Hướng dẫn giải các bài toán về phương trình lượng giác lớp 11 phần 4 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

[r]

NHÓM PHÁT TRIỂN LƯỢNG GIÁC

4.7 PHƯƠNG TRÌNH LG CÓ NGHIỆM TRÊN KHOẢNG, ĐOẠN.

Câu 1: Tìm nghiệm của phương trình:

Lời giải

Ý tưởng: Biến đổi vế phải thành sin2x và cos2x , sau đó biến đổi thành tích

Chú ý:

Với

Vì

Kết luận nghiệm của phương trình:

Câu 2: Tìm x0; :

Lời giải

2

6

1

k 2 5 x





7

x k 2 , k ; k 6



1

1 1









Vì

2

2 2









Kết luận nghiệm phương trình:

;

5 x 6



 .

 

4

   5 cos x sin x 3  sin 2x cos 2x

2

5 cos x sin x 3 sin 2x 2 cos x 1

2

2 cos x 5 cos x 2 2 sin x cos x sin x 0

2

2 cos x 5 cos x 2  2 cos x 1 cos x 1 

2 cos x 1 cos x 1   sin x 2 cos x 1  0

2 cos x 1 cos x sin x 2   0

      2 cos x 1 0    cos x sin x 2  0

1

2

3

3

3









4

4

3





Câu 3: Tìm x0; 2 :

cos 3x sin 3x

1 2 sin 2x



Lời giải

Điều kiện :

1 sin 2x

2



1 sin 2x



sin x cos x cos 3x cos 3x sin 3x

1 2 sin 2x



cos x 1 2 sin 2x

1 2 sin 2x





cos x 2

  (loại) hoặc

1 cos x 2

3



hoặc x 3 k2 , k 



    

Vì x0; 2 Nên nghiệm của phương trình :

5

x ; x

.

Câu 4: Tìm m để phương trình 2 sin x m cos x 1 m (1)   có nghiệm x 2 2;

  

  

Lời giải

Ta có a2, b m,c 1 m   Do b c  1 0 nên

x

2 không là nghiệm của (1)

Đặt

x

tt an 2





2 2

  

  

   2

có nghiệm t  1; 1  2  t2 4t 1 2m 

là phương trình hoành độ giao điểm

2







  , số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của (P) và d.

Bảng biến thiên của hàm số yt24t 1

+∞

-∞

y

x

-2 6

2 1 -1

Dựa vào bảng biến thiên phương trình (2) có nghiệm  22m6  1 m 3.

Kết luận với  1 m3 thì (1) có nghiệm x 2 2;

  

  

Câu 5: Nghiệm của phương trình cos2 x – cos x  thỏa điều kiện: 0 x 0   

A x 2

















.

Câu 6: Nghiệm của phương trình cos2 x  cos x  thỏa điều kiện: 0

3

.





3 2

x  

3 2

x  

.

Câu 7: Nghiệm của phương trình 2sin2 x – 3sin x   thỏa điều kiện: 1 0 0 x 2



 

.

A x 6

















.

Câu 8: Nghiệm của phương trình sin2x – sin x  thỏa điều kiện: 0 x 0   

A

2

x  





.

Câu 9: Nghiệm của phương trình sin2x  sin x  thỏa điều kiện: 0 2 x 2

.

A

0









.

Câu 10: Số nghiệm của phương trình: sin x 4 1



 

  với    x 5  là:

Câu 11: Số nghiệm của phương trình:

3

x 

 

  với 0   x 2  là:

Câu 12: Tìm m để phương trình 2sin2x   2 m  1 sin  x m   0

có nghiệm

;0 2

x   

  

A   1 m  0 B 1  m  2 C    1 m 0 D 0  m  1

Câu 13: Tìm m để phương trình cos 2 x   2 m  1 cos  x m    1 0

có nghiệm

3

2; 2

 

 

  

x

.

A    1 m 0 B 0  m  1 C 0   m 1 D   1 m  0

Câu 14: Tìm m để phương trình  cos x  1 cos 2   x m  cos x   m sin2x có đúng 2 nghiệm x     0;23  

.

A   1 m  1 B

1 0

2

 m 

1 1

2

  m 

1

1 2

  m 

Câu 15: Các nghiệm thuộc khoảng

0;

2



 

  của phương trình

sin cos3 cos sin 3

8

là:

A

5 ,

6 6

5 ,

8 8

5 ,

12 12

5 ,

24 24

.

Câu 16: Cho phương trình:

sin 3 cos3 3 cos 2 sin

x

x



  Các nghiệm của phương trình thuộc khoảng

 0;2 

là:

A

5 ,

12 12

5 ,

6 6

5 ,

4 4

5 ,

3 3

.

4.8 SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN NGHIỆM TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Câu 17:

 

0

1 2 sin x



Lời giải

Điều kiện:1 2 sin x 0

1 sin x sin x sin



5

6







Ý tưởng: Hạ bậc, sau đó rút gọn







1 cos 2 2x 1 sin 2x.

   2 1 cos x   1 sin 2x 3 cos 2x 3 0 

cos 2x.cos6 sin 2x.sin6 cos x

6

5 k2 x

18 3

7

6



Biểu diễn nghiệm

29π 18

17π 18

5π 18

- 7π

6

π 6

Ta thấy hai đầu mút

7 6





và

5 6

 trùng nhau, vậy nghiệm

7

6



loại.

Còn nghiệm

5 k2 x

18 3

được biểu diễn ba đầu mút

5 17 29

18 18 18

đều khác hai đầu mút 6



và

5 6

 Vậy nghiệm

5 k2 x

18 3

nhận.

Kết luận nghiệm phương trình

5 k2 x

18 3

.

k2

n



, có bao nhiêu đầu mút, ta lấy

k2

n

  

này có n đầu mút, sau đó chọn k = 0,1, 2, 3, , n – 1.

Câu 18:

Lời giải

Điều kiện

2





Ta có :

7

(1) 

(1 cos x).cos x

 (1 cos x).cos x sin x (sin 2x cos 2x).sin x  2  

cos x cos x sin x sin 2x.sin x cos 2x.sin x   

Biến đổi 2 2

 cos x cos 2x 2 sin x.cos x cos 2x.sin x2 

 (cos x 2 sin x.cos x) cos 2x cos 2x.sin x 2   0

 cos x(1 2 sin x) cos 2x cos 2x.sin x 2   0

 cos x.cos 2x cos 2x cos 2x.sin x  0



cos 2x(cos x sin x 1) 0

cos x sin x 1 0



Với cos 2x0  2x k

2



  



k x

 

(k )



hoặc xk2 ,(k  )

Biểu diễn nghiệm :

7π 4

*

3π 2 π

π 2

0

3π

4

5π

4

π 4

Nghiệm x 2 k



  

được biểu diễn hai đầu mút là 2



và

3 2



Nghiệm x k được biểu diễn hai đầu mút là 0 và .

Vậy ta phải bỏ 4 đầu mút 0, 2



, ,

3 2



.

Nghiệm x 2 k2



được biểu diễn 1 đầu mút là 2



Nghiệm xk2 được biểu diễn 1 đầu mút là 0

Nghiệm

k x

 

được biểu diễn 4 đầu mút là :

.

So với điều kiện hai nghiệm xk2 và x 2 k2



loại.

Kết luận nghiệm của phương trình :

k x

 

(k )

Câu 19:

2

2

2 sin x 1

Lời giải



2

2

2 sin x 1





2

2

2 sin x 1





2

2

2 sin x 1

 cos x(2 sin x 1)  3 2 3 sin x 2 cos x

 2 sin x cos x cos x  3(1 2 sin 2x) 2 cos x



3

k x

 

(k )

Điều kiện : 2 sin x 1 0  

1 sin x

2





6 7

6







Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lượng lượng giác:

π 2

0

6

5π 3

7π 6

2π 3

π 6

Nghiệm

k x

 

được biểu diễn 4 đầu mút

, , ,

.

Ta có đầu mút 6





và

5 3

 trùng nhau.

So với điều kiện ta chọn 2 đầu mút

2 ,

.

2

.

2(1 cot 2x.cot x) 1

48



(1).

Lời giải

Điều kiện

k

2



Bước đầu tiên rút gọn 1 cot 2x.cot x Ta có : 1 cot 2x.cot x 

2

cos 2x cos x cos 2x.cos x sin 2x.sin x cos x 1

sin 2x sin x sin 2x.sin x sin 2x.sin x 2 sin x



48 sin xcos x  sin x cos x4  4 48.sin x.cos x4 4

2



4 2



1

2

Đặt 2

tsin 2x Điều kiện 0 t 1



2 1

2



1 t 2





2 t 3



(loại)

Với

1 t 2





sin 2x

2



 cos 4x0  4x k

2



  



k x

8 4

 

Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lượng giác:

0 π

3π 2

π 2

15π 8 13π 8

11π 8

9π

8

7π

8

5π 8

3π 8 π 8

Nghiệm

k x

 

được biểu diễn 8 đầu mút

Nghiệm

k x 2





được biểu diễn 4 đầu mút là

3

0, , ,



.

Ta thấy các đầu mút của hai nghiệm này không trùng nhau

Kết luận nghiệm của phương trình :

k x

8 4

 

(k ).

2

1 2 sin x 3 2 sin x sin 2x

1 1

2 sin x cos x 1





Lời giải

Điều kiện:2 sin x cos x 1 sin 2x 1 2x 2 k2 x 4 k

1 1 2 sin x 3 2 sin x sin 2x   sin 2x 1  2 2 sin x 3 2 sin x  0

2

2 sin x

2



Với

3

4











3π 2 π

π 2

0

3π 4

4π 5

π 4

Biểu diễn nghiệm x 4 k



  

, có hai đầu mút là 4



và

5 4



Biểu diễn nghiệm x 4 k2



, có một đầu mút 4



Vậy so với điều kiện nghiệm này loại Biểu diễn nghiệm

3

4



, có một đầu mút

3 4



không trùng với 2 đầu mút 4



và

5 4



Vậy nghiệm này nhân.

Kết luận nghiệm của phương trình  

3

4



.

Lời giải

Điều kiện:sin x 0 x k , k 

Các bạn để ý góc ở vế trái, nên ý tưởng biến đổi tích thành tổng ở vế trái

2

1

2 cos x 1 3 2 cos x cos x 1

sin x

Phân tích 2 cos x cos x 12   cos x 1 2 cos x 1     và quy đồng mẫu được:

Với

1

2 cos x 1 0 cos x cos x cos



3



Với

2

  hoặc x k2 , k Z Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lượng giác :

*

2π 3

- π 3

π 3

3π 2 π

π 2

0

Vậy nghiệm x k2 loại

Kết luận nghiệm phương trình: x 3 k2



,

2

3



   k Z 

.

3 tan x 4 sin x 2 3 tan x 4 sin x 2    0

Lời giải

3 tan x 4 sin x 2 3 tan x 4 sin x 2    0

 3 tan x 12 2 sin x 12 0

6 3

tan x

6

sin x

5

6

  















Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lượng giác:

cos sin

0 7π

6

5π 6

π 6

Nghiệm của 3 tan x 1 0  được biểu diễn hai đầu mút là

7 ,

6 6

  Nghiệm của 2 sin x 1 0  được biểu diễn hai đầu mút là

5 ,

6 6

  Kết luận nghiệm của phương trình: x 6 k2



.

4.9 DẠNG TOÁN KHÁC VỀ PTLG THƯỜNG GẶP

Câu 24: Cho hàm số y 2x (m ) x m x2

p

Câu 25: Cho hàm số y=f x( )=cos3 3x2- 2p x

Hãy tính: f¢( )p

Câu 26: Cho hàm số

x y

x

3 sin

+ Chứng minh rằng: y¢=cosx- cos 2 x