GA ôn luỵen thi 9 lên 10

Chú ý: - Quảng đờng = vận tốc x thời gian toán chuyển động - Sản lợng = năng suất x thời gian toán năng suất - Ngoài cách chọn ẩn trực tiếp đôi khi ta cần chọn ẩn gián tiếp để đợc phơng

nên đa học sinh đi tìm chân lý hơn là đ a chân lý đến cho học sinh

-Luyện Thi vào lớp 10

Tµi liÖu lu hµnh néi bé

Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab -ac -bc).

Gi¶i

Ta cã a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) thay vµo VT

VT = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 -3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b)2 + c2 - c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = VP

a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4 VËy P = 1/2.

Bµi 10

Cho a + b + c = 1 vµ 1 1 1+ + =0

a b c Chøng minh r»ng: a

2 + b2 + c2 =1

Gi¶i

Tõ: a + b + c = 1 ⇔ a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 1 ⇔ a2 + b2 + c2 = 1- 2(ab + ac + bc) MÆt kh¸c: 1 1 1+ + = ⇔ab ac bc+ + = ⇔ + + =

Ph©n tÝch ®a thøc (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thµnh nh©n tö.

Gi¶i

(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x2 +8x+7)(x2+8x +15) +15

§Æt: t = x2+8x+7 ⇒ x2+8x+15 = t + 8 ⇒ ta cã: t(t + 8) +15 = t2 + 8t +15 =(t + 4)2 - 1 = (t + 4 + 1)(t + 4 - 1) = (t + 5)(t + 3)

VËy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) = (x2 + 6x + 2x + 12)(x2 + 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x2 + 8x + 10)

ac bc nếu c 0 (t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng)

4/ a > b và c > d ⇔ a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều)

a 1 b 1 3 ⇔3(a + 1 + b +1) ≥ 4(a + 1)(b + 1) ⇔ 9 ≥ 4(ab + a + b + 1)

⇔ 9 ≥ 4ab + 8 ⇔ 1 ≥ 4ab ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab đúng ⇒ (đpcm)

2ab + 2bc + 2ca ≤ 2a2 + 2b2 + 2c2 ⇔ (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 ≥ 0, đúng ⇒ (đpcm)

*/ CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca), Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên ta có:

(x 1) 1 lín nhÊt, muèn vËy (x- 1)2 + 1 ph¶i nhá nhÊt

1 1.

a/ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña: P = 5 - 8x - x2.

b/ T×m gi¸ tÞ nhá nhÊt cña: P = 4x2 - 4x + 11

c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P = x - 5 + x- 10

Chuyên đề 3:

Biến đổi căn thức A/ Biến đổi căn thức

Chuyên đề 4

Phơng trình bậc nhất - Đồ thị hàm số bậc nhất - Hệ phơng trình

bậc nhất I/ Phơng trình bậc nhất

3m 1Nếu 3m + 1 = 0 ⇔ m = -1/3 ⇒ phơng trình có dạng: 0x = -2/3 ⇒ PTVN

c/ (3) ⇔ (m2 - 1)x = m - m2 ⇔ (m2 - 1)x = m(1 - m)

Nếu m2 - 1 ≠ 0 ⇒ phơng trình có nghiệm: = −

+

mx

m 1Nếu m2 - 1 = 0 ⇔ m = ± 1

Nếu m = 1 ⇒ PT có dạng: 0x = 0 ⇒ PT có VSN

Nếu m = -1 ⇒ PT có dạng: 0x = -2 ⇒ PTVN

d/ ĐK: x ≠ 0 và x ≠ 2

m 1Nếu m = -1 ∪ m = 2 ⇒ phơng trình vô nghiệm.

b/ Giải và biện luận hệ phơng trình

c/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên

d/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng

c/ khi m ≠ 2 và m ≠ -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2) Nghiệm này là số nguyên

a/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = xy đạt giá trị lớn nhất

b/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên

c/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0

2 ⇒ 2z + 3y = -1/2 (4)

Từ (2) và (4) ta đực: x = 1/4, y = 1/2, z = -1

Chuyên đề 5

Phơng trình bậc 2, định lý viét - Phơng trình bậc cao I/ Phơng trình bậc 2

Nếu ∆ = 0 ⇒ phơng trình có nghiệm kép: x = -b/2a

Nếu ∆ > 0 ⇒ phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: = − − ∆ = − + ∆

Nếu ∆' = 0 ⇒ phơng trình có nghiệm kép: x = -b ' /a.

Nếu ∆' > 0 ⇒ phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: = − − ∆' ' =− + ∆' '

a/ Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.

b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia

c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 ≥ 10

d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 sao cho P = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

a/ ∆' = m2 - 2m + 1 + m + 3 = m2 - m + 4 = (m- 1/2)2 + 15/4 > 0 ⇒ với mọi m thì phơng trình luôn có nghiệm

b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5 ⇔ m = 1 Khi đó phơng trình có dạng: x2 - 4 = 0

⇔ m = 3 ∪ m = -3/4

c/ Giả sử phơng trình có 2 nghiệm: x1 = 2x2 ⇒ ta có:

x1 + x2 = 3x2 =2m ⇔ x2 =2m/3 (1) và x1x2 = 2x2 = 2m - 1⇔x2 = (2m - 1)/2 (2)

a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này

b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm

d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng

0 m 12(m 1)

2 02(m 1)

Víi mäi m ta lu«n cã: m - 3 < m ⇒ 1 < m - 3 < m < 6 ⇔ 4 < m < 6.

b/ Do x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm ⇒ chia c¶ hai vÕ cho x2 ≠ 0 ta cã:

−

01

01

2

2

t t

0410)1(

2 2

2 2

x 1

x x x 1

x 1

x x x 1 x 1 0b/ 7 - 2x= 5 - 3x+ x + 27⇔ 5 - 3x+ x + 2= - 2x ⇔

5 - 3x+ x + 2= (5 - 3x) + (x + 2) , ¸p dông: a + b = a + b ⇔ ab ≥ 0

⇒ (5 - 3x)(x + 2) ≥ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 5/3

- Nâng luỹ thừa hai vế (hai vế cùng dấu, tốt nhất là không âm)

- Đa về hằng đẳng thức và đa ra ngoài căn rồi dùng tính chất của GTTĐ

- Đặt ẩn phụ hoặc đánh giá giá trị của hai vế

e/ x 3 4 x 1+ + − + x 8 6 x 1 5+ − − =

2g/ x 2 3 2x 5+ + − + x 2− − 2x 5− =2 2

− ±

2b/ §K: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3/2

Chuyên đề 7

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình

I/ Các bớc để giải một bài toán bằng cách lập phơng trình, Hệ phơng trình

B1: Lập phơng trình

- Chọn ẩn và xác định điều kiện cho ẩn

- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn

- Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập phơng trình hoặc hệ phơng trình

B2: Giải phơng trình hoặc giải hệ phơng trình

B3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời

Chú ý:

- Quảng đờng = vận tốc x thời gian (toán chuyển động)

- Sản lợng = năng suất x thời gian (toán năng suất)

- Ngoài cách chọn ẩn trực tiếp đôi khi ta cần chọn ẩn gián tiếp để đợc phơng trình đơn giản hơn

II/ Bài tập.

*/ Toán chuyển động

Bài 1

Một ca nô xuôi dòng từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B đến

A thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 40 phút Tính độ dài khúc sông AB biết vận tốc dòng nớc 3 km/h và vận tốc của ca nô không đổi

Giải

Gọi độ dài khúc sông AB là s (km) ⇒

thời gian ca nô xuôi dòng là: s/30 (giờ)

thời gian ca nô ngợc dòng là: s/(30 - 6) (giờ)

Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì

đến nơi sớm 2 giờ Nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến nơi chậm 3 giờ Tính chiều dài khúc sông

Giải

Gọi vận tốc dự định của ca nô là v (km/h) (v > 3), thời gian dự định là t (giờ) (t > 2), thì chiều dài khúc sông AB là v.t (km)

Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến nơi sớm 2 giờ ⇒ ta có: (v + 3)(y - 2) = v.t

Nếu vận tốc ca nô giảm 3 km/h thì đến nơi chậm 3 giờ ⇒ ta có: (v-3)(y+3) = v.t

Gọi vận tốc của dòng nớc là x (km.h) và vận tố của ca nô là y (km/h),(x >y >0)

Do ca nô xuôi khúc sông dài 40 km rồi ngợc khúc sông ấy hết 4 giờ rỡi ⇒ ta có:

Vậy vận tốc ca nô lúc ngợc dòng là: v = 12 hoặc v = 9.

Bài 5*

Một bè nứa trôi tự do và một ca nô cùng rời bến A để xuôi dòng sông Ca nô xuôi dòng đợc

96 km thì trở về A, cả đi lẫn về mất 14 giờ trên đờng về khi còn cách A 24 km thì ca nô gặp

bè nứa trôi Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nớc

Giải

Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h) và vận tốc của dòng nớc là y (km/h) (x>y>0)

Do Ca nô xuôi dòng đợc 96 km thì trở về A, cả đi lẫn về mất 14 giờ nên ta có:

Thay (2') vào (1') ta đợc: 96y = 48y2 ⇔ y = 2 ⇒ x = 14

Vậy vân tốc riêng của ca nô là x = 14 và vận tốc của dòng nớc là y = 2

Bài 6*

Một chiếc tàu thuỷ xuôi từ bến A đến bến B hết 5 giờ và ngợc từ bến B về bến A hết 7 giờ Hỏi một chiếc bè đợc thả trôi theo dòng nớc thì sẽ đi từ bến A đến bến B hết bao lâu? Biết rằng ở lợt đi cũng nh ở lợt về, tàu thuỷ không dừng lại ở chỗ nào và vẫn giữ nguyên vận tốc riêng của nó (vận tốc riêng là vận tốc khi nớc yên lặng)

Giải

Gọi khoảng cách AB là s ⇒

Vận tốc tàu thuỷ khi xuôi dòng là: vx = s/5

Vận tốc tàu thuỷ khi ngợc dòng là: vn = s/7

Ta có:

vx= vtàu + vnớc, vn = vtàu - vnớc ⇒ vx- vn = 2vnớc ⇔ s/5 - s/7 = 2vnớc ⇒ vnớc = s/35

Vậy: Một chiếc bè trôi từ A đến B hết 35 giờ

Bài 7

Quảng đờng AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km và một đoạn xuống dốc dài 5 km Một ngời

đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và về nh nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và về nh nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc

Giải

Gọi vận tốc ngời thứ nhất là v (km/h), (v > 0) thì vận tốc ngời thứ hai là v + 4

Thời gian ngời thứ nhất đi là: 42/ v

Thời gian ngời thứ hai đi là: 36/(v+4)

Vậy: Thời gian ngời thứ nhất đi là: 42/ 14 = 3 giờ

Thời gian ngời thứ hai đi là: 36/ 18 = 2 giờ

Bài 10

Hai đơn vị bộ đội ở hai địa điểm A và B cách nhau 39,5 km Lúc 6 giờ đơnvị A đi về phía B với vận tốc 6 km/h Sau đó 2 giờ đơn vị B mới đi về phía A với vận tốc 5 km/h Hỏi hai đơn vị gặp nhau lúc mấy giờ

Giải

Gọi quảng đờng đơn vị thứ nhất đi đợc cho đến khi gặp nhau là s1

Gọi quảng đờng đơn vị thứ hai đi đợc cho đến khi gặp nhau là s2

Thời gian đơn vị thứ nhất đi đợc cho đến khi gặp nhau là s1/6

Thời gian đơn vị thứ hai đi đợc cho đến khi gặp nhau là s2/5

đuổi kịp ô tô tải Tính quảng đờng AB

Giải

Gọi quảng đờng AB là s (km)

Thời gian ôtô tải đi bình thờng là s/30 và thời gian xe con đi bình thờng là s/40

Xe con xuất phát sau ô tô tải một thời gian là: s − s = s

30 40 120.Quảng đờng mà xe con đi sau một giờ kể từ lúc tăng tốc gặp xe tải là 45 km

Nh vậy thời gian mà ôtô tải đã đi từ A cho đến khi gặp xe con là: s +45

2.30 30

Thời gian đó đúng bằng thời gian đi của xe con đã là: s + s +1

2.40 120 .Vậy ta có phơng trình:

Hai đơn vị bộ đội cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B để gặp nhau Đơn vị đi từ A mỗi giờ

đi đợc 4 km Đơn vị đi từ B mỗi giờ đi đợc 5 km Một ngời liên lạc đi xe đạp với vân tốc 12 km/h lên đờng cùng một lúc với các đơn vị bộ đội, bắt đầu từ A để gặp đơn vị đi từ B Khi gặp

đơn vị này rồi, ngời liên lạc lập tức quay về găpkj đơn vị đi từ A và khi gặp đơn vị này rồi lại lập tứcquay về để gặp đơn vị đi từ B và cứnh thế cho đến khi hai đơn vị gặp nhau Biết rầngB dài 27 km Tính quảng đờng ngời liên lạc đã đi

Giải

Ta có thời gian mà ngời liên lạc chạy đi chạy lại đúng bằng thời gian mà hai đơn vị bộ đội gặp nhau Gọi thời gian đó là t (giờ)

Quảng đờng mà đơnvị đi từ A đi đợc là: 4t

Quảng đờng mà đơnvị đi từ B đi đợc là: 5t

Theo bài ra ta có: 4t + 5t = 27 ⇔ t = 3

Vậy: Quảng đờng mà ngời liên lạc đã đi là: 12.3 = 36 km

*/ Toán vòi nớc, toán năng suất

Bài 13

Ngời ta mở đồng thời hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn Sau 4 giờ bể đầy nớc Hỏi nếu chảy một mình, để đầy bể mỗi vòi cần bao nhiêu thời gian? Biết rằng lợng nớc chảy của vòi thứ nhất trong 2 giờ 20 phút bằng lợng nớc chảy của vòi thứ hai trong 1 giờ 45 phút

Giải

Gọi t1 là thời gian vòi một chảy một mình đầy bể ⇒ 1giờ vòi một chảy đợc 1/t1 bể

Gọi t2 là thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể ⇒ 1giờ vòiâhi chảy đợc 1/t2 bể

⇒ ta có: 4/t1 + 4/t2 = 1 (1)

Mặt khác:

Trong 2 giờ 20 phút = 7/3 giờ vòi một chảy đợc 7/3t1 bể

Trong 1 giờ 45 phút = 7/4 giờ vòi hai chảy đợc 7/4t2 bể

Vậy: Vòi một chảy một mình đầy bể phải mất 28/3 giờ

Vòi hai chảy một mình đầy bể phải mất 7 giờ

Bài 14*

Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể nớc và một vòi nớc chảy ra lng chừng bể Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc Còn nếu đóng vòi chảy ra, mở vòi chảy vào thì sau 1giờ 30 phút đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra

a/ Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra

b/ Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu

Giải

a/ Gọi t (giờ) là thời gian vòi nớc chảy vào từ khi bể cạn cho đến khi mức nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra

Trong 1 giờ vòi chảy vào chảy đợc 1/1,5 = 2/3 bể

Trong 1 giờ vòi chảy ra chảy đợc 2/3 : 2 = 1/3 bể

Nếu mở cả hai vòi thì trong 1 giờ lợng nớc chảy vào bể là: 2/3 - 1/3 = 1/3

Nhng trong t giờ đầu chỉ có vòi chảy vào làm việc nên lợng nớc chảy vào bể là 2t/3 bể

Thời gian cả hai vòi làm việc là 2 giờ 42 phút - t giờ = (27/10 - t) giờ lợng nớc chảy vào bể là (27/10 - t)/3 bể

27t

Vậy: khoảng cách từ chỗ đặt vòichảy ra đến đáy bể là 0,4 m

Bài 15

Một phòng họp có một số dãy ghế, tổng cộng 40 chỗ Do phải xếp 55 chỗ nên ngời ta kê thêm một dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm một chỗ Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phòng?

Giải

Gọi số dãy ghế trong phòng lúc đầu là x (x nguyên dơng)⇒ mỗi dãy có 40/x chỗ

Lúc sau có x + 1dãy mỗi dãy có 40/x + 1 ghế ⇒ ta có phơng trình:

Giải

Gọi x là số ngày máy 1 cày một mình xong cả cánh đồng

y là số ngày máy 2 cày một mình xong cả cánh đồng

Do cả hai máy cày thì 10 ngày xong việc nên ta có: 10/x + 10/y = 1 (1)

Nhng thực tế hai máy chỉ cùng làm việc 7 ngày đầu, sau đó máy thứ hai làm tiếp 9 ngày nữa thì xong nên ta có: 7/x + 7/y + 9/y = 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có: x = 15, y = 30

Bài 19

Một cửa hàng bán trứng trong một số ngày Ngày thứ nhất cửa hàng bán 150 quả và 1/9 số còn lại, ngày thứ hai lại bán 200 quả và 1/9 số còn lại, ngày thứ ba bán 250 quả và 1/9 số còn lại

Cứ bán nh vậy cho đến hết thì số trứng mỗi ngày bán nh nhau Hỏi số trứng có tát cả là bao nhiêu?

BTVN

Bài 1

Một ngời đi xe máy từ A đến B vận tốc 40 km/h Đi đợc 15 phút ngời đó gặp ôtô từ B đến với vận tốc 50 km/h Ôtô đến A nghỉ 15 phút rồi trở về B và gặp ngời đi xe máy cách B 20 km Tính quảng đờng AB

Hỡng dẫn

Gọi C, D là nơi mà ôtô gặp ngời đi xe máy làn thứ 1 và lần thứ 2 Quảng đờng CD là s (km)

⇒ ta có quảng đờng AC dài 40.1/4 = 10 (km) thời gian ngời đi xe máy đi từ C đến D là s/40 Trong thời gian đó ôtô đi từ C đến A rồi nghỉ 15 phút và đi đoạn AD với tổng thời gian là (10+10+s)/50 + 1/4

Gọi t1 là thời gian vòi một chảy một mình đầy bể ⇒ 1giờ vòi một chảy đợc 1/t1 bể

Gọi t2 là thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể ⇒ 1giờ vòiâhi chảy đợc 1/t2 bể

⇒ ta có: 10/3t1 + 10/3t2 = 1 (1)

Mặt khác:

Trong 3 giờ vòi một chảy đợc 3/t1 bể

Trong 2 giờ vòi hai chảy đợc 2/t2 bể

Bài 5

Một sân hình chữ nhạt có diệ tích 720 m2 Nếu tăng chiều dài 6m, giảm chiều rộng 4m thì diện tích không đổi Tính các kích thớc của sân

2/ Tính chất đờng phân giác của tam giác:

∆ ABC có AD là đờng phân giác ⇔ DB = AB

A B C

S

kS

4/ Hệ thức lợng trong tam giác vuông:

b/ Gäi S lµ trung ®iÓm cña PQ ⇒ I, O, S th¼ng hµng

vµ O lµ trung ®iÓm cña IS, AH // IS ⇒ theo c©u a th× ta cã J, O, R th¼ng hµng

D

K H

S

A

b/ Chứng minh rằng tia MO, NO luôn là phân giác của góc BMN và CMN

c/ Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi góc xOy quay quanh O nhng hai cạnh Ox, Oy vẫn cắt hai cạnh AB và AC của tam giác ABC

Giải

a/ Ta có: ∠B = ∠C = 600

∠O1 + ∠O2 = 1200; ∠O1 + ∠M1 = 1200

⇒ ∠M1= ∠O2 ⇒ ∠N1 = ∠O1 ⇒ ∆BOM ∼ ∆CNO ⇒

BO/CN = BM/CO ⇔ BO.CO = BM.CN ⇔ BO2 = BM.CN

c/ Do O là giao điểm của hai tia phân giác của ∠BMN và ∠MNC ⇒ O cách đều AB, MN và AC.

Gọi H là hình chiếu của O lên AB ⇒ OH = OB.sinB = a 3 =a 3

2 2 4 ⇒ MN luôn tiếp xúc với

Ta có: ∠BOM =1800 - ∠B - ∠BMO = 1200 - ∠BMO

Mà: ∠BOM = 1800 - ∠MON - ∠CON = 1200 - ∠CON

⇒ ∠BMO = ∠ CON ⇒ ∆BOM ∼ ∆CNO ⇒

BM/CO = BO/CN ⇔ BM.CN = BO.CO ≤  +  =ữ

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đờng cao

vẽ từ A của ∆ABC Chứng minh rằng: KH.KA≤ BC2

D E

C B

A

D K

O

2

O1O a

Bài 10

CMR trong tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD

Giải

Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo ⇒ ta có:

AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =

= (OA + OB) + (OC + OD)⇒ AC + BD > AB + CD