Việc tính tổng của một dãy số chúng ta có khá nhiều phương pháp khác nhau. Bài viết sau chúng tôi xin trình bày thêm một phương pháp khác mà ở đó chúng ta vận dụng kiến thức lượng giác v[r]
Trang 1Hoàng Minh Quân - GV THPT Ngọc Tảo - Hà Nội
Email: Hoangquan9@gmail.com
SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ DÃY SỐ Việc tính tổng của một dãy số chúng ta có khá nhiều phương pháp khác nhau Bài viết sau chúng tôi xin trình bày thêm một phương pháp khác mà ở đó chúng ta vận dụng kiến thức lượng giác và đạo hàm cơ bản nhưng rất hiệu quả trong việc tính tổng một số dãy số nguyên
I KIẾN THỨC MỞ ĐẦU
Trước hết xin nhắc lại một số kết quả về các tổng lượng giác như sau:
1.1) sin x + sin 2x + + sin(n − 1)x + sin nx =cos
1
2x − cos n +1
2 x
2 sin1
1.2) cos x + cos 2x + + cos(n − 1)x + cos nx =sin n +
1
2 x − sin1
2x
2 sin12x . 1.3) sin x − sin 2x + sin 3x − ∓ sin(n − 1)x ± sin nx = sin
1
2x ± sin n +12 x
2 cos12x . (Trong tổng trên sử dụng dấu ở trên hay dấu ở dưới tùy thuộc vào n lẻ hoặc n chẵn )
1.4) cos x − cos 2x + cos 3x − ∓ cos(n − 1)x ± cos nx = cos
1
2x ± cos n +12 x
2 cos12x . Chứng minh
1.1) Chúng ta có
cos1
2x − cos
3
2x
+
cos3
2x − cos
5
2x
+ + [cos (n − 1) x − cos (n + 1) x]
= 2 sin1
2x [sin x + sin 2x + + sin(n − 1)x + sin nx].
Từ đó đẳng thức 1.1) được chứng minh
1.2) Việc chứng minh đẳng thức 2) thực hiện tương tự chứng minh đẳng thức 1)
1.3) Chúng ta chứng minh với n lẻ, trường hợp n chẵn chứng minh tương tự
Xét với n lẻ, chúng ta có
sin1
2x + sin
3
2x
−
sin3
2x + sin
5
2x
+ + [sin (n − 1) x + sin (n + 1) x]
= 2 cos1
2x [sin x − sin 2x + − sin(n − 1)x + sin nx]
Vậy đẳng thức 3) được chứng minh
1.4) Việc chứng minh đẳng thức 1.4) thực hiện tương tự chứng minh đẳng thức 1.3)
II.Áp dụng
Áp dụng các đẳng thức lượng giác trên chúng ta sẽ tính được một số tổng sau với n ≥ 1
Thí dụ 1
Tính tổng S1= 1 + 2 + + n
Lời giải
Đặt f (x) = sin x + sin 2x + + sin(n − 1)x + sin nx Khi đó chúng ta có:
f0(x) = cos x + cos 2x + + + (n − 1) cos(n − 1)x + n cos nx
f00(x) = −sin x + 22sin 2x + + (n − 1)2sin(n − 1)x + n2sin nx
f000(x) = −cos x + 23cos 2x + + (n − 1)3cos(n − 1)x + n3cos nx
Chúng ta dễ nhận thấy rằng
f (0) = 0,
f0(0) = 1 + 2 + + n,
f00(0) = 0,
f000(0) = −(13+ 23+ + n3)
Từ 1.1 chúng ta có 2 sin12x f (x) = cos1
2x − cos n +12 x
Đạo hàm hai vế chúng ta được cos12x f (x) + 2 sin1
2x f0(x) = −12sin12x + n +12 sin n +1
2 x, Đạo hàm tiếp đẳng thức trên ta được
−1
2 sinx2 f (x)+ cosx
2 f0(x)+212 cosx2 f0(x) + sinx2 f00(x) = −1
4cosx2+ n + 122cos n + 12 x Cho x = 0 chúng ta có
2f0(0) = −14+ n +122
= −14+ n2+ n +14 = n2+ n
Vậy f0(0) =n(n + 1)
2 hay 1 + 2 + + n =
n(n + 1)
Trang 2Nhận xét:
1 Bằng cách thực hiện đạo hàm liên tiếp f (x) 4 lần chúng ta sẽ tính được tổng
13+ 23+ + n3=n
2(n + 1)2
2 Với ý tưởng như vậy chúng ta hoàn toàn mở rộng ra để tính được các tổng
15+ 25+ + n5; 17+ 27+ + n7, ,1k+ 2k+ + nk với k là số nguyên dương lẻ
Thí dụ 2
Tính tổng S2= 12+ 22+ + n2
Lời giải
Đặt g(x) = cos x + cos 2x + + cos(n − 1)x + cos nx Chúng ta có:
g(0) = n
g0(0) = 0
g00(0) = −(12+ 22+ + n2)
g000(0) = 0
g(4)(0) = 14+ 24+ + n4
Từ đẳng thức (1.2) chúng ta có 2sinx
2
g(x) = sin
n +1 2
x − sinx
2 Đạo hàm hai vế chúng ta được
cosx
2 g(x) + 2 sinx
2 g0(x) =
n +1 2
cos n +1
2 x −1
2cos
x
2 Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên ta được
−1
2 sin
x
2 g(x) + cosx
2 g0(x) + cosx
2 g0(x) + 2 sinx
2 g00(x) = −
n +1 2
2
sin n +1
2 x +1
4sin
x
2 Lấy đạo hàm hai vế chúng ta được
−1
4 cos
x
2 g(x)−3
2 sinx
2 g0(x)+3 cosx
2 g00(x)+2 sinx
2 g000(x) = − n +1
2
3
cos n + 1
2 x+1
8cos
x
2 Cho x = 0 ta có −14g(0) + 3g00(0) = − n +123
+1
8.
Vì g(0) = n nên g00(0) = −2n
3+ 3n2+ n
n(n + 1)(2n + 1)
6 mặt khác g00(0) = −(12+ 22+ + n2) nên 12+ 22+ + n2= n(n + 1)(2n + 1)
Nhận xét:
1 Bằng cách thực hiện đạo hàm liên tiếp g(x) 5 lần chúng ta sẽ tính được tổng
14+ 24+ + n4= n (n + 1) (2n + 1) 3n
2+ 3n − 1
2 Với ý tưởng như vậy chúng ta hoàn toàn mở rộng ra để tính được các tổng
16+ 26+ + n6; 18+ 28+ + n8, ,1k+ 2k+ + nk với k là số nguyên dương chẵn
Thí dụ 3
Tính tổng S = 1 − 2 + 3 − + n, với n là số nguyên dương lẻ
Lời giải
Xét hàm số h(x) = sin x − sin 2x + sin 3x − − sin(n − 1)x + sin nx, (với nlà số nguyên dương lẻ) Chúng ta dễ nhận thấy h(0) = 0, h0(0) = 1 − 2 + 3 − + n
Từ đẳng thức 3.1, chúng ta có 2 cosx
2 h(x) = sinx
2+ sin n +1
2 x
Lấy đạo hàm hai vế chúng ta có
− sinx
2 h(x) + 2 cosx
2 h0(x) = 1
2cosx
2+ n +1
2 cos n +1
2 x
Cho x = 0 chúng ta được 2h0(0) = n + 1 Vậy h0(0) = n + 1
2 . Thí dụ 4
Tính tổng S = 1 − 2 + 3 − − n, với n là số nguyên dương chẵn
Lời giải
Xét hàm số h(x) = sin x − sin 2x + sin 3x − + sin(n − 1)x − sin nx, (với nlà số nguyên dương chẵn) Chúng ta dễ nhận thấy h(0) = 0, h0(0) = 1 − 2 + 3 − + (n − 1) − n
Từ đẳng thức 3.1, chúng ta có 2 cosx2 h(x) = sinx
2− sin n +1
2 x
Lấy đạo hàm hai vế chúng ta có
− sinx
2 h(x) + 2 cosx
2 h0(x) = 12cosx2− n +1
2 cos n +1
2 x
Cho x = 0 chúng ta được 2h0(0) = −n Vậy h0(0) = −n
2.
Trang 3Nhận xét:
1 Từ thí dụ 3 và thí dụ 4 chúng thu gọn như sau
Pn
k=1(−1)k+1k =
n + 1
−n
2 Với cách làm tương tự chúng ta thu được một số tổng sau
2.1)Pn
k=1(−1)k+1k2=
n(n + 1)
−n(n + 1)
2.2)Pn
k=1(−1)k+1k3=
(n + 1)2(2n − 1)
−n2(2n + 3)
2.3)Pn
k=1(−1)k+1k4=
n(n + 1)(n2+ n − 1)
−n(n + 1)(n2+ n − 1)
và cách làm không chỉ hạn chế với các tổng trên mà chúng ta còn tính được rất nhiều tổng khác , mời bạn đọc tiếp tục khai thác và tìm hiểu thêm
Tài liệu tham khảo
Tạp chí Toán học tuổi trẻ
Tạp chí Crux
Tạp chí AMM