giác cơ bản... 2  Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t.. Từ đó tìm được x Tiện đây Mận mới hỏi Đào Lượng

Công thức cơ bản Các góc đặc biệt

sin cos 1 ; sin tan cos

sin cos cot sin ; tan

cos







cos

cot ; tan cot 1

sin

1 tan ; 1 cot





1 sin 1 

1 cos 1 

sin   k 2   sin  k  Z

cos   k 2   cos ;  k 

tan   k   tan ;  k 

cot   k   cot ;  k 

Góc đối nhau:

 

cos( ) cos

   sin( ) sin

   tan( ) tan

   cot( ) cot Góc bù nhau

sin( ) sin

     cos( ) cos

     tan( ) tan

     cot( ) cot

Góc hơn kém π

     sin( ) sin

     cos( ) cos

    tan( ) tan

    cot( ) cot

Góc phụ nhau

  

2

  

2

2

2

Góc hơn kém

2

π

  

2

   

2

   

2

   

2

Công thức cộng

sin a b sin cosa bcos sina b

sin a b sin cosa bcos sina b

  tan tan

tan

1 tan tan

a b



 



1 tan

tan

b b

b

  

cos a b  cos cosa bsin sina b

cos a b  cos cosa bsin sina b

  tan tan tan

1 tan tan

a b



 



1 tan tan

b b

b

  

Công thức nhân đôi – hạ bậc – nhân ba Nhân đôi:

sin 2a2sin cosa a

cos 2a cos asin a

2 cos a 1 1 2 sin a

2

2 tan tan 2

1 tan

a a

a



 và

2

cot 2

2 cot

a a

a





Hạ bậc:

2 1 cos 2 sin

2

a

a 

2 1 cos 2 cos

2

a

a 

2 1 cos 2 tan

1 cos 2

a a

a







Nhân ba:

3 sin 3a3sina4 sin a

3 cos 3a4 cos a3cosa

3 2

3 tan tan tan 3

1 3 tan

a

a







Công thức biến đổi tích thành tổng Biểu diễn theo tan

2

a

t

1

cos cos cos cos

2

a b  a b  ab 

1

sin sin cos cos

2

a b  ab  ab 

1

sin cos sin sin

2

a b  ab  ab 

2

2 sin 1

t a t



 2 2

1 cos 1

t a t





 2

2 tan 1

t a t





Các công thức khác

1 sin 2 a sinacosa

1 sin 2 a sinacosa

1 sin cos sin 2

2

n

2

1 cos 2 a 2 cos a; 2

1 cos 2 a 2 sin a

sin acos a1 4 sin 2a.cos2a2 sin4a.cos4a

sin acos a1 2 sin 2a.cos2a 1 2 3 1

1 sin 2 cos 4

sin acos a 1 3sin a.cos a 3 2 5 1

1 sin 2 cos 4

Diện tích hình tròn: SR2 Chu vi hình tròn: C  2  R

Diện tích hình quạt:

0

360

R

S   ( 

bằng độ) ;

2

2

R

S ( 

bằng rad)

Chiều dài cung tròn: . 0

180

R

l 

(  bằng độ)

Diện tích hình viên phân: sin 2

S   R

 ,(  bằng rad)

Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

a b a b

cos cos 2sin sin

a b a b

a b   

sin sin 2sin cos

a b a b

sin sin 2 cos sin

a b a b

sin tan tan

cos cos

a b

a b



sin tan tan

cos cos

a b

a b



sin 2

a

sin cot cot

sin sin

a b

a b



  ; cotatana2cot 2a

sin cot cot

sin sin

b a

a b



a a a a

a a a  a

m

α α

R R

R

Viên phân Hình quạt

Hình tròn

BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 9 ĐẾN 12

sin A B  sinC

cos A B  cosC

sin sin

AB  C

tan cot

AB  C

cos B C  cos A2C

cos A B C   cos 2C

sin A2B C  sinB

cot A B C   cot 2B

3

2

B C A

A

   

sin sin sin 4 cos cos cos

A B C cot cotA Bcot cotB Ccot cotC A1 cosAcosBcosC1 4 sin sin sin

 tanAtanBtanCtan tan tanA B C (nhọn)

tan tan tan tan tan tan 1

A B B C C A cos 2Acos 2Bcos 2C 1 4cos  sA.cos cosB C

cot cot cot

A B C  cot cot cot

sin Asin Bsin C 2 2cos cos cos A B C

sin sin sin

tan tan cot



sinC sin cosA B sin cosB A

cos cos

sin 2Asin 2Bsin 2C4sin sin sinA B C

cos Acos Bcos C1 2cos cos cos A B C

sin 5Asin 5Bsin 5C 4 cos5 cos5 cos5

sin 6Asin 6Bsin 6C 4sin 3 sin 3 sin 3A B C

Bước 1: Tìm TXĐ: D

Bước 2: Chỉ ra     x D x D

Bước 3: Tính :

( ) : ( ) ( ) :

( ); ( )

f x

f x f x

f x f x





  



Hµm sè ch½n Hµm sè lÎ : Kh«ng ch½n kh«ng lÎ

Cho căn 0, cho mẫu số 0 Từ

đó suy ra điều kiện của x và biểu diễn điều kiện dưới dạng TXĐ Chú

ý sử dụng các công thức của phương

trình lượng giác cơ bản Thay dấu

" " bằng dấu ""

Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất Hàm tuần hoàn – chu kì + Đánh giá  1 sin , cosx x1

+ Hàm ya.sinxb.cosx dùng BĐT

Bunhia hoặc đưa về :

.sin

y a b x rồi đánh giá hoặc sử dụng đk có nghiệm 2 2 2

a b  y

.sin sin cos cos

ya xb x xc x hạ bậc rồi tính như trên

.sin cos sin cos

y





 nhân chéo rồi sử dụng điều kiện có nghiệm

.sin( ) cos( )

y A ax b

y B ax b



2

| |

T a



 tan( )

.cot( )

y A ax b

y B ax b







1( )

y f x có chu kì là T1

2( )

y f x có chu kì là T2

Thì hàm số y f x1( ) f2( )x có chu kì là T0BCNN T T 1, 2 Với các hàm số có lũy thừa lớn hơn

1, ta dùng công thức hạ bậc để chuyển về lũy thừa bậc 1, sau đó tìm chu kì

tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1

2

2



 



Nếu sin xm

1 :

m  Phương trình vô nghiệm

1 :

m  Giải một trong hai cách:

1

2

2

2 arcsin 2

arcsin 2





 



 



 

Đặc biệt:

sin 0

2

2





  









     



2

2



 



     

Nếu cos xm

1 :

m  Phương trình vô nghiệm

1 :

m  Giải một trong hai cách:

1

2

2

2 arc cos 2

arc cos 2







 





Đặc biệt:

cos 0

2









Phương trình LG cơ bản

cotxcot  x  k;k

Nếu cot xm

1

2

: cot

; : arc cot

k





Đặc biệt:

cot 0

2 cot 1

4

4









     





tanxtan  x  k;k

Nếu tan xm

1 2

: tan

; : arctan

k





Đặc biệt:

tan 0 tan 1

4 tan 1

4





  









     



BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 9 ĐẾN 12

.sin sin cos cos

a x b x x c xd

sinu  sinv  sinu sin(v)

2

u v  u  v

2

u  v  u v

2

sin x 1 cosx0

sin 1 sin sin 2

a

b







a

b

 



 sin sin 1 sin sin 1

a b



 sin 1 sin 1 sin sin 1

sin 1 sin 1

a b

a b

a b

 



  





     

 





cosu cosv cosucos(v)

2

u v  u v

2

u  v u v

2

cos x 1 sinx0

cos 1

a

b







a

b

 





cos cos 1

a b



 cos 1

cos cos 1

cos 1

a b

a b

a b







     





tanu  tanv tanu tan(v) tan cot tan tan

2

u v  u v

tan cot tan tan

2

u  v u  v

cotu cotv cotu cot(v) cot tan cot cot

2

u v  u v

cot cot cot cot

2

u  v u v

Cách 1:

 Kiểm tra cos x  0 có thoả mãn hay không?

Lưu ý: cos 0

2

x   x  k

2

sin x 1 sinx 1

 Khi cosx0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x0 ta được:

a x b x c d  x

 Đặt: ttanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2

(a d t ) b t   c d 0

Cách 2: Hạ bậc:

1 cos 2 sin 2 1 cos 2

a  b c   d

.sin 2 ( ).cos2 2

b x c a x d a c

Phương trình bậc hai hàm LG

2

a x b x c  đặt t sinx

2

a xb x c  đặt tcosx

2

a x b x c  đặt ttanx

2

a x b x c  đặt tcotx

2

a xb x c chuyển 2 2

sin x 1 cos x

2

a xb x c chuyển cos2x 1 sin2x

.cos 2 sin 0

a xb x c chuyển 2

cos 2x 1 2sin x

a xb x c chuyển

2

cos 2x2cos x1

a xb x c đặt tanx t cotx 1

t

Phương trình a.sin3x b sin2xcosx c sin cosx 2x d cos3x0 tann cotPhương trình n ) (tan cot  0

a x x b x x  + Xét cos x  0 thay vào phương trình kiểm tra

+ Xét cos x  0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x3 để đưa về phương

trình bậc 3, ẩn là tan x

Đặt : tan cot ; tan cot ;| | 2

x x t t

x x t t



 Chuyển về phương trình ẩn là t rồi giải

Nếu a2b2c2 phương trình vn

Cách 1:  Chia hai vế phương trình cho a2 b2 ta được:

 Đặt:

  Phương trình trở thành: sin sinx cos cosx 2c 2

a b



a b



Cách 2: a) Xét x  k2 có là nghiệm hay không?

b)Xét 2 cos 0

2

x

x  k    Đặt:

2

tan , thay sin , cos ,



ta được phương trình bậc hai theo t: 2

(b c t ) 2at  c b 0

M(x;y)

π

-π 2

π 2

y = sinα

x = cosα

sin

cos

-1

1

BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 9 ĐẾN 12 Phương trình

a x  x  b x x c  

Phương trình

 Đặt: tcosxsinx; t  2

1 2sin cos sin cos ( 1)

2

 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai

theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t  2 Sau đó sử

dụng hai công thức sau để tìm x:

cos sin 2 cos 2 sin

x x x x

cos sin 2 cos 2 sin

x x x  x

Đặt: cos sin 2 cos

4

t  x x  x 

sin cos ( 1)

2

Sau đó sử dụng hai công thức sau để tìm x:

cos sin 2 cos 2 sin

x x x x

cos sin 2 cos 2 sin

x x x  x

Chia cả hai vế cho c :

.sin cos sin

c c  .Đặt

cos sin

a c b c





 





 



sin cosx  cos sinx  sin

sin x  sin

   Từ đó tìm được x

Phương trình a.sinxb.cosxa1.sinb1.cos Phương trình sina xb.cosxc.cos Cách thuộc công thức bằng thơ

Với 2 2 2 2

a b a b Chia cả hai vế cho a2b2



sin  x sin  

Chia cả hai vế cho c :

.sin cos cos

c c  .Đặt

sin cos

a c b c





 





 



sin sinx  cos cosx  cos

cos x  cos

   Từ đó tìm được x

Tiện đây Mận mới hỏi Đào Lượng giác đã thuộc công thức nào chưa?

Mận hỏi thì Đào xin thưa

Tớ đã thuộc hết lúc vừa bình minh Sin bình cộng với cos bình Nhất định bằng 1 chúng mình cùng vui sin2xcos2x1 Tan bình thêm 1 bạn ơi, bằng 1 chia nhé cos thời bình phương 2

2

1

1 tan

cos

x

x

Cotan cũng dễ như thường, bình phương cộng 1 bằng thương chứ gì

Tử số là 1 còn chi, mẫu bình phương của sin thì chẳng sai

2

2

1

1 cot

sin

x

x

Tan với cotan sánh vai, tích chúng bằng 1 nhớ hoài chẳng quên tan cotx x1

Công thức nhân đôi

+Sin gấp đôi = 2 sin cos +Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin +Tang gấp đôi

Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền

tanx + tany: tình mình + lại tình ta, sinh ra 2 đứa con mình

con ta

tanx – tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng,

con ta con mình

Học công thức cộng

Công thức cộng cũng thật phiền

Không chịu khó học thuộc liền được ư

Cos của tổng thật là hư

Bằng tích các cos lại trừ đi sin

Sin của tổng nhớ như in

Bằng sin nhân cos cộng liền cos sin

Tan của tổng bằng tổng tan

Chia 1 trừ tích các tan oai hùng

Hoặc

Cos thì cos cos sin sin

Sin thì sin cos cos sin rõ ràng

Cos thì đổi dấu hỡi nàng

Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho !

Công thức tổng thành tích

Cos + cos = 2 cos cos cos trừ cos = trừ 2 sin sin Sin + sin = 2 sin cos sin trừ sin = 2 cos sin

Giá trị LG đặc biệt

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan

Công thức nhân ba

Nhân ba một góc bất kỳ, sin thì ba bốn, cos thì bốn ba, dấu trừ đặt giữa 2 ta, lập phương chỗ bốn … thế là ok

Hàm số lượng giác

Bắt được quả tang Sin nằm trên cos tan sin

cos

x x x

Cotang dại dột

Bị cos đè cho

Cách 2:

Bắt được quả tang Sin nằm trên cos Côtang cãi lại Cos nằm trên sin!

Tích thành tổng

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ

Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng

Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền) Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền) Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề) Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối)

Hoặc:

Sin : đi học (cạnh đối – cạnh huyền) Cos: không hư (cạnh đối – cạnh huyền) Tang: đoàn kết (cạnh đối – cạnh kề) Cotang: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối)

CHÚC CÁC EM HỌC TỐT