Chuyên đề: PT, Lượng Giác

Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác Loại 1.. Hướng dẫn Đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với sin 2x, cos 2x, áp dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình bậc nh

Phương trình lượng giác

Chủ đề 1 Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác

Loại 1 Các phương trình lượng giác cơ bản

A Tóm tắt lý thuyết

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình sin 3x sin 5x cos x   1

10 5

x x

Ví duï 4 Giải phương trình 1  

2 8cos x

8 3 8 5 8 7 8 9 8 11 8 13 8

2 n

C Bài tập Giải các phương trình sau

Hướng dẫn

Sử dụng cơng thức biến tích thành tổng, phương trình đã cho tương đương với

 (k  ) 3) sin 2x 1 tan 2x tan x     1

1 tan 2x tan x   , phương trình đã cho tương đương với

Nhân hai vế phương trình với cos x cos 2x ta được

cos x sin 2x cos 2x  sin x cos 2x sin 2x   2 

 sin 2x cos 2x cos x   sin 2x sin x   sin x cos 2x

5) sin x sin 2x   cos x cos 2x   0

đương với  2  3 cos x   sin x 1   2cos x 1   tan x  3 Đáp số: 4

2k 3

Loại 2 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Kỹ thuật rút gọn biểu thức Asin+Bcos

A Tóm tắt lý thuyết Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x là phương trình cĩ dạng:

B sin

Ta thấy (2) là phương trình cĩ dạng sin f x        m

Chú ý: Từ cách giải này suy ra điều kiện cĩ nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x:

  1 cĩ nghiệm khi và chỉ khi A2 B2 C2  0

Ta có 2sin 3x cos 2x  sin 5x  sin x Do đó

  1  3 cos 5x sin 5x   2 sin x  3 1

2 cos 5x 2sin 5x  sin x 

6 2

x x

Ví duï 3 [ĐHA09] Giải phương trình  

Ta có  1 2sin x 1 sin x       sin x   1 2 sin x  2   sin x  cos 2x Do đó

  1  cos x sin 2x   3 sin x cos 2x     sin 2x  3 cos 2x  cos x  3 sin x

Ví dụ 4 Cho phương trình 2 sin x cos x 1 a   1

2) Tìm a để   1 cĩ nghiệm

Giải Xét phương trình sin x  2cos x  3  0   2 Ta cĩ 2  2 2

1   2  3    4 0    2 vơ nghiệm  sin x  2 cos x  3  0  x Do đĩ

  1  2sin x  cos x 1   a sin x   2 cos x  3    2 a sin x     2a 1 cos x    3a 1  1) Khi 1

C Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) 2 2 sin x   cos x cos x   3 cos 2x 

Hướng dẫn Đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với sin 2x, cos 2x, áp dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin, cos Đáp số: Vơ nghiệm 2) sin x sin 2x   3 cos x   cos 2x 

Hướng dẫn Phương trình đã cho tương đương với sin x   3  sin  3 2x 

Bài 2 Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;  của phương trình

18

, 17 18

, 5 6



Chủ đề 2 Đại số hóa phương trình lượng giác

Loại 1 Một số phép đại số hóa đơn giản

A Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến việc giải các phương trình lượng giác bằng cách thực hiện một phép đặt ẩn phụ đơn giản: t  sin x, x

nhưng cũng giải quyết được một lượng lớn bài tốn giải phương trình lượng giác trong các

1 2



Ví dụ 2 [ĐHD02] Tìm nghiệm thuộc đoạn  0;14  của phương trình

 

Giải

Ta cĩ

  1   4 cos x3  3 cos x    4 2cos x 12    3cos x 4   0

 4cos x3  8 cos x2  0  cos x3  2cos x2  0

 cos x cos x2   2   0  cos x  0 (do cos x     2 1 0  x)

, 5 2

, 7 2



Ví dụ 3 Giải phương trình 2cos 2x 8 cos x 7 1   1

Ta thấy trong ba ví dụ trên việc phát hiện ẩn phụ khá đơn giản Sau đây là các ví dụ mà ở

đó, ta phải thực hiện một vài phép biến đổi trước khi phát hiện ra ẩn phụ

Ví duï 4 [ĐHB06] Giải phương trình cot x sin x 1 tan x tan x 4   1

Ví dụ 5 [ĐHA10] Giải phương trình

 

1 sin x cos 2x sin x

1 4

 

loại thỏa mãn

C Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau

  , đặt t  cos x phương trình đã cho trở thành t2  t 0 Chú

ý tới điều kiện x

Biến đổi sin 2x cos 2x 1

sin x cos x, đặt t  cos x phương trình đã cho trở thành 2t2    t 1 0

5) [ĐHB04] 5sin x  2  3 1 sin x tan x    2

Hướng dẫn Đk: cos x  0 Nhân hai vế của phương trình với cos x2 , giản ước 1 sin x  ở hai vế của phương trình (cos x  0  1 sin x   0), đặt t  sin x phương trình đã cho trở thành

2

   , nhân hai vế của phương trình với

40 sin 2x, đặt t  cos 2x phương trình đã cho trở thành 4t2  20t  9  0

Đáp số: k

6



9) 3cos 4x  8 cos x  2 cos x  3  0

 , nhân hai vế của phương trình với sin 2x, đặt

13) sin x cos 2x  cos x tan x 12  2    2 sin x3  0

Hướng dẫn Đk: cos x  0 Biến đổi cos x tan x 12  2    sin x cos x2  2 , đặt t  sin x phương trình đã cho



Bài 2 [ĐHA02] Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;2  của phương trình

 Bài 3 Tính tổng các nghiệm thuộc đoạn  1;70  của phương trình

3 2 2

nghiệm thuộc đoạn 0;

cĩ nghiệm thuộc đoạn 0;

Loại 2 Đại số hóa phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos

A Nội dung phương pháp Đối với các phương trình lượng giác chỉ chứa các biểu thức: tổng và tích của sin và cos(phương trình đối xứng đối với sin và cos) hoặc hiệu và tích của sin và cos (phương trình gần đối xứng đối với sin và cos) ta cĩ các quy tắc đại số hĩa cụ thể như sau:

Dạng 1 Xét phương trình dạng f sin x   cos x;sin x.cos x   0   1

Đặt t  sin x  cos x  2 sin x   4 

2 t 2 1

Đặt t | sin x cos x |    2 sin x  4  

2

1 t 2

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHA07] Giải phương trình

 1 sin x cos x  2    1 cos x sin x  2    1 sin 2x   1

Giải

Ta cĩ   1   sin x  cos x   sin x cos x sin x   cos x    sin x  cos x 2   2

t 1 2

Ví duï 2 Giải phương trình sin x cos x   4sin 2x  1   1

Ví duï 3 Giải phương trình 1 tan x   2 2 sin x   1 .

Ta có   1  cos x  sin x  2 2 sin x cos x   2

Đặt t sin x cos x 2 sin x

Để kết thúc cho việc trình bày các ví dụ của phần này, ta xét một phương chứa tham số

Ví duï 4 Tìm m để phương trình sin 2x  4 cos x   sin x   m   1 có nghiệm

Vậy   1 có nghiệm   4 2   1 m  4 2  1

C Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau

cĩ nghiệm  phương trình   1 cĩ nghiệm thuộc đoạn    2; 2   Đáp số:   1 m  1

Loại 3 Đại số hóa phương trình bậc nhất

A Tóm tắt lý thuyết

Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x là phương trình cĩ dạng:

 

A sin x  B cos x  C 1 với A2  B2  0 Như đã biết, ta cĩ thể giải   1 bằng cách chia cả hai vế của nĩ cho A2 B2 Trong phần này chúng tơi trình bày một phương pháp nữa để giải   1

Cách giải Bước 1: Tìm nghiệm thỏa mãn x

1 t







1 t 2

1 t 2

1 t

sin x

3 cos x

Loại 4 Phép đại số hóa t = tanx

A Nội dung phương pháp

Ý tưởng chung của phương pháp này là: chọn một số n thích hợp (n  * ) sao cho sau khi chia hai vế của phương trình cho cos xn ta thu được phương trình mới cĩ dạng f tan x    0 Quá trình này được thực hiện nhờ việc sử dụng các đẳng thức sin x

cos x  tan x và 2

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình sin x2  2 sin x cos x  3 cos x2  0   1 .

Giải Thay cos x  0 vào   1 ta cĩ sin x2  0  sin x  0  x   (vì sin x, cos x khơng thể đồng thời bằng 0) Do đĩ những giá trị của x mà cos x  0 khơng phải nghiệm của   1 Chia hai về của   1 cho cos x2 ta được phương trình tương đương

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình sin x2  2 m 1 sin x cos x      m 1 cos x   2  m cĩ nghiệm

Giải Thay cos x  0 vào   1 ta cĩ sin x2  0  sin x  0  x   (vì sin x, cos x khơng thể đồng thời bằng 0) Do đĩ những giá trị của x mà cos x  0 khơng phải nghiệm của   1 Chia hai về của   1 cho cos x2 ta được phương trình tương đương



2 cos x 2 tan x 1

tan x 2 m 1 tan x m 1 m.



  m 1 tan x   2  2 m 1 tan x     2m 1   0   2 Đặt t  tan x,   2 trở thành  m 1 t   2 2 m 1 t 2m 1       0   3

tan x tan x 12     3 tan x  3 tan x2  3 tan x 1  2  

 tan t3  tan x2  3 tan x  3  0

  tan x 1    tan x  3  tan x  3   0



tan x 1 tan x 3

C Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau

Bài 3 Giải các phương trình sau

Chủ đề 3 Phương trình tích

Phần này đề cập đến việc giải phương trình lượng giác bằng cách đưa phương trình cần xét

về dạng phương trình tích Cũng như đại số hĩa, đây là một tư tưởng quan trọng khi giải phương trình nĩi chung, phương trình lượng giác nĩi riêng

Sau đây là một số đẳng thức hay sử dụng trong phần này

o 1 sin 2x    sin x  cos x 2

o 1 sin 2x    sin x  cos x 2

o cos 2x   cos x  sin x   cos x  sin x 

o sin x cos x3  3   sin x  cos x 1 sin x cos x   

o sin x cos x3  3   sin x cos x 1 sin x cos x     

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHD04] Giải phương trình  2 cos x 1    2 sin x  cos x   sin 2x  sin x   1

Giải

Ta cĩ sin 2x sin x   sin x 2cos x 1    Do đĩ

  1   2 cos x 1    2 sin x  cos x   sin x 2 cos x 1   

  2 cos x 1    sin x  cos x   0  2 cos x 1 0

Ta cĩ: 1 sin 2x    sin x  cos x 2 , cos 2x   cos x  sin x   cos x  sin x 

Do đĩ   1   sin x  cos x    sin x  cos x 2   cos x  sin x   cos x sin x    0

  sin x  cos x    1   sin x cos x     cos x sin x      0

  sin x  cos x  2cos x 1    0  sin x cos x 0

Ví dụ 3 [ĐHB11] sin 2x cos x  sin x cos x  cos 2x  sin x  cos x   1

Giải

Ta cĩ

  1  sin 2x cos x  sin x cos x  sin x   cos 2x  cos x   0  sin x 2 cos x cos x 1  2      2 cos x2  cos x 1    0   sin x 1    2 cos x cos x 12     0

  sin x 1    cos x 1    2cos x 1    0



sin x 1 cos x 1

1 cos x

Ví duï 5 Giải phương trình tan 3 x sin x 2   1

Ví dụ 7 Giải phương trình sin x sin x cos x2   sin x cos x   2  0   1 .

Giải Cách 1:

  1   sin x sin x cos x2   2 sin x    sin x cos x   2   0  sin x sin x   cos x  sin x    sin x  cos x  2   0   sin x 1    sin x  cos x  sin x   0

Cách 2: Ta cĩ   1  sin x2   cos x 1 sin x cos x     2  0

Coi   1 là phương trình bậc hai đối với sin x, ta cĩ

 cos x 1 2 4 cos x  2   cos x 3 2

2 cos x 1 cos x 3 sin x

Đến đây, việc tìm ra nghiệm của phương trình được thực hiện như ở cách 1

Nhận xét: Đối với phương trình cĩ dạng

 

a sin x b cos x c sin x cos x    d sin x e cos x f    0 1 , với a, b là các số khơng đồng thời bằng 0, việc đưa về phương trình tích nĩi chung là phức tạp Để giải phương trình dạng này (phương trình bậc hai đối với sin, cos) ta cĩ một cách làm khác như sau: Coi   1 là phương trình bậc hai đối với cos x, giải cos x theo sin x; hoặc coi   1 là phương trình bậc hai đối với sin x, giải sin x theo cos x

C Bài tập

Giải các phương trình sau 1) [ĐHB02] sin 3x2  cos 4x2  sin 5x cos 6x2  2

Hướng dẫn Dùng cơng thức hạ bậc ta cĩ phương trình đã cho tương đương với

 cos 12x cos 6x     cos 10x  cos 8x   0  sin 9x sin 2x cos x  0

cos x sin x   cos x sin x sin x cos x   sin x sin x cos x 

  cos x  sin x  3 sin x   cos x   0

4) [ĐHB07] 2sin 2x  sin 7x 1   sin x

Hướng dẫn Phương trình đã cho tương đương với cos 4x   sin 7x sin x    0  cos 4x 1 2sin 3x     0

Đáp số: 2

2k 3

 cos 2x cos x  2cos 2x    sin 2x cos x  sin x   0  cos 2x cos x sin x    2   0

9) [ĐHD11] sin 2x 2 cos x sin x 1

0 tan x 3



Hướng dẫn Đk: tan x   3 Phương trình đã cho tương đương với  2 cos x 1 sin x 1       0

 4 sin x2  6cos x   sin x 1    0   2 cos x2  3 cos x  2   sin x 1    0



Hướng dẫn Phương trình đã cho tương đương với

4



16) 3 cos x  sin x cos x  2 sin x  2 1   3 cos x   4  0

Đáp số: 5

2k 6