ÔN hề TOÁN 9 lên 10

BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM BPT TRÊN TRỤC SỐ Thông thường một bất phương trình có vô số nghiệm nên không thể kiệt kê hết được.. Phân tích đa thức bậc ba thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ q

Phần 1 ĐẠI SỐ Bài 1 BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM BPT TRÊN TRỤC SỐ

Thông thường một bất phương trình có vô số nghiệm nên không thể kiệt kê hết được Người ta chọn cách thể hiện tập nghiệm bằng cách biểu diễn trên trục số (phần không bị xóa) Sau đây là các trường hợp thường gặp:

 Chú ý: Tại a, biểu diễn ngoặc vuông “[, ]” tức trong tập nghiệm có x = a,

ngược lại biểu diễn ngoặc đơn “(, )” khi x = a không thuộc tập nghiệm

1.1 Biểu diễn các tập nghiệm sau lên trục số:

Bài 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, THƯƠNG

x x





113

x x

x x

x x

minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Gọi x và 1 x là hai nghiệm của phương trình, tìm tất cả các giá trị 2

của m sao cho x12x1x2  5 2m

1.7 Cho phương trình: x2mxm 2 0 (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Định m để hai nghiệm x , 1 x thỏa mãn 2

1.10 Xác định m để các phương trình sau đây có hai nghiệm cùng dấu:

c) Định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

d) Định m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

 Số nghiệm của phương trình trùng phương:

Để xác định số nghiệm của phương trình (1) ta dựa vào số nghiệm của phương trình (2) và dấu của chúng:

 (1) vô nghiệm 

(2) vô nghiệm (2) có nghiệm kép âm (2) có 2 nghiệm âm

 (1) có 1 nghiệm  (2) có nghiệm kép bằng 0

(2) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm

 (1) có 2 nghiệm  (2) có nghiệm kép dương

(2) có 1 nghiệm bằng dương, 1 nghiệm âm

 (1) có 3 nghiệm  (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

 (1) có 4 nghiệm  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

2 Một số dạng khác:

a) Dạng 1: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (với a + b = c+ d)

 Đặt t = (x + a)(x + b) hoặc t = (x + c)(x + d) ta sẽ được phương tình bậc hai theo ẩn t

 Giải phương tìm t từ đó suy ra x

b) Dạng 2: (x + a)4 + (x + b) 4 = m (1)

 Nếu m < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu m = 0 thì:

- Nếu a  b: (1) vô nghiệm

- Nếu a = b: (1) có nghiệm bội x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = – a

 Nếu m > 0: đặt t x a b

2



  sẽ đưa (1) về dạng phương trình trùng phương theo t

Ta đưa được về phương trình bậc hai theo t Tính t  tính x

 Tổng quát: Phương trình hồi quy:

 x = 0 không là nghiệm của 2

 Khi x  0 chia hai vế của phương trình cho x 2

Đặt t x ad

x

  được phương trình theo t Tính t rồi  x

1.17 Giải các phương trình sau:

1.24 Giải các phương trình sau:

7 02

x x

1

x x

2

4

52

x x

x

2 2

2

4

52

x x

§1 Phân tích đa thức bậc ba thành nhân tử

bằng phương pháp dùng hệ quả của định lý Bezout:

Với đa thức bậc 3 trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta

thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức:

 Nhắc lại mốt số khái niệm:

 Đa thức với biến x thường được ký hiệu là f x 

 Khi x  , giá trị tương ứng của a f x  được ký hiệu là f a 

 Khi f a   0 thì a gọi là một nghiệm của đa thức f(x)

không

 Trong đại số có một số định lý giúp chúng ta định hướng và hạn chế được số giá trị x cần lựa chọn, phát biểu trong điều kiện cụ thể như sau:

Cho đa thức bậc n với các hệ số nguyên:

- Nếu f x  có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của

hệ số tự do a 0

- Nếu đa thức f x  có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là một

nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x–1

- Nếu đa thức f x  có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẽ thì –1 là một nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x 1

 Phương pháp:

 Áp dụng hệ quả của định lý Bezout để tìm nghiệm của f x 

 Để tìm thương của phép chia f x  cho x–a ta có thể dùng các cách sau:

- Thực hiện cách chia thông thường

- Dùng thuật toán Horner

 x2   : phương trình vô nghiệm vì x 1 0    3 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   1; 2

1.37 Giải các phương trình sau:

a) x34x2   x 6 0 b) x32x25x  6 0

c) 2x33x25x  6 0 d) 3x38x23x  2 0

e) x33x210x24 0 f) x34x217x60 0g) x33x  2 0 h) x32x  4 0

i) x37x224x28 0 j) x35x219x60 0k) x 3 64 0 l) x3 – 125 0

  3 2     

2 2x 2mx  m1 x m1 m3  0

Khi đó việc nhẩm nghiệm rất khó so với phương trình bậc 3 không có tham số Sau đây là cách nhẩm tìm 1 nghiệm của các phương trình loại này

Bước 1: Khai triển vế trái:

  3 2

1 x 5x 2mx5x4m20

Bước 2: Nhóm theo 2 nhóm: nhóm thứ 1 chứa tất cả các số hạng

có chứa m , còn lại cho vào nhóm thứ 2

Bước 4: Kiểm tra xem với giá trị x vừa tìm được có phải là

nghiệm của (1) hay không ? Thế x 2 vào (1), ta được:

2 5.2 2 2 5.2 4m   m 2 00 (đúng) 0

 PT(1) có 1 nghiệm là x 2

Bước 5: Phân tích VT thành nhân tử, biết ràng nó có 1 nhân tử là

x 2 Làm theo 1 trong 4 cách ở Bài 1

thỏa mãn x12x22 x32 11

2 Cho phương trình: 3 2  2     

2x 2mx  m1 x m1 m3 0 2Tìm m để phương trình có nghiệm ba nghiệm phân biệt x , 1 x , 2 x 3

2x 2 m1 xm 4m 3 0 (3)

Để phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (3) phải có

2 nghiệm phân biệt khác 1:

Nhận xét: Với phương trình có tham số, nếu ta dùng phương pháp tách,

thêm bớt hạng tử thì nó quá dài và dễ bị sai sót Do đó, khi gặp loại này các em nên dùng sơ đồ Horrner Cách làm như sau:

1.45 Với giá trị nào của k thì hệ phương trình: x yy xk1 0



có nghiệm 0

c) Viết phương trình của đường thẳng  d2 tiếp xúc với  P tại N

Gv: Trần Quốc Nghĩa 23

Phần 2 HÌNH HỌC Bài 1 ĐỊNH LÍ TA-LÉT TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

2.1 Cho ABC Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm P, Q sao

2.5 Cho đường tròn  O có đường kính AB;  là tiếp tuyến với  O

tại A Trên  lấy điểm P, PB cắt  O tại Q Chứng minh:

a) PA2 PQ PB b) PA AB PB AQ

Bài 2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

2.6 Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH Biết AB 3,

2.3 Cho ABC có đường cao AH Đường thẳng d song song với BC cắt

các cạnh AB, AC và đường cao AH lần lượt theo thứ tự tại các điểm B, C và H

2.8 Cho tam giác ABC vuông tại A, có B 60 , BC a Tính góc C

2.14 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a Tính độ dài đường chéo

và diện tích hình vuông theo a Từ đó suy ra độ dài cạnh huyền của

một tam giác vuông cân có độ dài cạnh bằng a

2.15 Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng a Biết  BAD 60 a) Chứng minh các tam giác ABD và BCD là các tam giác đều b) Tính độ dài các đường chéo AC và BD và S ABCD theo a

2.16 Cho hthang vuông ABCD (A B 90) có ABBCa,

2

AD a

a) Chứng minh ACCD

b) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CD, BD và S ABCD theo a

2.17 Cho hình thang vuông ABCD ( AD90 ) có AB AD2a,

2.19 Cho hình thang vuông ABCD (A B90) có AB2a,

1, 5

BC a, AD3a Gọi H là trung điểm của BD Kẻ CK BD

tại K; BF AH tại F Tính S ABCD, CK và BF

2.23 Trên các cạnh AB , AC của tma giác ABC , lần lượt lấy hai điểm

M và N sao cho MN//BC Gọi I là trung điểm của cạnh BC ,

K là giao điểm của đường thẳng AI với đoạn thẳng MN Chứng minh K là trung điểm của đoạn thẳng MN

2.24 Cho ABC vuông tại A , AH là đường cao Gọi M , N lần lượt

là trung điểm của AH và CH Chứng minh: BMAN

2.25 Cho ABC cân tại A , AH là đường cao Kẻ HM AC tại M Gọi I là trung điểm của HM Chứng minh: AI BM

2.26 Cho ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh

BC ; D là điểm đối xứng của B qua H ; K là hình chiếu của vuông góc C trên đường thẳng AD ; M là trung điểm của AC Chứng minh: A đối xứng với K qua MH

2.27 Cho ABC cân tại A Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho

2.29 Cho hình vuông ABCD, gọi E là điểm thuộc cạnh BC; F là giao điểm của đường thẳng AE và CD; I là giao điểm của ED và BF Chứng minh: CI  AF

2.30 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, N, M lần lượt là trung điểm của AB, DH, AD và CH Chứng minh: EF MN

2.31 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K là điểm đối xứng với C qua B; gọi M , N, I lần lượt là trung điểm của BH , CH và AD

2.34 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, M và N lần lượt là trung điểm của AH và BH , trên cạnh

CD lấy điểm K sao cho MNCK là hình bình hành

Chứng minh: MK MB

Bổ đề về hình thang

2.35 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD2AD2AB Gọi

E là điểm thuộc đoạn AB sao cho AB3AE Điểm F thuộc BC

sao cho DDEF cân tại E Chứng minh: DEF vuông cân tại E

2.36 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Biết CD2AB Gọi H

là hình chiếu vuông góc của D lên AC Điểm M là trung điểm của

HC Chứng minh : BM DM

2.37 Cho hình thang cân ABCD có AB CD , // CD2AB Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi M là điểm đối xứng của

I qua A Chứng minh: MDC vuông tại D

Bổ đề về đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp

2.38 Cho ABC nhọn có ba đỉnh thuộc đường tròn O R;  Gọi H là trực tâm của ABC Vẽ đường kính AD

a) Tứ giác BHCD là hình gì ? Vì sao ?

b) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh: AH 2OI

c) Gọi G là trọng tâm của ABC C/minh: O, H, G thẳng hàng d) So sánh diện tích của hai tam giác AHG và AOG

2.39 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O Gọi H là trực tâm, M là điểm đối xứng với O qua BC Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp BHC

2.40 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O Gọi H là trực tâm của ABC,

K là điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh K O

2.41 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O Tia phân giác trong của góc A

cắt  O tại K Chứng minh BK là tiếp tuyến của đường tròn ADB

2.42 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O Tia phân giác trong của góc A

cắt  O tại K Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC; J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của ABC

Chứng minh K là trung điểm của IJ

2.43 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O Hai đường cao BE và CF Chứng minh OAEF

2.44 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O Các đường cao AD, BE và

CF cắt nhau tại H Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp

DEF

2.45 Cho ABC nội tiếp đường tròn  O Tiếp tuyến tại A của  O cắt

BC tại P Tia phân giác trong của góc A cắt BC tại D Chứng minh: PAPD

2.46 Cho ABC nội tiếp  I Gọi H là trực tâm M là một điểm tùy ý thuộc cung nhỏ BC, gọi P và Q lần lượt đối xứng với M qua AB

và AC Chứng minh: P, Q , H thẳng hàng

Mục lục

Phần 1 ĐẠI SỐ 1

Bài 1 BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM BPT TRÊN TRỤC SỐ 1

Bài 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, THƯƠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .2

Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 4

Bài 4 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2 6

Bài 5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 11

Bài 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 20

Bài 7 HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b 21

Bài 8 HÀM SỐ BẬC HAI y = ax2 22

Phần 2 HÌNH HỌC 23

Bài 1 ĐỊNH LÍ TA-LÉT TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 23

Bài 2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 23

Bài 3 MỘT SỐ BỔ ĐỀ QUAN TRỌNG 25

Mục lục 28