chuyen de pt luong giac 11

Trong quá trình giảng dạy, công tác tại trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm chúng tôi thấy cần thiết phải biên soạn chuyên đề “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản, các[r]

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phương trình lượng giác là một dạng thường gặp trong các đề thi đại học Đó là

một dạng toán mà không phải học sinh nào khi gặp phải cũng làm tốt được, đặc biệt những học sinh trung bình, yếu kém thì rất lúng túng và gặp khó khăn khi gặpdạng toán này Trong quá trình giảng dạy, công tác tại trường THPT Nguyễn BỉnhKhiêm chúng tôi thấy cần thiết phải biên soạn chuyên đề “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản, các dạng bài tập thường gặp và nâng cao về phương trình lượng giác để làm tài liệu cho giáo viên giảng dạy và cung cấp một lượng lớn bài tập cho học sinh tự học

Trong chuyên đề này chúng tôi sẽ biên soạn theo từng phương pháp giải Mỗi phương pháp chúng tôi trình bày hệ thống bài tập để học sinh rèn luyện kĩ năng giải Sau đó chúng tôi sẽ tổng hợp các dạng bài, học sinh phải tìm phương pháp thích hợp Chúng tôi trong Ban biên tập rất mong chuyên đề sẽ góp một phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán ở trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

Do thời gian chuẩn bị có hạn, chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót Chúng tôi, những thành viên trong Ban biên tập rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của các thầy cô

Nhóm toán khối 11-Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Công thức lượng giác cơ bản

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

os cos cos sin sin

os cos cos sin sin

tan tan tan

1 tan tan tan tan tan

6 Công thức tính theo t tan 2

2 1

3

3 2

2 2

1

1 2

a 180

 a 1: Phương trình vô nghiệm

)sin

2 3

arcsin 2 3

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin 2 x  1 sin 3 x 1 2) cos x 4 cos 2x 2

19) tan 3 x  2 cot 2 x 0 20) sin 4xcos5x0

21) 2sinx 2 sin 2x0 22) sin 22 xcos 32 x1

23) sin 5 cos3x xsin6 cos2x x 24)  

2

2

x x

sao cho: tan 3 x 2  3.

Bài 3: Tìm x0;3  sao cho:sin x 3 2 cos x 6 0

     

C MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

1.1 Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương

x x

2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương

trình có dạng at2  bt c 0, trong đó a, b, c là các hằng số a 0 và t là một trongcác hàm số lượng giác

2.2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về

phương trình bậc hai theo t, giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện    1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos)

3 1 0

3 13 2

nên phương trình 3cos 2x  7 0 vô nghiệm

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là  

x  k k



 )7 tan 4 cot 12 1

Điều kiện: sinx 0và cosx 0

Đặt t tanx ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t2  4 12 0t  …

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

31) 2 cos2x3cosx 1 0 32) cos2xsinx 1 0

33) 2 cos2x4cosx1 34) 2sin2x 5sin – 3 0x 

35) 2cos2x  2cosx - 2  0 36) 6 cos 2 x 5 sinx 2  0

37) 3 tan2x (1 3) tan =0x 38) 24 sin2 x 14cos 21 0x 

Bài 49 : Cho phương trình sin3x m cos2x(m1)sinx m 0

a)Giải phương trình khi m = 2

b)Xác định m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng 0;2

3 Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx

3.1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương

trình có dạng a.sin2 x b sin cosx x c c os2x d a b c  , , 0

có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này

 cosx0chia cả hai vế cho cos x2 đưa về phương trình bậc hai theo tan x:

a d tan2x b tanx c d  0

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi đưa về phương trình

bậc nhất đối với cos 2x và sin 2x

*Một số trường hợp đặc biệt là khi a = 0 hoặc c = 0 đưa phương trình về dạng tích

Ví dụ 9: Giải phương trình sau

a) 3sin2x- 3sinxcosx+2cos2x cosx=2

b) 4 sin2x+3 3sinxcosx-2cos2x=4

c) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0

d) 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3)cos2x-5- 3=0

Ví dụ 10: Giải phương trình sau

a) sinx- 4sin3x+cosx=0

b) (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

c) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

Ví dụ 11: Giải phương trình sau

a) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 b) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0

c) 2 cos3x= sin3x d) cos3x- sin3x= cosx+ sinx

e) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x f) sin3(x-/4)= 2sinx

Bài tập đề nghị:

50) 3sin2 x4sin cos +5cosx x 2 x2 51) 2 cos2x3 3 sin 2x4sin2x 452) 25sin2x 15sin 2x 9cos2x 25 53) 4sin2x 5sin cosx x 6 cos2x 0

54) 4sin2 x5sin cosx x0 55) 4sin2 x6cos2 x0.

56) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 57) 2cos3x3cosx8sin3x 0

58) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 59)

62) 3 2 cosxsinxcos3x3 2 sin sin 2x x

63) 3sin2 x2sin 2xcos2x0

4 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

4.1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có

dạng asinx b cosx c trong đó a b c, ,   và a2 b2  0

Ví dụ 12: Giải các phương trình sau: sinxcosx1; 3cos 2x4sin 2x1

4.2 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2b2 ta được:

đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Chú ý: Phương trình asinx b cosx c trong đó a,b,cRvà a2b2  0 có nghiệm khi c2 a2b2

Ví dụ 13: Giải các phương trình sau:

a) sinxcosx1; b) 3cos 2x 4sin 2x 1;

Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:

65) 2sinx2 cosx 2 66) 3sinx4 cosx5

67) 3sinx  1 4 cos x  1 5 68) 3cosx4sinx 5

69) 2sin 2x 2cos 2x 2 70) 5sin 2x6cos2 x13

80) 5cos 2x12sin 2x13 81) 3 cos2x5 sin2 x 1

82) Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có 2 nghiệm.

83) Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm

5 Phương trình đối xứng

5.1 Phương trình đối xứng loại 1

Cách giải: a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c Đặt t = sin x+cosx t  2

 at + b

2 1 2

t 

=c bt2+2at-2c-b=0

Ví dụ 14 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 2 sin xcosx sin 2x 1 0 2 sin cosx x 6 sin xcosx1

5 sin3xcos3x1 6 1 sin  x 1 cos  x  2

7 2sin 4 tan cot

9 1+tanx=2sinx +

1

cos x 10 sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx

11 (1+sin x)(1+cosx)=2 12 1+sin3 2x+cos32x=

sinxcosx 3sin 2x 1 0

85 cos3xsin3xcos 2x

86 sin3xcos3x2 sin xcosx 3sin 2x0

89 1 sin 2 x sinxcosx cos 2x

Bài 90 : Cho phương trình cos3xsin3x m Xác định m để phương trình có nghiệm

5.2 Phương trình đối xứng loại 2

Cách giải:

a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c Đặt t= sin x- cosx t  2

 at + b

2 1 2

t



=c bt2 -2at+2c-b=0

Ví dụ 15 : Giải các phương trình lượng giác sau :

1 1- sin3x+cos3x= sin2x 2 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2

3 3 tan xcotx 2 tan 2xcot2x  2 0

4 tan7xcot7xtanxcotx

5 tanxtan2xtan3xcotxcot2xcot3x6

5.3 Phương trình đối xứng với tanx và cotx

Cách giải: đặt t = tanx +cotx điều kiện t  2  tan2 x  cot2 x  t2  2

Đưa về phương trình chỉ có ẩn t

Bài tập đề nghị

9 tanxcotx 48 tan xcot x 96

92 3 tan xcotx tan2xcot2x6

3 tanx cotx  8 tan x cot x  21

94 sinxcosx 4sin 2x1

95 Cho phương trình tan2xcot2x2m2 tan  xcotx  m m2

Xác định m để phương trình có nghiệm.

D PHÂN LOẠI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO CÁC DẠNG. 1 Sử dụng công thức hạ bậc cos2x= 1 cos 2 2 x  ; sin2x= 1 cos 2 2 x  cos3x= 3cos cos3 4 x x ; sin3x= 3sin sin 3 4 x x

Bài tập 1 cos4x-5sin4x=1

2 4sin3x-1=3- 3cos3x

3.sin22x+ sin24x= sin26x

4 sin2x= cos22x+ cos23x

5 2 4 sin 2 os 2 1 0 sin cos x c x x x    6 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 7 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 8 cos4xsinx- sin22x=4sin2(4 2 x   )-7 2 với x1<3

9 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0

10 sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x

11 8cos3(x+ 3  )=cos3x 12.cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x

13

sin 5 5sin x x =1

14 cos7x+ sin22x= cos22x- cosx

15 sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2

16 3cos4x-2 cos23x=1 2 Sử dụng các hằng đẳng thức Bài tập Giải các phương trình sau 1) sin4 2 x +cos4 2 x =1-2sinx 2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

3) cos3x+ sin3x= cos2x 4)

4 4 sin cos 1 (tan cot ) sin 2 2 x x x x x   

5) cos6x-sin6x=

13

8 cos22x 6) sin4x+cos4x=

7

7) cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8) cos3x+sin3x=cosx-sinx

9) cos6x+sin6x=cos4x 11) cos8x+sin8x=

1 8 10) sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x

3.Giải phương trình lượng giác đưa về dạng tích

Bài tập Giải các phương trình sau:

1) cos2x- cos8x+ cos4x=1

11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13) sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

14)

2sin3x-1

sin x=2cos3x+

1

cos x 15) cos3x+cos2x+2sinx-2=0

16)cos2x-2cos3x+sinx=0 17)

tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-1

18)sin2x=1+ 2cosx+cos2x 19) 1+cot2x= 2

1 cos 2sin 2

x x

sin 2x



26) cotx-tanx=cosx+sinx 27) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

4 Sử dụng công thức nhân đôi.

* cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x



* sinx = 2

2 1

t t

 ; cosx=

2 2

1 1

t t



 tanx= 2

2 1

t t

1) sin3xcosx=

1

4+ cos3xsinx 2) cosxcos2xcos4xcos8x=

116

3) tanx+2cot2x=sin2x 4) sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x 5) sin4x=tanx 6) sin2x+2tanx=3

7) sin2x+cos2x+tanx=2 8) cotx=tanx+2cot2x

9) tan2x+sin2x=

3

2cotx 10) (1+sinx)2= cosx

5 Giải phương trình LG bằng cách thực hiện phép biến đổi tổng thành tích

và tích thành tổng

Bài tập Giải các phương trình sau:

1) sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

6 Giải PT LG bằng phương pháp đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B

Bài tập Giải phương trình



)

7 Giải phương trình LG bằng cách thực hiện các phép biến đổi phức tạp

Bài tập Giải các phương trình

1/ 3 4 6 (16 3 8 2) cos   x 4 cosx 3 2/ cos 3 9 2 16 80

6/ sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x

7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x

8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x

9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x)

10/ sin x  sin x   1 sin2 x  cos x

11/cos2 sin 2 cos 2 

4tan

3tan

31sin

26

,2

6526

x x x x

0 1 sin

0 cos

0 ) 1 (sin )

cos

x

x x x

x x

x x

x

Phương trình vô nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình: sin 4 x cos 15x 1

GIẢI

Ta có: sin 4 x cos 15x 1

x x

0 ) 1 (sin sin

13 2

2 2

x x

x x

0 cos

1 sin

0 sin

x x x x

) , ( 2

2

n x

n x

m x

m x

Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình f(x) g(x),

ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại AR: f(x) A,x(a,b) và

),(,

A x f x

g x f

) (

) ( )

( ) (

Nếu ta chỉ có f(x) A và g(x) A, x( b a, ) thì kết luận phương trình vô

nghiệm

Ví dụ1 Giải phương trình: cos5 x  x2  0

GIẢI

x x

mà   cos 0 ,  1 , 1 cos 0 ,  1 , 1

2

, 2 1

Do x2  0 và  cos 5 x 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải phương trình:

1cos

sin1996x 1996 x (1)

GIẢI

(1) sin1996 xcos1996 xsin2 xcos2 x

) cos 1 ( cos ) 1 (sin

Ta thấy

x x

x x

sin 1 sin

0

1994 2

Mà

x x

x x

( 2

2 1

cos

0 cos

1 sin

0 sin 0

) cos 1 ( cos

0 ) 1 (sin

sin

1994 2

1994 2

Z n m

n x

n x

m x

m x

x x x x x

x

x x

Vậy nghiệm của phương trình là: xk 2(kZ)

Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:

1 sin

1 sin

1 sin 1

sin

sin

bx ax bx

ax bx

1 sin

1 sin

1 sin 1

sin

sin

bx ax bx

ax bx

ax

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:

1 cos

sin

1 cos sin

1 cos

cos

1 cos cos

bx ax

bx ax bx ax

8.3 Phương pháp đoán nhận nghiệm và chứng minh tính duy nhất của

nghiệm

Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cáchthông sụng sau:

 Dùng tính chất đại số

 Áp dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương trình f(x)0 có 1 nghiệm x( b a, ) và hàm f đơn điệu trong ( b a, )thì f(x)0 có nghiệm duy nhất là x

Phương trình f(x)g(x) có 1 nghiệm x( b a, ), f (x) tăng (giảm) trong

0 sin

)

(

' x   xx x

 Hàm f luôn đơn điệu tăng trong 0 , 

 f(x)  0 có 1 nghiệm duy nhất trong 0 , 

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x 0

Ví dụ 2 Giải phương trình:

02tansinx x x  với 0 2





 x

Giải

Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm x 0

Đặt f(x)sinxtanx2x liên tục trên 





 2

0 cos

) 1 cos )(cos

1 (cos )

(

x x

x x

x x

f

5 1 1 cos 0 2

1 (tan cot ) cos sin ( 2,3, 4, )

1 3 cos 1 cos

1

x

x x

x

(1) GIẢI

Điều kiện: 





 0 3 cos

0 cos

x x

Khi đó (1)  cosxcos2 x cos3xcos23x 1

1 0

) 2

1 ( 4

1 3 cos 3 cos x 2 x

2

1 3 cos 3 cos 2

1 cos

x

x x

2

1 3 cos

2

1 cos 4

1 3 cos 3 cos

4

1 cos cos

2 2

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

Bài tập đề nghị

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) sin3 xcos3 x  2sin4 x 2) sinxtanx2x 0 với 0 2





 x

3) cos 4x cos 2x2  5  sin 3x 4) cos4 xsin4 x  cosx  sinx

Bài 2: Giải phương trình:

1) x2 2sinxy10 2) cos3x+ 2 cos 3x 2 =2(1+sin22x) 3) 2cosx+ 2sin10x=3 2+2sinxcos28x

4) cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 5) 8cos4xcos22x+ 1 cos 3x  +1=0

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x

2) tan2x - tanxtan3x = 2

3) 5 - 3sin x - 4cosx2 = 1 - 2cosx

8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)

11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x =

116

12) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x

13) sin2xcosx =

1

4 + cos3xsinx14) sin6x + cos6x = cos4x

17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x

18) 2sin3x -

1sinx = 2cos3x +

1cosx

19) cos3xcos3x + sin3xsin3x =

24

22) cosx - sinx = 2cos3x

23) 3sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx 2

24) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1

 

 

  =

58

2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0

3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0

4)

(1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx

- tan xsinx = + tan x

5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

6) cos6x + sin6x =

716

Bài 3 Giải các phương trình sau:

1)

cos 2 + 3cot2x + sin4x

= 2cot 2 - cos2x

3)

2

cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1

= 1

1 + sin2x 4) sin4x = tanx

5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0

7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

3

2 8) 2 + cos2x + 5sinx = 0

9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + 3 2sin2x = 8cosx

Bài 4 Giải phương trình lượng giác

1) cosx + 3sinx = 3 -

3cosx + 3sinx + 1

2) 3sin3x - 3cos9x = 1 + 4sin33x

3) cos7xcos5x - 3sin2x = 1 - sin7xsin5x

4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1)

5) 4(sin4x + cos4x) + 3sin4x = 2

6) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3cos3x

7) 3sin2x + cos2x = 2

8) 2 2(sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

9) cos2x - 3sin2x = 1 + sin2x

Bài 5 Giải các phương trình

5) tanx + tan2x - tan3x = 0

6) cos3x + sin3x = sinx - cosx

7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x

8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x

9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0

10) sin3x - sinx = sin2x

15) 2sin3x + cos2x = sinx

16) sin2x + sin22x + sin23x =

32

17) cos3x + sin3x = sinx - cosx

18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x)

19) sin2x = cos22x + cos23x

20) sin23x - sin22x - sin2x = 0

21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0

22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x

23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0

24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

25) 2cos2x = 6(cosx - sinx)

26) 4cos3x + 3 2sin2x = 8cosx

27) sin3x + sin2x = 5sinx

Bài 6 Giải các phương trình sau:

Bài 7 Giải các phương trình sau:

1) cosx 3 sinx2 os3c x 2) tanxtan 2 tan 3 x x

3)  2sinx cosx 1 cos  x  sin 2 x 4) (1 cos 2 )sin 2 x xsin 2 x

5) cos 1 tanx  x sinxcosx sinx 6) cotxtanxsinxcosx

8) 2sin 17x 3cos 5xsin 5x0

9) cos 7xsin 5x  3 cos 5 xsin 7x