MỘT VÀI ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác luôn luôn xuất hiện trong các đề thi đại học và cũng gây không ít khó khăn cho các thí sinh.. Trong bài nà
Trang 1MỘT VÀI ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương trình lượng giác luôn luôn xuất hiện trong các đề thi đại học và cũng gây không ít khó khăn cho các thí sinh Trong bài này chúng tôi trao đổi với các bạn một số điểm cần chú ý khi giải các PTLG Về phương pháp chung thì để giải PTLG ta sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đưa phương trình ban đầu về PTLG thường gặp
Chúng ta biến đổi PTLG theo các hướng sau:
1 Đư a về phương trình bậc nhất đối với sin và côsin
Với dạng này ta cần lưu ý một số biến đổi sau
s inx 3 cos 2 sin 2 cos
3 s inx cos 2 sin 2 cos
∓
∓
∓
Thí dụ 1: Giải phương trình
sin3x− 3 cos 3x=2 sin 2x (1)
Lời giải Ta có
s 3 cos 3 2 sin 3
3
nên (1)
2 3 sin 3 sin 2
3
k x
π π π
= +
; k∈Z
Thí dụ 2 Giải phương trình
3
s inx+cos sin 2x x+ 3 os3c x=2(cos 4x+sin x)
(Đề thi ĐH khối B - 2009)
Lời giải Phương trình đã cho tương đương với
s inx sin 3 3 os3 2 cos 4 s inx sin 3
sin 3 3 os3 2 cos 4
6
2 6 2
π
π π
= − +
Trang 2Với phương pháp này chúng ta cần lưu ý tới một số đẳng thức sau
2
1
2 3
4
sin 2
os
os
os2
;
−
=
Thí dụ 3 Giải phương trình
0
x
=
(Đề thi ĐH khối A - 2006)
Lời giải Điều kiện sin 2
2
x≠ 2
2
(2) 2 1 sin 2 sin 2 0
3sin 2 sin 2 4 0
sin 2 1
4
x
x π kπ k Z
Đối chiếu điều kiện ta có 5 2 ,
4
x= π + nπ n∈Z
là nghiệm của phương trình đã cho
Thí dụ 4 Giải phương trình
sin 2 os6 sin 3 sin sin (3)
Lời giải Ta có
2
3 1 cos 4 cos 6 1 cos 6 sin sin
1 cos 4 cos 6 sin sin
1 cos 2 cos10 cos cos10
cos 2 cos 2 0 2 cos cos 3 0
Trang 3Thí dụ 5 Giải phương trình
( )
2
π
Lời giải Điều kiện
3
( )
2 2 2
1 t anx 6 tan 1
4
1 t anx 1 tan
t anx 7 tan 5 tan 2 0 t anx 0
,
x PT
x
x kπ k
Thí dụ 6 Giải phương trình
(Đề thi ĐH Khối B - 2004) Lời giải Điều kiện : os 0
2
2 2 2 2 2
2
2
sin
5 5sin 2 3 1 s inx
cos sin 5sin 2 3 1 s inx
1 sin sin
5sin 2 3
1 sin 5sin 2 1 sin 3sin
2 sin 3sin 2 0
2
5 2
2 6
x
x x x
x x
x
x
π π
π π
−
+
= +
ℤ
3 Biến đổi về phương trình tích
Để biến đổi về phương trình tích chúng ta cần tạo ra các thừa số chung ột số lưu ý khi tìm nhân
tử chung: Các biểu thức:
• 1+sin2x; cos2x; 1+tanx; 1 + cotx có thừa số chung là sinx + cosx
• 1 – sin2x; cos2x; 1 – tanx; 1 – cotx có thừa số chung là sinx - cosx
• sin2x; tan2x có thừa số chung là (1 – cosx)(1 + cosx)
• cos2x ; cot2x có thừa số chung là (1 – sinx)(1 + sinx)
Trang 4Thí dụ 8 Giải phương trình
( )
2
Lời giải Ta có
( )7 sin 2 sin sin
2 cos sin sin
, 1
cos
3 2
k
x
π π
ℤ
Thí dụ 9 Giải phương trình
9
4
Lời giải Ta có
8 cos 2 3 1 sin 2 5 sin cos 0
cos s inx cos s inx 3 sin cos 5 sin cos 0
(s inx cos )(4 sin 2 cos 5) 0
4
(Do 42 + 22 < 52 nên PT 4sinx + 2cosx – 5 = 0 vô nghiệm)
Thí dụ 10 Giải phương trình
( )
x
π
(Đề thi ĐH Khối D - 2003) Lời giải Điều kiện: cos 0
2
Trang 5( ) ( )
2 2 2
2
sin
2 cos sin
(1 cos ) 0
1 sin
1 cos sin cos 0
2
, sin cos 0
4
x
x x
x x
x
k
π
π π
π π
+
= +
= −
ℤ
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của PT đã cho là:
2
, 4
k
π π
π π
= +
ℤ
Thí dụ 11 Giải phương trình
( )
2 2
tan t anx 2
x
x x
π
(Đề thi dự bị Khối D - 2008)
Lời giải Điều kiện: ,
2
x≠ +π kπ k∈
ℤ
Ta có
2
1
2
2 sin sin cos sin cos
sin cos 2 sin 1 0
2 4
6 5 2 6
π π
π π
π π
= − +
ℤ
Cả ba họ nghiệm này đều thoản mãn điều kiện bài toán
Thí dụ 12 Giải phương trình
( )
2 sin 2x−cos 2x=7 sinx+2 cosx−4 11
Lời giải Phương trình (11) tương đương với
Trang 6( ) ( )( )
2 cos 2 sin 1 2 sin 1 sin 3 0
2 sin 1 2 cos sin 3 0
2
sin
5 2
2 6
x
π π
π π
= +
(Vì 2 cosx+sinx≤ 5<3⇒2 cosx+sinx− ≠3 0 với mọi x)
Cuối cùng xin đưa ra một số bài toán để các bạn tự luyện tập
Giải các phương trình lượng giác sau
1) cot sin 1 tan x tan 4
2
x
(1 2 sin1 2 sin)(1 sincos ) 3
−
=
3) 5 cos 5x−2 sin 3 cos 2x x−sinx=0
3cot x+2 2 sin x= +2 3 2 cosx
5)cos2 (cos 1) ( )
2 1 sin sin cos
x
−
+
6)1 sin+ x+cosx+sin 2x+cos 2x=0
7) cos4 sin4 cos sin 3 3 0
8) sin6x+cos6x=sin 2x
9) cot tan 4 sin 2 2
sin 2
x
10) cos 3 cos 22 x x−cos2 x=0